備戰2021年高考數學【名校、地市好題必刷】全真模擬卷?1月卷

第十模擬

一、單選題

1.（2020?河南開封市南三一模（理））已知集合4={-2,-1,0,1,2},8=b|3=兇+1,彳€4}則4B=（）

A.0B.{-1,0,1）

C.{1,2}D.{-2,-1,0,1,2,3}

【答案】c

【分析】

根據xwA|M=N+l求解出的可取值，從而集合B可確定，根據交集概念求解出A8的結果.

【詳解】

因為3={M|y|=|x|+l,xwA},故當x=±l時，y=±2,當1=±2時，y=±3,當x=0時，y=±l,

所以B={-3,—2—1,123},所以AB={1,2},

故選：c.

2.（2020?河南高三月考（理））復數的共枕復數是（）

4z-3

617.617.617.617.

A.------1------ZB.------------1C.---------1------1D.---------------1

2525252525252525

【答案】A

【分析】

化簡得=即得其共輾復數.

4Z-32525

【詳解】

?3z+2(3z+2)(4z+3)-6+17z617.

因為-----=--------------=--------=--------1，

4?-3(4z-3)(4z+3)-252525

X|>-7

所以其共輒復數是石+石i.

故選；A

3.(2020?威遠中學校高三月考(理))某城市為了解游客人數的變化規律，提高旅游服務質量，收集并整

理了2015年1月至2017年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數據，繪制了下面的折線圖.

根據該折線圖，下列結論錯誤的是().

A.年接待游客量逐年增加

B.各年的月接待游客量高峰期在8月

C.2015年1月至12月月接待游客量的中位數為30萬人

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩

【答案】C

【分析】

根據折線圖，從單調性，中位數的定義、方差的性質逐一判斷即可.

【詳解】

A：通過折線圖可知：年接待游客量逐年增加，所以本選項結論正確；

B：通過折線圖可知：各年的月接待游客量高峰期在8月，所以本選項結論正確；

C：2015年1月至12月月接待游客量在1月、2月、3月、4月、5月、6月、11月、12月都不超過30萬人，

因此2015年1月至12月月接待游客量的中位數不超過30萬人，所以本選項結論錯誤：

D：根據折線圖可知：各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩，所

以本選項說法正確.

故選：C

4.（2020?江西贛州市?高三其他模擬（理））四面體A-8C。中，ABIJ^BCD,AB=BD=-j2,

CB=CD=1,則四面體A—BCD的外接球表面積為（）

A.3萬B.4萬C.6萬D.12萬

【答案】B

【分析】

由題意畫出圖形，補形為長方體，求其對角線長，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求.

【詳解】

如圖，在四面體A—8C。中，48_1_底面8。。，AB=BD=啦,CB=CD=\,

可得ZBCD=90°,補形為長方體，則過一個頂點的三條棱長分別為1,1,

則長方體的對角線長為卜"=2，

則三棱錐A-BCD的外接球的半徑為1.

其表面積為4%XF=4萬.

故選：B.

【點睛】

關鍵點點睛：

求解本題的關鍵在于，將該四面體補形得到長方體，由長方體的結構特征，即可得出外接球半徑，求出結

果.

5.(2020?四川宜賓市?高三一模(文))函數/(%)=-sinx+xcosx部分圖象大致形狀為()

【答案】c

【分析】

利用奇偶性的定義可證/(x)是奇函數，在利用導函數研究單調性即可確定函數圖象.

【詳解】

由解析式知：/(—x)=—sin(—x)+(—x)cos(-x)=sinx-xcosx=—/(x),即.f(x)是奇函數，且/(())=。,

即可排除A、B；

因為尸（x）=-xsinx,所以0<x<]時/"（xXO有/（x）單調遞減，排除D；

故選：C

【點睛】

關鍵點點睛：利用函數的奇偶性、導函數研究函數單調性判斷函數的圖象.

6.（2020?四川宜賓市?高三一模（文））《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題：“今有垣厚

若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩

邊打洞穿墻.大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚,

第〃天后大老鼠打洞的總進度是小老鼠的4倍，則”的值為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】

設大老鼠每天打洞的長度構成等比數列｛4｝，則4=1,4=；，小老鼠每天打洞的長度構成等比數列｛〃｝,

則4=1,4=（,再分別求和構造等式求出"的值.

【詳解】

設大老鼠每天打洞的長度構成等比數列｛“"｝，

1-2"

則4=Lq=2,所以s“=^^=2"—1.

