2023年秋期高三期末考試理科數學本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合，，則A． B． C． D．2．若為虛數單位，則復數的共軛復數在復平面內對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．執行右圖的程序，若輸入的實數=4，則輸出結果為A． B． C． D．4．若非零實數、滿足，則下列式子一定正確的是A． B．C． D．5．“”是“函數的圖象關于直線對稱”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．的展開式中只有第5項的二項式系數最大，則展開式中的常數項是A．28 B． C．70 D．7．在中，，，的最小值是A． B． C． D．8．已知直線被圓：截得的弦長為，且圓的方程為，則圓與圓的位置關系為A．相交 B．外切 C．相離 D．內切9．已知正三棱柱的高為，它的六個頂點都在一個直徑為4的球的球面上，則該棱柱的體積為A． B． C． D．10．已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積，若四面體的外接球的表面積為S，則S的最小值為A． B． C． D．11．函數對任意的都有，且時的最大值為，下列四個結論：①是的一個極值點；②若為奇函數，則的最小正周期；③若為偶函數，則在上單調遞增；④的取值范圍是.其中一定正確的結論編號是A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④12．已知，是雙曲線的左，右焦點，經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且.則該雙曲線離心率的取值范圍是A． B． C． D．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設等比數列滿足，，則.14．的內角、、的對邊分別為、、，若，則.15．已知是奇函數，若恒成立，則實數a的取值范圍是．16．已知點為拋物線的焦點，經過點且傾斜角為的直線與拋物線相交于，點，（為坐標原點）的面積為，線段的垂直平分線與軸相交于點.則的值為.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知等差數列滿足，公差，等比數列滿足，，．求數列，的通項公式；若數列滿足，求的前項和．18．（12分）如圖,四棱錐的側面是正三角形,,且,,是中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面,且,求二面角的余弦值.19．（12分）冠狀病毒是一個大型病毒家族,已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴重疾病.而2019年出現的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中,感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭,甚至死亡.某醫院為篩查冠狀病毒,需要檢驗血液是否為陽性,現有份需檢驗血液.（1）假設這份需檢驗血液有且只有一份為陽性,從中依次不放回的抽取份血液,已知前兩次的血液均為陰性,求第次出現陽性血液的概率；（2）現在對份血液進行檢驗,假設每份血液的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的,據統計每份血液是陽性結果的概率為,現在有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗；方式二：混合檢驗,將份血液分別取樣混合在一起檢驗（假設血液混合后不影響血液的檢驗）.若檢驗結果為陰性,則這份血液全為陰性,檢驗結束；如果檢驗結果為陽性,則這份血液中有為陽性的血液,為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性,就要對這份再逐份檢驗.從檢驗的次數分析,哪一種檢驗方式更好一些,并說明理由.參考數據：.20．（12分）已知函數，.其中.（1）證明：；（2）記.若存在使得對任意的都有成立.求的值.（其中是自然對數的底數）.21．（12分）已知橢圓的左右焦點分別是，點在橢圓上，滿足（1）求橢圓的標準方程；（2）直線過點，且與橢圓只有一個公共點，直線與的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點的兩點，與直線交于點（介于兩點之間），是否存在直線，使得直線，，的斜率按某種排序能構成等比數列？若能，求出的方程，若不能，請說理由.（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22.[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）已知是曲線上任意兩點，且，求面積的最大值.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數f（x）|2x﹣3|，g（x）|2x+a+b|.（1）解不等式f（x）x2；（2）當a0，b0時，若F（x）f（x）+g（x）的值域為[5，+∞），求證：.敘永一中2023年秋期高三期末考試理科數學參考答案1．B2．B3．C4．C5．A6．A7．A8．A9．D10．C11．A12．B13．114．15．16．217．解：由題意知，，公差，有1，，成等比數列，所以，解得．所以數列的通項公式．數列的公比，其通項公式．當時，由，所以．當時，由，，兩式相減得，所以．故所以的前項和，．又時，，也符合上式，故.18．（1）取的中點,連接,因為是中點,所以,且,又因為,,所以,,即四邊形是平行四邊形,所以,又因為平面,平面,所以平面；（2）方法一：取中點,連接,,因為是正三角形,所以,因為平面平面,所以平面,平面,所以,故,以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,,,,所以,,設平面的法向量為,則,,令得,易知平面的法向量為,則,所以二面角的余弦值為.方法二：過作交于,所以,且平面,過作交于,連接,所以,所以為二面角的平面角,因為,,因為平面,所以,且,又因為,所以,,故,所以二面角的余弦值為.19．解：（1）.（2）方式一：檢驗次數次.設方式二需要需檢驗的次數為.根據題意有的可能取值為.,.所以：的分布列為：15所以：.因為：,所以：.所以：從檢驗的次數分析,方式二更好一些.20．解：（1）要證明，即證明，.令，.則.于是在單調遞增，所以即，.所以.（2），.則.令，.當時，由（1）知.則（i）當時，于是，從而.故在嚴格單調遞增.其中.（ii）當時，則.（用到了在單調遞增與）于是，故在嚴格單調遞減.綜上所述，在嚴格單調遞減，在嚴格單調遞增.因為，所以.所以.21．解：（1）設，則，，所以橢圓方程為；（2）設直線的方程為，與聯立得，∴，因為兩直線的傾斜角互補，所以直線斜率為，設直線的方程為，聯立整理得，，所以關于對稱，由正弦定理得，因為,所以，由上得，假設存在直線滿足題意，設，按某種排列成等比數列，設公比為，則，所以，則此時直線與平行或重合，與題意不符，所以不存在滿足題意的直線．22．解：（1）消去參數，得到曲線的標準方程為：，故曲線的極坐標方程為．（2）極坐標系中，不妨設，其中.由（1）知：面積，當時，即有最大值，此時.故面積的最大值為.23．（1）解：不等式f（x）x2化為|2x﹣3|x2，等價于或，即為或，解得x或x﹣3或1x，所以不等式f（x）x2的解集為{x|x1或x﹣3}；（2）證明：由a0，b0，根據絕對值三角不等式可知F（