第第頁第06講正多邊形和圓了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識畫多邊形．知識點1圓內(nèi)正多邊形的計算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行，.知識點2與正多邊形有關(guān)的概念1、正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。4、中心角正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。知識點3正多邊形的對稱性1、正多邊形的軸對稱性正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。2、正多邊形的中心對稱性邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。3、正多邊形的畫法先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。【題型1正多邊形與圓求角度】【典例1】（2023?青羊區(qū)校級模擬）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∠ADB的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．45° D．60°【答案】B【解答】解：連接OB，∵多邊形ABCDEF是正多邊形，∴∠AOB＝＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°．故選：B．【變式1-1】（2023?周村區(qū)二模）正八邊形的中心角的度數(shù)為（）A．36° B．45° C．60° D．72°【答案】B【解答】解：正八邊形的中心角的度數(shù)＝360°÷8＝45°，故選：B．【變式1-2】（2023?舒城縣二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點P在上，Q是的中點，則∠CPQ的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【解答】解：如圖，連接OC，OD，OQ，OE，∵正六邊形ABCDEF，Q是的中點，∴，，∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴，故選：C．【變式1-3】（2023?懷寧縣一模）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，AF是⊙O的直徑，則∠CDF的度數(shù)是（）A．18° B．36° C．54° D．72°【答案】A【解答】解：∵AF是⊙O的直徑，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，∴，，∠BAE＝∠BCD＝108°，∴，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，∵∠BCD＝108°，BC＝CD，∴∠BDC＝108°＝（180°﹣108°）＝36°，∠CDF＝∠BDF﹣∠BDC＝54°﹣36°＝18°．故選：A．【變式1-4】（2023?儀征市二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點F在弧AE上．若∠CDF＝95°，則∠FCD的大小為（）A．38° B．42° C．49° D．58°【答案】C【解答】解：如圖，連接OE，OD，CE，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∵∠CDF＝95°，∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，∴∠FCE＝13°，∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴∠EOD＝360°÷5＝72°，∴∠ECD＝＝36°，∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，故選：C．【變式1-5】（2023?丹陽市模擬）如圖，邊長相等的正五邊形和正六邊形如圖拼接在一起，則∠ABC的度數(shù)為（）A．22° B．23° C．24° D．25°【答案】C【解答】解：由題意得：正六邊形的每個內(nèi)角都等于120°，正五邊形的每個內(nèi)角都等于108°，∴∠BAC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝＝24°，故選：C．【題型2正多邊形與圓求線段長度】【典例2】（2023?龍港市二模）如圖，要擰開一個邊長為a的正六邊形螺帽，則扳手張開的開口b至少為（）A．2a B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓為⊙O，連AE，OA，BE，則點O在BE上，∵正六邊形ABCDEF，∴AB＝AF＝EF＝a，∠F＝∠FAB＝120°，∴∠FAE＝∠FEA＝＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，在Rt△BEF中，AB＝a，∠AEB＝×60°＝30°，∴AE＝AB＝a，即b＝a，故選：B．【變式2-1】（2023?武威一模）生活中處處有數(shù)學(xué)，多邊形在生活中的應(yīng)用更是不勝枚舉．如圖是一個正六邊形的螺帽，它的邊長是4cm，則這個正六邊形的半徑R和扳手的開口a的值分別是（）A．2cm， B．4cm， C．4cm， D．4cm，【答案】B【解答】解：依題意一個正六邊形的螺帽，它的邊長是4cm，則R＝4cm，連接AC，過B作BD⊥AC于D；∵AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD＝CD；∵此多邊形為正六邊形，∴∠ABC＝＝120°，∴∠ABD＝＝60°，∴∠BAD＝30°，AD＝AB?cos30°＝4×＝2，∴a＝2AD＝4cm．故選：B．【變式2-2】（2022秋?武義縣期末）如圖，一個蜂巢巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對角線AD的長約為10mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為（）A．4mm B． C．5mm D．【答案】C【解答】解：連接BE，CF，BE、CF交于點O，如圖2，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AD的長約為10mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA＝OD約為5mm，∴AF＝OA約為5mm，故選：C．【變式2-3】（2023?利州區(qū)模擬）一個圓的半徑為4，則該圓的內(nèi)接正方形的邊長為（）A．2 B． C． D．8【答案】C【解答】解：如圖所示：⊙O的半徑為4，∵四邊形ABCD是正方形，∠B＝90°，∴AC是⊙O的直徑，∴AC＝2×4＝8，∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴AB2+BC2＝64，解得：AB＝4，即⊙O的內(nèi)接正方形的邊長等于4．故選：C．【題型3正多邊形與圓求半徑】【典例3】（2022秋?