"1-2

設小老鼠每天打洞的長度構成等比數列｛2｝,

1I；）"1

則4=1應=3,所以（,=一^-=2[1

21-A2

2

fI\"

所以5,,=47；,即2"-1=81--,化簡得4"—9x2"+8=0

解得：〃=3或〃=1（舍）

故選：C

7.（2020?全國高三專題練習（理））（x+2）（l-2x）s的展開式中，X的奇次褰項的系數之和為（）

A.-123B.-120C.-1D.1

【答案】A

【分析】

先將（x+2）（1-展開，再利用賦值法求出奇次基項的系數之和.

【詳解】

設（X+2）（1-2x）5_4+ax+4*2+…+4%6,

令x=1,則-3=4+4+/----，

令x=-1,貝!）35=_q+%—??■+%，

兩式相減，整理得4+%+為=—123.

故選：A

8.（2020?河南開封市?高三一模（理））已知拋物線。：/=2〃%（〃>0）的焦點為尸，0為坐標原點，A,B

為拋物線C上兩點，IA。|=|AF|,且|4加+|8/|="，則A8的斜率不可能是（）

A.B,-2^2C.2&D.也

32

【答案】D

【分析】

先由題中條件，根據拋物線的焦半徑公式，求出A5的橫坐標，進而確定A3的坐標，由斜率公式，即可

求出結果.

【詳解】

因為產為拋物線。：丁=20*(。＞0)的焦點，所以F25°/

又|AO=|AE|,即A。尸為等腰三角形，所以乙(，又點A在拋物線y2=2pxl：,

2…孕即喂,±

所以"2=2〃x(=g,則歷P

22)

所以由拋物線的焦半徑公式可得：|AF|=XA+5=WP，

又|4/|+|8/|="，所以|8尸|=2,即3=2

，所以兀8=〃,

422

則笫2=2p2，即%=±0〃,所以8(〃,±拒〃卜

枝P一冬2正

￡

當AB(P,0P)時，AB的斜率為kAI)

42)〃P=亍

網p,-企p)時，AB的斜率為原3=二^近P

￡及］工=—20：

當A

42)P_

P-

4

何+也

P_

當A，B(p,6p)時，AB的斜率為kAB=--------2_=2五；

4'2)

一及P+號一2母

P_

當A,8(，,—0p)時，AB的斜率為hB

4，2)二亍

P-W

故ABC都能取到，D不能取到.

故選：D.

【點睛】

關鍵點點睛：

求解本題的關鍵在于利用題中條件|A01=1A尸確定A點橫坐標，結合|AF|+|BF|="以及焦半徑公

4

式，確定3點橫坐標，得出兩點坐標，即可求解.

二、多選題

9.（2020?開原市第二高級中學高三三模）滿足M1棺,4,%g}，且M{q,%,%}={%,4}的集合M

可能是（）

A.{4,4}B.{q,4,%}C.{4,4,4}D.{《，《，生，％}

【答案】AC

【分析】

由交集的結果知集合”一定含有元素6,%，一定不含有小,由此可判斷.

【詳解】

?{a”4,%}={4，出}，??集合M-XE含有兀素4,4，定不含彳J%,

M={4，生}或M={at,a2,a4}.

故選：AC.

【點睛】

本題考查由集合的交集求參數，掌握交集的定義是解題基礎.

uuuir1

10.（2020?全國高三專題練習）已知正方形ABCD的邊長為2,向量“，〃滿足AB=2a，AD=2a+b>

則（）

A.\b\=2A/2B.aA.bC.a?b2D.（4a+b）^-b

【答案】AD

【分析】

把AB，4。作為基底結合正方形性質即可.

【詳解】

1UUIUUUUUUU1ULB1廣

由條件可〃=AT>_A3=B。，所以|Z?|=|B￡）|=2垃，A正確；

a-^AB,與§力不垂直，B錯誤：

rriuunuun

ab=-ABBD=—2,C錯誤；

2

r1UUUUUUUUWrII

4a+b=AB+AD=AC-根據正方形的性質有AC_LBD，所以（4a+》）_L8，D正確?

故選:AD

【點睛】

選擇恰當的基底是解決問題的關鍵，注意特定圖形的性質運用.

