2024年中考數學沖刺挑戰壓軸題專題匯編（南京考卷）02挑戰壓軸題（填空題）1．（2021·江西）如圖，在邊長為的正六邊形中，連接，，其中點，分別為和上的動點，若以，，為頂點的三角形是等邊三角形，且邊長為整數，則該等邊三角形的邊長為______．2．（2020·江西）矩形紙片，長，寬，折疊紙片，使折痕經過點，交邊于點，點落在點處，展平后得到折痕，同時得到線段，，不再添加其它線段，當圖中存在角時，的長為__________厘米．3．（2019·江西）在平面直角坐標系中，三點的坐標分別為，，，點在軸上，點在直線上，若，于點，則點的坐標為__________________．4．（2018·江西）在正方形中，=6，連接，，是正方形邊上或對角線上一點，若=2，則的長為____________.5．（2017·江西）已知點A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，連接AC，BC得到矩形AOBC，點D的邊AC上，將邊OA沿OD折疊，點A的對應邊為．若點到矩形較長兩對邊的距離之比為1：3，則點的坐標為______．1．（2023·云南·中考真題）已知的三個頂點都是同一個正方形的頂點，的平分線與線段交于點D．若的一條邊長為6，則點D到直線的距離為__________．2．（2023·浙江紹興·九年級學業考試）如圖，把邊長為4的正方形紙片分成五塊，其中點為正方形的中心，點，，，分別為，，，的中點．用這五塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形（要求這五塊紙片不重疊無縫隙），則四邊形的周長是______．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·九年級期中）如圖，點A在x軸的正半軸上運動，點B在y軸的正半軸上，OB＝2，連接AB，△ABP與△ABO關于直線AB對稱．點C、點D分別是BO、BA的中點，連接CD并延長交PA于點E，連接PD，當點P的坐標為___時，△PDE為直角三角形．4．（2023·四川成都·九年級期末）黃金分割是指把一條線段分割為兩部分，使較短線段與較長線段的比等于較長線段與原線段的比，其比值等于．如圖，在正方形ABCD中，點G為邊BC延長線上一動點，連接AG交對角線BD于點H，△ADH的面積記為S1，四邊形DHCG的面積記為S2．如果點C是線段BG的黃金分割點，則的值為___．5．（2023·江蘇無錫·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且，C為線段上一點，，若M為y軸上一點，且，設直線與直線相交于點N，則的長為________．1．（2023·浙江·八年級期末）在矩形紙片中，，，，P為線段上一動點，如圖所示，沿折疊紙片，使點A落在矩形內，記為，折痕為．若等腰三角形，則到邊的距離為______________．2．（2023·浙江杭州·七年級期中）在“妙折生平——折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個任務：如圖，有一張三角形紙片ABC，，，點D是AB邊上的固定點（），請在BC上找一點E，將紙片沿DE折疊（DE為折痕），點B落在點F處，使EF與三角形ABC的一邊平行，則為________度．3．（2023·河南·平頂山市第九中學九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點M，N分別在AD，BC上，且3AM＝AD，3BN＝BC，E為直線BC上一動點，連接DE，將DCE沿DE所在直線翻折得到，當點恰好落在直線MN上時，CE的長為___．4．（2023·廣東·珠海市九洲中學三模）如圖，正方形中，，，分別交、于、，下列結論：①；②；③；④．其中正確的有__________．5．（2023·江西·贛州市第三中學八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點，射線軸，直線交線段于點B，交x軸于點A，D是射線上一點．若存在點D，使得恰為等腰直角三角形，則b的值為______．2022年中考數學沖刺挑戰壓軸題專題匯編（江西考卷）02挑戰壓軸題（填空題）1．（2021·江西）如圖，在邊長為的正六邊形中，連接，，其中點，分別為和上的動點，若以，，為頂點的三角形是等邊三角形，且邊長為整數，則該等邊三角形的邊長為______．【答案】9或10或18【解析】【分析】根據點，分別為和上的動點，以，，為頂點的三角形是等邊三角形，先在腦海中生成運動的動態圖，通過從滿足條件的特殊的情況入手，然后再適當左右擺動圖形，尋找其它可能存在的解．