鞏義市期末）如圖，已知⊙O的內(nèi)接正方形ABCD的邊長為1，則⊙O的半徑為（）A． B． C．1 D．【答案】B【解答】解：連接OB、OC，如圖所示，∵⊙O的內(nèi)接正方形ABCD的邊長為1，∴OB＝OC，BC＝1，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，OB2+OC2＝2OB2＝BC2＝1，∴OB＝．故選：B．【變式3-1】（2022秋?慈溪市期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，正六邊形的周長是12，則⊙O的半徑是（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解答】解：連接OB，OC，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝OC＝BC，∵正六邊形的周長是12，∴BC＝2，∴⊙O的半徑是2．故選：C．【變式3-2】（2023?宜春一模）若正方形的邊長為8，則其外接圓的半徑是．【答案】．【解答】解：如圖：過點O作OE⊥BC于點E，∵圓O是四邊形ABCD的外接圓，∴∠OBE＝45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴BE＝CE，∵OE⊥BC，BC＝8，∴，∴．故其半徑等于．故答案為：．【題型4正多邊形與圓求面積】【典例4】（2022秋?呈貢區(qū)期末）正六邊形的邊長為6cm，則該正六邊形的內(nèi)切圓面積為（）A．48πcm2 B．36πcm2 C．24πcm2 D．27πcm2【答案】D【解答】解：如圖，連接OA、OB，OG；∵正六邊形的邊長為6cm，∴六邊形ABCDEF是半徑為6的正六邊形，∴△OAB是等邊三角形，∴OA＝AB＝6cm，∠OAB＝60°，∴OG＝OA?sin60°＝6×＝3（cm），∴邊長為6cm的正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為3cm．該正六邊形的內(nèi)切圓面積為cm2故選：D．【變式4-1】（2022秋?邯山區(qū)校級期末）如圖是一個正八邊形，圖中空白部分的面積等于12，則正八邊形的面積等于（）A．12 B．20 C．24 D．12【答案】A【解答】解：作出正方形ABCD．如圖所示：△AEF中，AE＝x，則AF＝x，EF＝x，正八邊形的邊長是x．則正方形的邊長是（2+）x．根據(jù)題意得：x（2+）x＝12，解得：x2＝6（﹣1）．則陰影部分的面積是：2[x（2+）x﹣2×x2]＝2（+1）x2＝2（+1）×6（﹣1）＝12．故選：A．【變式4-2】（2023?衡水二模）如圖，BD，DF是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，已知四邊形ABDF的面積為8，則陰影部分的面積為（）?A．2 B．4 C． D．【答案】B【解答】解：如圖，連接AD，則AD過正六邊形ABCDEF的外接圓的圓心O，連接OB，由對稱性可知，S△ABD＝S△FAD＝S四邊形AFDB＝4，S△BCD＝S△DEF，∵正六邊形ABCDEF，∴∠AOB＝＝60°，BC∥AD，∵OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝OB＝AB＝BC，∴S△BCD＝S△BOD＝S△AOB，∴S陰影部分＝S△ABD＝4，故選：B．【變式4-3】（2023?桓臺縣一模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長等于6π，則正六邊形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：連接OB、OC，作OH⊥BC于點H，∵⊙O的周長等于6π，∴⊙O的半徑為：，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴，∴△BOC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，∴OH＝OB?sin∠OBC＝3×＝，∴＝，∴，故選：D【題型5正多邊形與圓求周長】【典例5】（2023?欽州一模）如圖，若一個正六邊形的對角線AB的長為10，則正六邊形的周長（）A．5 B．6 C．30 D．36【答案】C【解答】解：如圖，連接CD、EF，則點O是正六邊形ACEBDE的中心，∵正六邊形ACEBDE，∴∠AOC＝∠COE＝∠EOB＝∠BOD＝∠DOF＝∠FOA＝＝60°，∵OA＝OC＝OE＝OB＝OD＝OF，∴△AOC是正三角形，∴AC＝AB＝5，∴正六邊形ACEBDF的周長為5×6＝30，故選：C．【變式5-1】（2022秋?開封期末）一個正多邊形的邊長是3，從一個頂點可以引出4條對角線，則這個正多邊形的周長是（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】D【解答】解：∵經(jīng)過多邊形的一個頂點有4條對角線，∴這個多邊形有4+3＝7條邊，∴這個正多邊形的周長是7×3＝21，故選：D．【變式5-2】（2022秋?盤龍區(qū)期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑是1，則正六邊形ABCDEF的周長是（）A． B．6 C． D．12【答案】B【解答】解：如圖，連接OA，OB．在正六邊形ABCDEF中，OA＝OB＝1，∠AOB＝＝60°，∴△OAB是等邊三角形，∴AB＝OA＝1，∴正六邊形ABCDEF的周長是1×6＝6．故選：B．【題型6正多邊形與直角坐標(biāo)系綜合】【典例6】（2023?西和縣一模）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受到中國人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，“雪花”中心與原點重合，C，F(xiàn)在y軸上，則頂點B的坐標(biāo)為（）A．（4，2） B．（4，4） C． D．【答案】C【解答】解：連接OB，OA，如圖所示：∵正六邊形是軸對稱圖形，中心與坐標(biāo)原點重合，∴△AOB是等邊三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x軸，AM＝BM，∵AB＝4，∴AM＝BM＝2，∴OM＝，∴點B的坐標(biāo)為：（2，2），故選：C．【變式6-1】（2023?洛龍區(qū)一模）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點A的坐標(biāo)為（2，﹣3），則頂點C的坐標(biāo)為（）?A．） B． C．D．【答案】B【解答】解：如圖，連接BD交CF于點M，則點B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴點C的橫坐標(biāo)為﹣（2﹣2）＝2﹣2，縱坐標(biāo)為1+2＝3，∴點C的坐標(biāo)為（2﹣2，3），故選：B．【變式6-2】（2022秋?綿陽期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形OABCDE的邊長是4，則它的內(nèi)切圓圓心M的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．