11.（2020?江蘇南通市?高三月考）如圖所示，在長方體ABC0—A4G。，若AB=BC,E、尸分別是

Ag、8G的中點，則下列結論中成立的是（）

A.EF與BB1垂直B.EF上平面BDRBi

C.EF與G。所成的角為45°D.EF〃平面AMG。

【答案】ABD

【分析】

證明出E/WAC，BB]LAG，可判斷A選項的正誤；證明出AG，平面結合瓦7/￡可判

斷B選項的正誤；計算出ZA,C,D的值，結合EF//A,C,以及異面直線所成角的定義可判斷C選項的正誤;

利用線面平行的判定定理可判斷D選項的正誤.

【詳解】

連接AG、A。，則E為AB的中點,

AR

對于A選項，平面A4GA，4。1（=平面4由。|。],，54_1.40，

E、產分別為AB、8G的中點，則E/〃AG，二七尸A選項正確；

對于B選項，四邊形4B|GA為正方形，則AG，4A，

又AGJ-BB[,BRCBB[=B「；.4G_L平面BDDB,

EF〃Aa，；.EF上平面BDRB],B選項正確；

對于c選項，易知AG。為等邊三角形，則NAGO=6（）,

EFIAG，則EF與G。所成的角為幺￡。=6（）,C選項錯誤；

對于D選項，EF"AC\,Ef（z平面A4GA，46=平面4片。|。|，，瑁?〃平面44。12,D選

項正確.

故選：ABD.

【點睛】

本題考查線線垂直、線面垂直、線面平行以及異面直線所成角的判斷，屬于中等題.

12.（2020?福建高三其他模擬）設函數“x）=q,則下列說法正確的是（）

Inx

A.7（力定義域是（0,+。）B.X€（0,l）時，“X）圖象位于X軸下方

c./（X）存在單調遞增區間D.7（X）有且僅有一個極值點

【答案】BCD

【分析】

求出函數定義域判斷A,根據函數值的正負判斷B,求出導函數，利用導函數確定原函數的增區間，判斷C,

由導函數研究函數的單調性得極值，判斷D.

【詳解】

由題意，函數八月=二滿足<x>°，、/

,八，解得x>0且XH1,所以函數—的定義域為

InxInx^OJ')Inx

(0,1)(1,+8),所以A不正確;

由〃x)=q,當x?O,l)時，lnx<0,.../(xhO,所以/(x)在(0,1)上的圖象都在軸的下方，所

Inx

以8正確；

?/Ix),所以/'(x)>。在定義域上行解，所以函數“X)存在單調遞增區間，所以C是

JX—一(Inx)2一

正確的；

由g(x)=lnx—L則8,3=^+!(_1>0),所以g'(x)>0,函數g(x)單調增，則函數/'(x)=()只

有一個根不，使得尸(須)=。，當X€(0,X。)時，尸(幻<0,函數單調遞減，當X€(Xo，-8)時，函數單

調遞增，所以函數只有一個極小值，所以。正確；

故選：BCD.

【點睛】

本題考查求函數的定義域，考查用導數研究函數的單調性與極值，掌握極值的定義，單調性與導數的關系

是解題關鍵.

第II卷(非選擇題)

請點擊修改第II卷的文字說明

三、填空題

13.(2020?四川宜賓市?高三一模(文))已知函數/(x)=e'-^ax2(e為自然對數的底數)是R上的增函數,

則實數。的取值范圍是.

【答案】

【分析】

由題可得r(x)=e”—辦20在R上恒成立，分。=。，”＜0和。＞0三種情況討論可求解?

【詳解】

/(x)=e'-；以2是R上的增函數，

.?./'(力=爐一。120在尺上恒成立，即

x

令X=e,y2=ax,

當。=0時，,20恒成立，符合題意；

當。＜0時，如圖，不符合題意；

當a>0時,令g(x)=/_or,則g，(x)=e*-a,

令g'(x)=。,解得x=lna,

則當xe(Y?,lna),g'(x)<0,g(x)單調遞減，

當xw(lna,+oo),g〈x)>0,g(x)單調遞增,

na

g(x)mn=g(ina)=e'-alna>0,解得0<a?e,

綜上，。的取值范圍是［O,e］.

故答案為：［O,eL

【點睛】

關鍵點睛：本題考查已知函數單調性求參數，解題的關鍵是將單調性轉化為了'(x)=ev-acNO在R上恒

成立，在討論a的范圍求解.

14.(2020?貴州安順市?高三其他模擬(文))已知數列｛q｝中，4=1，4出=2%+2",貝!)4=.