【詳解】解：如下圖：（1）當M，N分別與B，F重合時，在中，由題意得：，易算得：，根據正多邊形的性質得，，為等邊三角形，即為等邊三角形，邊長為18，此時已為最大張角，故在左上區域不存在其它解；（2）當M，N分別與DF，DB的中點重合時，由（1）且根據三角形的中位線得：，，為等邊三角形，邊長為9，（3）在（2）的條件下，陰影部分等邊三角形會適當的左右擺動，使得存在無數個這樣的等邊三角形且邊長會在到之間，其中包含邊長為，，，且等邊三角形的邊長為整數，邊長在到之間只能取9或10，綜上所述：該等邊三角形的邊長可以為9或10或18．故答案是：9或10或18．【點睛】本題考查了正多邊形中動點產生等邊三角形問題，解題的關鍵是：根據等邊三角形的邊只能取整數為依據，進行分類討論，難點在于陰部部分等邊三角形向左右適當擺動時如何取邊長的整數值．2．（2020·江西）矩形紙片，長，寬，折疊紙片，使折痕經過點，交邊于點，點落在點處，展平后得到折痕，同時得到線段，，不再添加其它線段，當圖中存在角時，的長為__________厘米．【答案】或或【解析】【分析】分∠ABE=30°或∠AEB=30°或∠ABA′=30°時三種情況，利用銳角三角函數進行求解即可．【詳解】解：當∠ABE=30°時，∵AB=4cm，∠A=90°，∴AE=AB·tan30°=cm；當∠AEB=30°時，則∠ABE=60°，∵AB=4cm，∠A=90°，∴AE=AB·tan60°=cm；當∠ABE=15°時，∠ABA′=30°，延長BA′交AD于F，如下圖所示，設AE=x，則EA′=x，，∵AF=AE+EF=ABtan30°=，∴，∴，∴cm．故答案為：或或．【點睛】本題考查了矩形與折疊，以及分類討論的數學思想，分類討論是解答本題的關鍵．3．（2019·江西）在平面直角坐標系中，三點的坐標分別為，，，點在軸上，點在直線上，若，于點，則點的坐標為__________________．【答案】【解析】【分析】先由已知得出，，然后分類討論點的位置從而依次求出每種情況下點的坐標．【詳解】解：，兩點的坐標分別為，軸點在直線上，，如圖：（Ⅰ）當點在處時，要使，即使即解得：（Ⅱ）當點在處時，，的中點點為以為圓心，長為半徑的圓與軸的交點設，則即解得：，，，綜上所述：點的坐標為或，或，．【點睛】本題考查了動點型問題，主要涉及相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，圓的相關知識，本題比較復雜，難度較大．4．（2018·江西）在正方形中，=6，連接，，是正方形邊上或對角線上一點，若=2，則的長為____________.【答案】2或或【解析】【分析】根據題意分情況畫出符合題意的圖形，然后針對每一個圖形利用勾股定理進行求解即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=6，∠BAD=90°，∠DAC=45°，∴AC=BD=6；如圖1，當點P在AD上時，∵AP+PD=AD=6，PD=2AP，∴AP=2；如圖2，當點P在AB上時，∵∠PAD=90°，∴AP2+AD2=DP2，∵AD=6，PD=2AP，∴AP2+36=4AP2，∴AP=；如圖3，當點P在AC上時，作PN⊥AD于點N，設AN=x，則有DN=6-x，PN=x，由勾股定理得AP=x，PD=，∵PD=2AP，∴=2x，∴x=或x=（不符合題意，舍去），∴AP=x=，當點P在其余邊或對角線上時，不存在可以使PD=2AP的點，綜上，AP的長為2，，，故答案為2或或．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理的應用等，難度較大，解題的關鍵是正確畫出符合題意的圖形．5．（2017·江西）已知點A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，連接AC，BC得到矩形AOBC，點D的邊AC上，將邊OA沿OD折疊，點A的對應邊為．若點到矩形較長兩對邊的距離之比為1：3，則點的坐標為______．【答案】【解析】【詳解】解：由點A（0，4），B（7，0），C（7，4），可得BC=OA=4，OB=AC=7，分兩種情況：（1）當點A'在矩形AOBC的內部時，過A'作OB的垂線交OB于F，交AC于E，如圖1所示：①當A'E：A'F=1：3時，∵A'E+A'F=BC=4，∴A'E=1，A'F=3，由折疊的性質得：OA'=OA=4，在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF=，∴A'（，3）；②當A'E：A'F=3：1時，同理得：A'（，1）；（2）當點A'在矩形AOBC的外部時，此時點A'在第四象限，過A'作OB的垂線交OB于F，交AC于E，如圖2所示：∵A'F：A'E=1：3，則A'F：EF=1：2，∴A'F=EF=BC=2，由折疊的性質得：OA'=OA=4，在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==2，∴A'（2，﹣2）；故答案為（，3）或（，1）或（2，﹣2）．