動量矩定理

2一、質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理兩邊叉乘矢徑,有左邊可寫成質(zhì)點(diǎn)對任一固定點(diǎn)的動量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動量矩定理。故：動量矩定理O為固定點(diǎn)3質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理左邊交換求和與求導(dǎo)運(yùn)算的順序，并且注意一質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動量矩定理對質(zhì)點(diǎn)系，將每一質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理求矢量和。得對每一質(zhì)點(diǎn)4解:取整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖示。運(yùn)動分析：

v=r

由動量矩定理：[例]已知:5[例]高爐運(yùn)送礦石的卷揚(yáng)機(jī)如圖。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，繞O軸轉(zhuǎn)動。小車和礦石的總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，軌道傾角為a。設(shè)繩質(zhì)量和各處摩擦不計(jì)，求小車的加速度a。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。以順時(shí)針為正，則由，有MOm2gNvm1gFOxFOyw6因

,于是解得若M＞m2gRsina，則

a＞0，小車的加速度沿軌道向上。必須強(qiáng)調(diào)的是：為使動量矩定理中各物理量的正負(fù)號保持協(xié)調(diào)，動量矩和力矩的正負(fù)號規(guī)定必須完全一致。7[例]水平桿AB長2a，可繞鉛垂軸

z轉(zhuǎn)動，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，系統(tǒng)繞

z軸的角速度為w0。如某時(shí)此細(xì)線拉斷，桿AC和BD各與鉛垂線成a角。不計(jì)各桿的質(zhì)量，求這時(shí)系統(tǒng)的角速度w。解：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力，這些力對轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒，即顯然，此時(shí)的角速度w＜w

0。8解：系統(tǒng)的動量矩守恒。猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的，均為。[例]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對繩速度上爬，猴A不動，問當(dāng)猴B向上爬時(shí)，猴A將如何動？動的速度多大？（輪重不計(jì)）9[例]行星齒輪機(jī)構(gòu)的曲柄

OO1受力偶

M作用而繞固定鉛直軸

O轉(zhuǎn)動，并帶動齒輪O1在固定水平齒輪O上滾動如圖所示。設(shè)曲柄

OO1為均質(zhì)桿，長l、重

P；齒輪

O1為均質(zhì)圓盤，半徑

r

、重

Q。試求曲柄的角加速度及兩齒輪接觸處沿切線方向的力。

解：以曲柄為研究對象，曲柄作定軸轉(zhuǎn)動，列出定軸轉(zhuǎn)動微分方程MO1OaFnFtRnRtOO1M10F'N1F'1FN2F2m1gFa取板分析11由運(yùn)動學(xué)關(guān)系，有聯(lián)立求解(1)~(4)，得O1F'nF'tTNatana1取齒輪O1分析，齒輪O1作平面運(yùn)動MO1OaFnFtRnRt理論力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院12研