河南省商丘市包公廟鄉聯合中學高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設x，y滿足約束條件，則目標函數的最小值是（

）A．0

B．2

C.4

D．6參考答案：A2.已知函數f（x）=，若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，則實數a的取值范圍是（）A．a＜2 B．a＞2 C．﹣2＜a＜2 D．a＞2或a＜﹣2參考答案：A【考點】特稱命題．【分析】若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，則說明f（x）在R上不單調，分a=0及a≠0兩種情況分布求解即可【解答】解：若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，則說明f（x）在R上不單調①當a=0時，f（x）=，其圖象如圖所示，滿足題意

②當a＜0時，函數y=﹣x2+ax的對稱軸x=＜0，其圖象如圖所示，滿足題意

③當a＞0時，函數y=﹣x2+ax的對稱軸x=＞0，其圖象如圖所示，要使得f（x）在R上不單調則只要二次函數的對稱軸x=∴a＜2綜上可得，a＜2

故選A3.已知函數，若存在實數滿足其中，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：由題意知，因此，，得，令，得或，由圖知，令，得或，，，故答案為B考點：1、函數的圖象；2、對數的運算性質4.已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為()參考答案：C5.已知A、B均為集合的子集，且則

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，則M∩N為（）A．（1，2） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）參考答案：A【考點】1E：交集及其運算．【分析】通過指數函數的值域求出M，對數函數的定義域求出集合N，然后再求M∩N．【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故選A7.一個數學興趣小組有女同學2名，男同學3名，現從這個數學興趣小組中任選2名同學參加數學競賽，其中男同學人數不少于女同學人數的概率為（）A.

B.

C.

D.參考答案：D略8.下列有關命題說法正確的是(

)A.是的必要不充分條件B.命題的否定是C.的三個內角為,則是的充要條件D.函數有3個零點參考答案：C9.已知集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.下列各式中成立的是（

）A． B．

C． D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列{an}的通項公式為an=n2+λn（n=1，2，3，…），若數列{an}是遞增數列，則實數λ的取值范圍是

．參考答案：（﹣3，+∞）考點：數列的函數特性．專題：等差數列與等比數列．分析：由已知條件推導出an+1﹣an=（n+1）2+λ（n+1）﹣（n2+λn）=2n+1+λ＞0恒成立，由此能求出實數λ的取值范圍．解答： 解：∵數列{an}的通項公式為an=n2+λn（n=1，2，3，…），數列{an}是遞增數列，∴an+1﹣an=（n+1）2+λ（n+1）﹣（n2+λn）=2n+1+λ＞0恒成立∵2n+1+λ的最小值是2×1+1+λ=3+λ＞0∴λ＞﹣3即實數λ的取值范圍是（﹣3，+∞）．故答案為：（﹣3，+∞）．點評：本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意單調性的靈活運用．12.對于曲線所在平面上的定點，若存在以點為頂點的角，使得對于曲線上的任意兩個不同的點恒成立，則稱角為曲線相對于點的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線相對于點的“確界角”．曲線相對于坐標原點的“確界角”的大小是

．參考答案：

13.函數f（x）=2x+3x（﹣1≤x≤2）的最大值是

．參考答案：13考點：函數的最值及其幾何意義；指數函數的單調性與特殊點．專題：計算題．分析：直接利用指數函數的單調性以及兩個增函數的和為增函數判斷出f（x）單增，從而在端點處求出函數的最大值．解答： 解：∵y=2x與y=3x都是增函數∴f（x）=2x+3x為增函數∴當x=2時，f（x）有最大值f（2）=4+9=13故答案為：13點評：本題主要考查了函數的單調性，解題的關鍵是f（x）在R上增，g（x）在R上增，則f（x）+g（x）在R上增，屬于基礎題．14.若=

。參考答案：1略15.在平面直角坐標系中，準線方程為y=4的拋物線標準的方程為．參考答案：x2=﹣16y略16.設F1，F2是曲線=1（m＞0，n＞0）的兩個焦點，曲線上一點與F1，F2構成的三角形的周長是16，曲線上的點到F1的最小距離為2，則n=

．參考答案：4或5考點：橢圓的簡單性質．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：由橢圓的方程分類求出橢圓的半長軸長，短半軸長及半焦距，再由三角形的周長是16，曲線上的點到F1的最小距離為2列關于m，n的方程組求得n的值．解答： 解：由曲線=1（m＞0，n＞0），當m＞n時，曲線表示焦點在x軸上的橢圓，此時a=m，2a=2m，b=n，c2=a2﹣b2=m2﹣n2，∴．由題意可得，，解得：m=5，n=4；當m＜n時，曲線表示焦點在y軸上的橢圓，此時a=n，2a=2n，b=m，c2=a2﹣b2=n2﹣m2，∴．由題意可得，，解得：m=4，n=5．∴n的值為4或5．故答案為：4或5．點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，關鍵是注意分類討論，是中檔題．17.