考點：1、翻折變換（折疊問題）；2、坐標與圖形性質；3、矩形的性質1．（2023·云南·中考真題）已知的三個頂點都是同一個正方形的頂點，的平分線與線段交于點D．若的一條邊長為6，則點D到直線的距離為__________．【答案】3或或或【解析】【分析】將△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分別分AB=BC=6，AC=6，進行解答．【詳解】解：∵△ABC三個頂點都是同一個正方形的頂點，如圖，若∠ABC=90°，則∠ABC的平分線為正方形ABCD的對角線，D為對角線交點，過點D作DF⊥AB，垂足為F，當AB=BC=6，則DF=BC=3；當AC=6，則AB=BC==，∴DF=BC=；如圖，若∠BAC=90°，過點D作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，∴△BAD≌△BFD（AAS），∴AB=BF，當AB=AC=6，則BC=，∴BF=6，CF=，在正方形ABEC中，∠ACB=45°，∴△CDF是等腰直角三角形，則CF=DF=AD=；當BC=6，則AB=AC==，同理可得：，綜上：點D到直線AB的距離為：3或或或，故答案為：3或或或．【點睛】本題考查了正方形的性質，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，知識點較多，解題時要結合題意畫出符合題意的圖形，分情況解答．2．（2023·浙江紹興·九年級學業考試）如圖，把邊長為4的正方形紙片分成五塊，其中點為正方形的中心，點，，，分別為，，，的中點．用這五塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形（要求這五塊紙片不重疊無縫隙），則四邊形的周長是______．【答案】20或或或【解析】【分析】根據拆分開的圖形進行拼接，拼成與正方形不同的四邊形即可．【詳解】∵正方形邊長為4，點G為正方形中心點F，K，E，H分別為AB，BC，CD，DA的中點∴AF=AH=HD=HG=DE=GK=EC=CK=BF=BK=42=2HF=DG=EK=，HK=4∴可構成圖形如下：周長為：周長為：周長為：周長為：故答案為：20或或或．【點睛】本題考查了以正方形為背景，圖形的應用與設計作圖問題，熟練的掌握圖形的拼接技巧是解題的關鍵．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·九年級期中）如圖，點A在x軸的正半軸上運動，點B在y軸的正半軸上，OB＝2，連接AB，△ABP與△ABO關于直線AB對稱．點C、點D分別是BO、BA的中點，連接CD并延長交PA于點E，連接PD，當點P的坐標為___時，△PDE為直角三角形．【答案】##【解析】【分析】由對折可得：所以分兩種情況討論，如圖，當連接延長交于設證明四邊形是矩形，可得再利用建立方程求解即可，如圖，當時，證明四邊形是正方形，從而可得答案.【詳解】解：由對折可得：如圖，當連接延長交于設分別為BO、BA的中點，四邊形是矩形，整理得：解得：經檢驗：不符合題意，所以如圖，當時，同理：則結合對折可得：四邊形是正方形，綜上，當點P的坐標為時，△PDE為直角三角形．【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，坐標與圖形，一元二次方程的解法，矩形，正方形的判定與性質，銳角三角函數的應用，做到清晰的分類討論是解題的關鍵.4．（2023·四川成都·九年級期末）黃金分割是指把一條線段分割為兩部分，使較短線段與較長線段的比等于較長線段與原線段的比，其比值等于．如圖，在正方形ABCD中，點G為邊BC延長線上一動點，連接AG交對角線BD于點H，△ADH的面積記為S1，四邊形DHCG的面積記為S2．如果點C是線段BG的黃金分割點，則的值為___．【答案】或．