【答案】n-T-'

【分析】

將an+x=2a,+2",變形為爵-a?=；,利用等差數列定義求解.

【詳解】

因為%M=24+2”,

所以%L一殳=，乂幺=_1

2/:+,2〃2，乂22’

所以數列是以3為首項，以!為公差的等差數列，

2"22

所以*2"2'‘2=25'

ri

所以an^r--,

2

故答案為；n-2'-1

15.(2020?河南信陽市?羅山縣教學研究室高三其他模擬(理))為穩定當前物價，某市物價部門對本市的5

家商場的某商品的一天銷售量及其價格進行調查,5家商場商品的售價X元和銷售量了件之間的一組數據如

下表所示：

價格X8.599.51010.5

銷售量.V1211976

由散點圖可知，銷售量與價格x之間有較好的線性相關關系，其線性回歸方程是》=-3.2》+2,則2=

【答案】39.4

【解析】

x=9.5,y=9.-.5=94-3.2x9.5=39.4

點睛：函數關系是一?種確定的關系，相關關系是一種非確定的關系.事實上，函數關系是兩個非隨機變量的

關系，而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系.如果線性相關，則直接根據用公式求兄。，寫出回歸方

程，回歸直線方程恒過點日,]).

16.(2020?武漢外國語學校高三其他模擬(文))已知A,5是圓8》—2y+16=0上兩點，點

尸在拋物線f=2y上，當NAPB取得最大值時，貝ij(1)點P的坐標為；(2)|AB|=—.

【答案】(2,2)延

【分析】

首先判斷出當NAPB取得最大值時，PA,PB是圓。的切線(A,B是切點).設NAPB=2a,P/方

利用構造函數法，結合導數求得1Pq的最小值，此時NAP3最大，進而求得此時|A5|的值以及p點的坐

標.

【詳解】

依題意可得，當用，/>8是圓C的切線時，NAPB取得最大值，即4,8是切點，

設NAP3=2a,PI2J.

?.?圓。：/+；/一8%一2曠+16=0,g|J(x-4)2+(y-l)=1

1

圓心。(4,1),半徑為1,從而sin(jf---------------

附I’

(2Y4

22

V|pc|=(x0-4)+^--1=2-8%+17,

I274

4

令=+8X+17,則r(x)=d—8.

...當x<2時，r(x)<0,即函數<(x)在(YO,2)上為減函數;

當x>2時，/'(x)>0,即函數/(x)在(2,出動上一為增函數.

⑵=5,即|PQ1m=召.

（An*,此時NAPB最大,

5

cosa=Jl—sin%=",根據圓的切線的幾何性質可知PC垂直平分A3,

5

所以NC4B=。，

**?\AB\=2|AC|cosa=2cos?=-

將x=2代入％2=2y可得y=2,所以此時P（2,2）.

故答案為：（2,2）；竽

【點睛】

本題考查圓與拋物線的基本性質，考查利用導數求最值，屬于較難題.

四、解答題

-l__bcos5+1

17.（2020?全國高三專題練習）在①COS2B—百sinB+2=0,②2/?cosC=2a—c,③一=k：三

aJ3sinA

個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.

已知A48C的內角A,B,C所對的邊分別是“，b,c,若,且a,b,c成等差數列，則AABC是否

為等邊三角形？若是，寫出證明；若不是，說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】①；證明見解析

【分析】

TT

選擇①：由余弦降幕公式代入即可求得sinB,結合a,b,c,成等差數列可得2b=a+c,B=~,代入余

弦定理公式，即可得從二。。，結合等式2b=a+c可求得a=c,進而證明AABC為等邊三角形.

【詳解】

選擇①cos2B—石sin8+2=0，

證明：則由余弦降密公式可得1—Gsin3+2=0，

即(2sinB—6)卜皿5+石)=0,

由0<B<%可得sinB=走，

2

又因為a,b,c成等差數列，則B為銳角，

7T

則2b=a+c,B=一,

3

由余弦定理可知。2="+/—2QCCOS3，

代入可得〃=(a+c/—3ac,即b?=比，

則=ac，化簡可得(a-c)2=0,

7t

即。=。，又因為8=—,

3

所以A4BC為等邊三角形.

【點睛】

本題考查了三角函數解析式的化簡應用，余弦降幕公式化簡三角函數式，余弦定理解三角形，等差中項性

質的應用，綜合性較強，屬于中檔題.

