數列與不等式題型例1．已知數列滿足，且．(1)設，證明：是等比數列；(2)設數列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．解析（1）證明：∵，，，，,又，，,，，又，，,,即，，又，，，∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列．（2）由（1）可知數列是以2為首項，2為公比的等比數列，，即，，，，又，，即,，，，在是一個增數列，，，∴滿足題意的n的最小值是20．例2．已知數列滿足記數列的前項和為，(1)求證：數列為等比數列，并求其通項；(2)求；(3)問是否存在正整數，使得成立？說明理由.解析（1），即，所以，（2），所以，當為奇數時，可令，則，當為偶數時，可令則；（3）假設存在正整數，使得成立，因為，，所以只要即只要滿足①：，和②：，對于①只要就可以；對于②，當為奇數時，滿足，顯然不成立，當為偶數時，滿足，即令，因為由于的對稱軸為，故在且為偶數，單調遞減，當時，，故即，且當時，最大，且最大值為，因此，，所以當為偶數時，②式成立，即當為偶數時，成立.例3．已知數列中，，.（1）求證：數列是等比數列.（2）記是數列的前項和：①求；②求滿足的所有正整數.解析（1）設，因為，所以數列是以即為首項，以為公比的等比數列.（2）①由（1）得，即，由，得，所以，，②顯然當時，單調遞減，又當時，，當時，，所以當時，；，同理，當且僅當時，，綜上，滿足的所有正整數為和.例4．已知數列，滿足，，，．(1)求證：；(2)求證：；(3)設數列的前n項和為，求證：．解析（1）因為，所以為常數數列，又因為，，且，所以，故；（2）由于，若，則，而，所以和都是正數列，由（1）可知，所以，當且僅當時取等號．此時，即為常數列，與矛盾，所以，又，所以；（3）由于，所以，則，故，所以，當時，，所以當n＝1時，，所以．例5．已知數列滿足，(1)求的值；(2)記，證明：數列為等比數列．解析（1）由遞推關系可知，，，.（2），，所以，又，即數列是以為首項，為公比的等比數列.例6．記為數列的前n項和，且滿足．(1)若，求證：數列是等差數列；(2)若，設，數列的前n項和為，若對任意的，都有，求實數的取值范圍．解析（1）當時，，當時，，整理得，則，兩式相減，得，因為，所以，所以數列是等差數列．（2）當時，，令，得，則，因為，所以，因為，所以，所以數列是首項為－r，公比為2的等比數列，所以，所以．因為，所以，則，所以是遞增數列，是遞減數列，所以，所以，即實數的取值范圍為．例7．已知數列滿足．(1)設，求證數列為等差數列，并求數列的通項公式；(2)設，數列的前n項和，是否存在正整數m，使得對任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，試說明理由．解析（1）證明：∵，又由a1＝2，得b1＝1，所以數列{bn}是首項為1，公差為1的等差數列，所以bn＝1+(n－1)×1＝n，由，得．（2）∵，，所以，依題意，要使對于n∈N*恒成立，只需，即解得m≥3或m≤4．又m＞0，所以m≥3，所以正整數m的最小值為3．例8．設數列的前n項和為，已知，（）．(1)求證：數列為等比數列；(2)若數列滿足：，．（i）求數列的通項公式；（ii）若數列的前n項和為，證明：，解析（1）由，得（），

兩式相減，得，即（）．

因為，由，得，所以，

所以對任意都成立，所以數列為等比數列，首項為1，公比為2．（2）（i）由（1）知，，由，得，即，即，所以數列是首項為2，公差為2的等差數列．所以，所以．（ii），所以，兩式相減，得，所以．∵，∴.例9．已知數列的首項，且滿足.(1)求證：數列是等比數列；(2)若，求滿足條件的最大的正整數.解析（1）由，得，則，又因為所以數列是以為首項，以為公比的等比數列（2）由（1）得因為，所以即又因為為單調增函數,所以滿足的最大正整數為32即滿足條件的最大正整數例10．已知等差數列的前n項和為，，，數列滿足：，．(1)證明：是等比數列；(2)證明：；(3)設數列滿足：．證明：．解析（1）由，得，所以是以2為首項，2為公比的等比數列，．（2）設等差數列的公差為，，得，所以，，，，，得證．（3）當n為奇數時，，，當n為偶數時，，，設，，兩式相減得得，所以，所以．例11．已知數列滿足，，數列滿足，．（1）證明數列為等比數列并求數列的通項公式；（2）數列滿足，設數列的前項和，證明：．解析解：（1）證明：當時，，又，數列是首項為2，公比為2的等比數列，，；（2）證明：，，當時，當時，，當時符合，，，．又，．例12．已知正項數列滿足，.（1）證明：數列是等差數列；（2）若數列的前項和為，證明：.解析（1）∵，∴，∵是正項數列，∴，即∴數列是以2為首項，1為公差的等差數列.（2）由（1）知，，∴.∴∴∵，∴.（1）等差型，其中是公差為的等差數列；（2）無理型；（3）指數型；（4）對數型.例13．已知公差不為零的等差數列的前項和為，，，，成等比數列，數列滿足，.(1)求數列和通項公式；(2)求的值；(3)證明解析（1）設等差數列的公差為，由題意得，解得，故數列的通項公式.∵，∴，即，又，∴是以2為首項，2為公比的等比數列，，∴.（2）當，時，，當，時，，∴.（3），∴，當時，，∴.例14．已知數列滿足：，正項數列滿足：，且，，.(1)求，的通項公式；(2)已知，求：；(3)求證：.解析（1）由題意知，為等差數列，設公差為d，為等比數列，設公比為q，又，，，∴，∴，.∴，，∴.（2）由，