【解析】【分析】由AD∥BC，得△DHG的面積＝△AHB的面積，再由△AHB≌△CHB（SAS），得出S2＝△GBH的面積，然后證△ADH∽△GBH，得＝，分兩種情況：①點C是線段BG的黃金分割點，BC＞CG，則BC＝；②點C是線段BG的黃金分割點，BC＜CG，則BC＝；分別求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，AD∥BC，∠ABH＝∠CBH＝45°，∴△ABD的面積＝△AGD的面積，又∵BH＝BH，∴△AHB≌△CHB（SAS），∴△AHB的面積＝△DHG的面積，∴S2＝△GBH的面積，∵AD∥BC，∴△ADH∽△GBH，∴＝（）2，分兩種情況：①點C是線段BG的黃金分割點，BC＞CG，則AD＝BC＝BG，∴＝（）2＝（）2＝；②點C是線段BG的黃金分割點，BC＜CG，則AD＝BC＝BG，∴＝（）2＝（）2＝；綜上所述，如果點C是線段BG的黃金分割點，則的值為或；故答案為：或．【點睛】本題考查了黃金分割的定義、正方形的性質、相似三角形的判定與性質以及三角形面積等知識；熟練掌握黃金分割的定義和相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．5．（2023·江蘇無錫·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且，C為線段上一點，，若M為y軸上一點，且，設直線與直線相交于點N，則的長為________．【答案】或【解析】【分析】過點C作CD⊥x軸于D，證明△ACD∽△ABO，得到，求出CD和AD，得到點C坐標，求出直線OC的解析式，再求出點M的坐標，分兩種情況，聯立解析式，求出點N坐標，利用勾股定理得到ON的長．【詳解】解：過點C作CD⊥x軸于D，則∠ADC=∠AOB=90°，又∵∠CAD=∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∵B（0，6），∴OB=6，∵∠OAB=30°，∴AB=2OB=12，∴AO==，∵BC：CA=1：2，∴AC=，∴BC=AB-AC=4，∴，解得：CD=4，AD=，∴OD=OA-AD=，∴C（，4），設直線OC的解析式為y=kx，將C代入，則，解得：，∴直線OC的解析式為，∵OM：OB=1：2，OB=6，∴OM=3，∴M的坐標為（3，0）或（-3，0），當M（3，0）時，記為點M′，設直線AM′的解析式為y=ax+b，則，解得：，∴直線AM′的解析式為，聯立直線AM′和直線OC的解析式得，解得：，∴N（，），∴ON=；當M（-3，0）時，同理求得直線AM的解析式為，聯立得，解得：，∴N（，-4），∴ON==，綜上：ON的長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，一次函數與二元一次方程組，勾股定理，有一定難度，解題的關鍵是根據題意畫出圖形，分類討論解決問題．1．（2023·浙江·八年級期末）在矩形紙片中，，，，P為線段上一動點，如圖所示，沿折疊紙片，使點A落在矩形內，記為，折痕為．若等腰三角形，則到邊的距離為______________．【答案】或【解析】【分析】分A′C=BC和BA′=A′C兩種情況，畫出圖形，結合矩形的性質和勾股定理分別求解．【詳解】解：當A′C=BC時，∵AQ=A′Q=3，A′C=BC=AD=5，連接QC，過A′作A′H⊥AD，垂足為H，∵QD=2，CD=，∠CDA=90°，∴CQ==4，∴∠CQD=60°，∵，∴∠A′QC=90°，∴∠AQA′=30°，∴A′H=A′Q=，∴點A′到BC的距離為；當BA′=A′C時，同理：A′Q=3，CQ=4，過A′作A′H⊥AD，垂足為H，∵BA′=A′C，∴點A′在BC的垂直平分線上，∴HQ=AQ-AH==，∴A′H==，∴A′到BC的距離為CD-A′H=，故答案為：或．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，折疊問題，熟練掌握矩形和翻折變換的性質，進行分類討論是解題的關鍵．2．（2023·浙江杭州·七年級期中）在“妙折生平——折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個任務：如圖，有一張三角形紙片ABC，，，點D是AB邊上的固定點（），請在BC上找一點E，將紙片沿DE折疊（DE為折痕），點B落在點F處，使EF與三角形ABC的一邊平行，則為________度．【答案】35°或75°或125°【解析】【分析】由于EF不與BC平行，則分EF∥AB和EF∥AC，畫出圖形，結合折疊和平行線的性質求出∠BDE的度數．