18.（2020?山東濟寧市?高三其他模擬）已知數列｛4｝是公差為2的等差數列，它的前〃項和為邑，且

4，。3,生成等比數列.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）求數列。的前八項和7；.

n

【答案】（1）q=2〃+2；（2）-

n+\

【分析】

（1）根據條件求出數列的首項，即可寫出通項公式；

1

（2）求出S,,,即可得。.，利用裂項相消法可求解.

S“-2〃

【詳解】

（1）數列｛4｝是公差為2的等差數列，且q,生,四成等比數列4，/，%成等比數列，

\始二申/,貝iJ（q+4『=6（%+12）,解得a,=4,

\a,t=4+(n-1)?22〃+2；

⑵由⑴可得S,=^|^"2+3〃，

1_1_1_11

2

Sn-2nn+nnn+l

因此［=;111n

--------1-------------F-----------=]

223n〃+1-----〃+1〃+l

【點睛】

結論點睛：

裂項相消法求數列和的常見類型:

111］、

(1)等差型------=-一一——，其中｛4｝是公差為"（doO）的等差數列;

an+\

無理型1=—詬

++kk

(3)指數型（。一1）4="向一相；

(4)對數型bg

19.（2020?四川瀘州市?高三一模（理））如圖，在四棱錐S—A3C3中，底面A8CD是菱形，G是線段A8

上一點（不含AB）,在平面SGD內過點G作GP//平面SBC交SO于點P.

（1）寫出作點P、GP的步驟（不要求證明）;

TT

(2)若NBAO=§,AB=SA=SB=SD=2,尸是SO的中點，求平面SBC與平面SGO所成銳二面角

的大小.

【答案】(1)答案見解析；(2)

4

【分析】

(1)根據線面平行的判定定理，利用面面平行可得，作兩條相交直線分別和BC,SC平行即可；

(2)過。作OE〃GB交于E,以OG,OE,OS分別為X,九z軸建立空間直角坐標系,利用向量法求

解即可.

【詳解】

(1)第一步：在平面48co內作G”//8c交CO于點”；

第二步：在平面SCO內作”P//SC交SQ于P；

第三步：連接GP,點P、GP即為所求.

(2)因P是S。的中點，HP//SC,所以H是CD的中點，

而GH//BC＞所以G是的中點.

連AC,GD交于。，連SO,設S在底面A8c。的射影為M，

因為SA=SB=SZ),所以M4=M3=MO，即M為A83的外心，

所以M與。重合，因2叵，50=2,

3

所以so=^^,OC=2AC=^,

333

過。作OE//GB交BCTE,以。G,OE,OS分別為X,》，z軸建立空間直角坐標系，貝ij

S(0,0,2,),B(^y-,1,O),C(--^^,2,0),

所以SB=(*,1,-平),8C=(-4,1,0),設平面SBC的法向量為n=(x,%z),

ZB=?x+y咨

則《3-3

n-BC=-用x+y=0

取z=V2，則無=1,y=>J3，

所以“=(1,百,0).

又G8_L平面SGO,

故GB=(0,1,0)為平面SGD的法向量，

設平面SBC與平面SGD所成銳二面角的大小為0,

八|nGB|

貝I]cos。=-----L=二6==二￡一，

In||GB|V62

7T八兀

因為。6(0,二)，所以。=7.

24

故平面SBC與平面SGO所成銳二面角的大小為

4

【點睛】

關鍵點點睛：本題在建立空間直角坐標系前，首先利用垂直關系得到2叵，so二巫,

33

OC=2AC=&8,否則建立坐標系后不能寫出向量坐標，因此建系之前需要證明垂直關系，尋求數量關

33

系.

20.（2020?全國高三其他模擬（理））新型冠狀病毒是一種人傳人，而且隱藏至深、不易被人們直覺發現危

及人們生命的嚴重病毒.我們把與這種身帶新型冠狀病毒（稱之為患者）有過密切接觸的人群稱為密切關

聯者.已知每位密切關聯者通過核酸檢測被確診為陽性后的概率為〃（0<〃<1）.一旦被確診為陽性后即

將其隔離.某位患者在隔離之前，每天有k位密切關聯者與之接觸（而這上個人不與其他患者接觸），其中

被感染的人數為X（OWXWk）.

（1）求一天內被感染人數X的概率"（X）的表達式和X的數學期望；

（2）該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天內患者無任何癥狀，則為病毒傳播的最佳時間.設

每位患者在不知自己患病的情況下的第二天又與k位密切關聯者接觸.從某一從名患者被帶新型冠狀病毒

的第1天開始算起，第n天新增患者的數學期望記為E0（n>2）.