（2，4）【答案】A【解答】解：如圖所示，作OE、CD的垂直平分線交于點F，即為內(nèi)切圓圓心M，連接MO，ME，∵正六邊形OABCDE的邊長是4，∴OH＝HE＝2，△OME為等邊三角形，∠OMH＝30°，∴MO＝2OH＝4，∴∴點M的坐標(biāo)為：故選：A．1．（2023?臨沂）將一個正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（）A．60° B．90° C．180° D．360°【答案】B【解答】解：由于正六邊形的中心角為＝60°，所以正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角可以為60°或60°的整數(shù)倍，即可以為60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，故選：B．2．（2023?內(nèi)江）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點P在上，點Q是的中點，則∠CPQ的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．36° D．60°【答案】B【解答】解：如圖，連接OC，OD，OQ，OE，∵正六邊形ABCDEF，Q是的中點，∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，故選：B．3．（2023?安徽）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接OC，OD，則∠BAE﹣∠COD＝（）A．60° B．54° C．48° D．36°【答案】D【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，故選：D．4．（2023?自貢）第29屆自貢國際恐龍燈會“輝煌新時代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對角線的夾角∠ACB＝15°，算出這個正多邊形的邊數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝15°，∴∠ABC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，設(shè)這個正多邊形為正n邊形，則＝150°，解得n＝12，經(jīng)檢驗n＝12是原方程的解，即這個正多邊形是正十二邊形，故選：D．5．（2022?綿陽）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點A的坐標(biāo)為（2，﹣3），則頂點C的坐標(biāo)為（）（2﹣2，3）B．（0，1+2）C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）【答案】A【解答】解：如圖，連接BD交CF于點M，則點B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴點C的橫坐標(biāo)為﹣（2﹣2）＝2﹣2，縱坐標(biāo)為1+2＝3，∴點C的坐標(biāo)為（2﹣2，3），故選：A．6．（2022?雅安）如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．3【答案】C【解答】解：連接OC，OD，∵正六邊形ABCDEF是圓的內(nèi)接多邊形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周長等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故選：C．1．（2023?長沙縣二模）正六邊形的半徑為4，則它的邊心距是（）A．2 B．4 C．2 D．2【答案】C【解答】解：如圖，連接OA、OB；過點O作OG⊥AB于點G．在Rt△AOG中，OA＝4，∠AOG＝30°，∴OG＝OA?cos30°＝4×＝2，故選：C．2．（2022秋?中山區(qū)期末）如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連結(jié)BD，則∠CDB的度數(shù)是（）A．72° B．54° C．36° D．30°【答案】C【解答】解：∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴∠COB＝×360°＝72°，∴∠CDB＝∠COB＝×72°＝36°，∴∠CDB的度數(shù)是36°，故選：C．3．（2022秋?江津區(qū)期末）如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，若⊙O的半徑為2，則正方形ABCD的邊長為（）A．1 B． C． D．【答案】D【解答】解：連接OA、OC，∵⊙O是正方形ABCD的外接圓，∴∠AOD＝×360°＝90°，∵⊙O的半徑為2，∴OA＝OD＝2，∴AD＝＝＝2，∴正方形ABCD的邊長為2，故選：D．4．（2022秋?南開區(qū)校級期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，則邊心距OM的長為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，，∵OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∴AB＝OA＝2，∵OM⊥AB，∴，∴，故選：A．4．（2023?順慶區(qū)校級二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N分別為邊CD，BC的中點，AN與BM相交于點P，則∠APM的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．118° D．122°【答案】B【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M(jìn)，N分別為邊CD，BC的中點，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故選：B．5．（2023?張家口四模）如圖，點O是邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心，對角線CE，DF相交于點G，則△GEF的面積為（）A．2 B．3 C． D．【答案】C【解答】解：∵ABCDEF是邊長為4的正六邊形，∴CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°，∴∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠FEG＝90°，∵EF＝4，∴EG＝EF＝，∴△GEF的面積＝EF?GE＝4×＝．故選：C．6．（2022秋?河西區(qū)校級期末）如圖，一個亭子的地基是半徑為4m的正六邊形，則該正六邊形地基的面積是（）A．24m2 B． C．48m2 D．【答案】B【解答】解：如圖，連接OB，OC，則OB＝OC＝4m，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝CO＝BO＝4m，，∴．故選：B．7．（2023?忻州模擬）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”