【詳解】解：當EF∥AB時，∠BDE=∠DEF，由折疊可知：∠DEF=∠DEB，∴∠BDE=∠DEB，又∠B=30°，∴∠BDE=（180°-30°）=75°；當EF∥AC時，如圖，∠C=∠BEF=50°，由折疊可知：∠BED=∠FED=25°，∴∠BDE=180°-∠B=∠BED=125°；如圖，EF∥AC，則∠C=∠CEF=50°，由折疊可知：∠BED=∠FED，又∠BED+∠CED=180°，則∠CED+50°=180°-∠CED，解得：∠CED=65°，∴∠BDE=∠CED-∠B=65°-30°=35°；綜上：∠BDE的度數為35°或75°或125°．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和，折疊問題，解題的關鍵是注意分類討論，畫圖圖形推理求解．3．（2023·河南·平頂山市第九中學九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點M，N分別在AD，BC上，且3AM＝AD，3BN＝BC，E為直線BC上一動點，連接DE，將DCE沿DE所在直線翻折得到，當點恰好落在直線MN上時，CE的長為___．【答案】或10【解析】【分析】由矩形的性質得到DC=AB=5，∠A=90°，AD=BC=6，根據已知條件得到AM=BN，推出四邊形ABNM是矩形，得到∠NMA=∠NMD=90°，MN=AB=5，根據折疊的性質得到DC′=DC=5，C′E=CE，根據勾股定理得到C′M=，根據矩形的判定和性質得到CN=DM=4，∠CNM=90°，再分兩種情況由勾股定理即可得到結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，∵，，∴AM＝BN，∵AM∥BN，∴四邊形ABNM是平行四邊形，又∵∠A=90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，∵將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC′E，∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE，∵AM＝2，∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4，如圖1，在Rt△C′MD中，C′M＝，∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2，∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，∴四邊形CDMN是矩形，∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°，NE＝CN﹣CE＝4﹣CE，在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，∴（4﹣CE）2+22＝CE2，解得：CE＝．如圖2，在Rt△C′MD中，C′M＝，∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8，∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，∴四邊形CDMN是矩形，∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°，NE＝CE﹣CN＝CE﹣4，在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，∴（CE﹣4）2+82＝CE2，解答：CE＝10，故答案為：或10．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質與判定，勾股定理，正確的識別圖形利用勾股定理與折疊的性質求解是解題的關鍵．4．（2023·廣東·珠海市九洲中學三模）如圖，正方形中，，，分別交、于、，下列結論：①；②；③；④．其中正確的有__________．【答案】①③④【解析】【分析】根據正方形性質及，，易證△ABF≌△BGC，進而可證AF⊥BG；由△BFN∽△BGC，可證得；由全等三角形性質可得，轉化為，；延長AD、BG交于點H，易知△HDG∽△HAB，△BEM∽△HAM，可證明結論④正確．【詳解】∵正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠C=90°，∴BE=EF=FC=BC，BF=BC，CG=CD=BC∴BF=CG，在△ABF和△BCG中，∴△ABF≌△BCG(SAS)，∴∠AFB=∠BGC，∵∠BGC+∠CBG=90°，∴∠AFB+∠CBG=90°，∴∠BNF=90°，∴AF⊥BG，故結論①正確；∵∠BNF=∠C，∠FBN=∠GBC，∴