若一個底面為正三角形、側棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個棱柱的體積為

。

參考答案：答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數，g（x）=b（x+1），其中a≠0，b≠0（1）若a=b，討論F（x）=f（x）﹣g（x）的單調區間；（2）已知函數f（x）的曲線與函數g（x）的曲線有兩個交點，設兩個交點的橫坐標分別為x1，x2，證明：．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可（2）問題轉化為證，，只需證明成立，根據函數的單調性證明即可．【解答】解：（1）由已知得，∴，當0＜x＜1時，∵1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，∴1﹣x2﹣lnx＞0，；當x＞1時，∵1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，∴1﹣x2﹣lnx＜0．故若a＞0，F（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；故若a＜0，F（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．（2）不妨設x1＞x2，依題意，∴，同理得由①﹣②得，∴，∴，∴，故只需證，取∴，即只需證明成立，即只需證成立，∵，∴p（t）在區間[1，+∞）上單調遞增，∴p（t）＞p（1）=0，?t＞1成立，故原命題得證．19.如圖，在七面體ABCDMN中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB與ND交于P點．（I）在棱AB上找一點Q，使QP∥平面AMD，并給出證明；（Ⅱ）求平面BNC與平面MNC所成銳二面角的余弦值．參考答案：考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定．專題：計算題；空間位置關系與距離；空間角．分析：（I）設Q為AB上的一點，滿足BQ=AB．由線面平行的性質證出MD∥NB，結合題中數據利用平行線的性質，得到，從而在△MAB中得到QP∥AM．最后利用線面平行判定定理，證出QP∥平面AMD，說明在棱AB上存在滿足條件的點；（II）建立如圖所示空間直角坐標系，算出向量、和的坐標．利用垂直向量數量積為0的方法建立方程組，算出=（1，﹣2，﹣2）為平面CMN的一個法向量．根據線面垂直的判定定理證出DC⊥平面BNC，從而得到=（0，2，0）是平面BNC的一個法向量，最后用空間向量的夾角公式加以計算，即可算出平面BNC與平面MNC所成銳二面角的余弦值．解答： 解：（I）當AB上的點滿足BQ=AB時，滿足QP∥平面AMD，∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，且，∴，在△MAB中，可得QP∥AM．又∵QP?平面AMD，AM?平面AMD．∴QP∥平面AMD，即存在棱AB上找一點Q，當BQ=AB時，有QP∥平面AMD；（II）以DA、DC、DM所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系可得D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2），N（2，2，1）∴=（0，﹣2，2），=（2，0，1），=（0，2，0）設平面CMN的一個法向量為=（x，y，z）∴，取z=﹣2，得x=1，y=﹣2由此可得=（1，﹣2，﹣2）為平面CMN的一個法向量∵NB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴NB⊥CD又∵BC⊥CD，BC∩NB=B∴DC⊥平面BNC，可得=（0，2，0）是平面BNC的一個法向量∵cos＜，＞===∴平面BNC與平面MNC所成銳二面角的余弦值等于．點評：本題在特殊多面體中，探索線面平行并求二面角的余弦值，著重考查了線面平行、垂直的判定與性質和利用空間向量研究平面與平面所成角等知識，屬于中檔題．20.（本小題13分）已知橢圓C:的離心率為，且橢圓C上的點到點的距離的最大值為3.（1）求橢圓C的方程。（2）已知過點T（0，2）的直線與橢圓C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點，使，求直線的斜率的取值范圍.參考答案：（1），設橢圓的方程為，設為橢圓C上任意一點，··························2分由于，當時，此時取得最大值，當時，此時取得最大值，不符合題意。···················5分故所求橢圓方程為··········································6分（2）由已知，以AB為直徑的圓與X軸有公共點，·························7分設，AB中點直線：代入得，，····························8分·····································10分解得：，即········12分所以，所求直線的斜率的取值范圍是·············13分21.

已知函數,其中是實數.設,為該函數圖象上的兩點,且.(Ⅰ)指出函數的單調區間;(Ⅱ)若函數的圖象在點處的切線互相垂直,且,求的最小值;(Ⅲ)若函數的圖象在點處的切線重合,求的取值范圍.參考答案：解:函數的單調遞減區間為,單調遞增區間為,……3分由導數的幾何意義可知,點A處的切線斜率為,點B處的切線斜率為,故當點A處的切線與點B處的切線互相垂直時,有.當時,對函數求導,得.因為,所以,……5分所以.因此……7分當且僅當==1,即時等號成立.所以函數的圖象在點處的切線互相垂直時,的最小值為1。……8分

當或時,,故.當時,函數的圖象在點處的切線方程為,即……9分當時,函數的圖象在點處的切線方程為,即.……10分兩切線重合的充要條件是由①及知,.由①②得,.……12分設,則.所以是減函數.……13分則,所以.又當且趨近于時,無限增大,所以的取值范圍是.故當函數的圖像在點處的切線重合時,的取值范圍是

……14分略22.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）當AB⊥x軸時，．（2）當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根與系數的關系進行求