①當％=10,p=求心的值；

②試分析每位密切關聯者佩戴口罩后與患者接觸能否降低患病的概率，經大量臨床數據驗證佩戴口罩后被

感染患病的概率p'滿足關系式p'=ln（l+p）-g.當p'取得最大值時，計算p'所對應的然'和〃所對

應的值，然后根據計算結果說明佩戴口罩的必要性（取攵=10）.

]2

（參考數據：111240.7,ln3?l.l,ln5?1.6,-?0.3,-?0.7,66=4665（）計算結果保留整數）

【答案】⑴p（X）=C*x（l-P廣、（O4X<K）,￡（X）=劭；（2）①233280；②￡6=6480（人）；

E；=16（人）；必要性見解析.

【分析】

（1）設事件A：被病毒感染的人群，隨機變量X的取值為：0,1,2,…，k.得到事件A服從二項分布

X即可求解.

（2）①根據題意，第〃天新增加人數的數學期望耳,=（1+切）”一1一（1+切）”2,即可求解心的值.

21

②求得p'=f（p）=ln（l+p）—,利用導數求得函數f（〃）的單調性和最值,進而得到p=萬，p'=0.1,

分別求得紜和紇'的人數，即可得到結論.

【詳解】

（1）根據題意，因為任何?個與患者密切接觸的關聯者，被感染（患病）的概率均為P,

乂每天有女位密切關聯者與一患者接觸，設事件A：被病毒感染的人群，

隨機變量X的取值為：0,1,2,k.顯然事件A服從二項分布XB（k,p）,

即p（X）=CjpX（i_p）K-x（0?xWK）,顯然E（X）=@.

（2）①根據題意，最初患者自己被感染，即第1天人數為1,

第2天被感染人數增至為：1+1?3=1+3；

第3天被感染人數增至為：（1+切）+（1+切）幼=（1+即）2,一，

顯然第天被感染人數增至為；（1+即）”2,第〃天被感染人數增至為：（1+S廣’，

于是根據題意中均值定義，第〃天新增加人數的數學期望￡；,=（1+S廣|-（1+切）”2,

即紇=切(1+切廣2,于是&=iox—1+lOx-=5x6''=233280.

212)

21__2_1-2/?

②根據題意函數"=/(p)=ln(l+p)--p,求導得:/(p)

1+p33(1+p)

當且僅當時，/'(〃)>0,此時〃'=/(〃)單調遞增；當pe時，r(p)wo,

即P'=/(P)單調遞減，于是P，=f(P)z<pW=ln3-ln2-1?0.1.

此時〃=J，P'=。1，

于是￡6=10xg(l+10xg)=5x64=648()(人)，

r^lOx—fl+10x—=24=16(人).

iol10)

經過計算得知，戴口罩情況下患者與密切接觸的關聯者接觸被感染的人數為16人，

而不戴口罩的情況下患者與密切接觸的關聯者接觸被感染的人數為6480人，

即我遠大于線'，于是戴口罩是非常必要的.

【點睛】

本題以新冠疫情重大突發事件為背景命題，以病毒人傳人大事件的預防建立數學模型來考查概率的相關概

念、事件的劃分、離散型隨機變量的期望等概念的應用，同時考查了理性思維、抽象思維及邏輯推理、運

算求解能力、讀題理解能力、計算能力.

21.(2020?云南昆明市?高三其他模擬)已知橢圓C：?+%=l(a>6>0)的離心率為乎，其左、右焦點

分別為耳，瑪，點是坐標平面內一點，且|OP|=*,為坐標原點).

(1)求橢圓c的方程;

(2)過點S且斜率為左的動直線/交橢圓于A,B兩點,在y軸上是否存在定點M,使以A3為直

徑的圓恒過這個點？若存在，求出〃的坐標，若不存在，說明理由.

【答案】⑴y+y=1；（2）存在M（O,1）,理由見解析.

【分析】

（1）利用|0P|=弓，，列出方程可得c=l,再由離心率即可求出a,仇得出橢圓方程;

（2）設出直線方程，聯立直線方程與橢圓方程，借助于韋達定理，即可求出點的坐標.

【詳解】

（1）\OP\=—>???^o+yo=7>

1124

333

又尸耳?尸鳥=“?,.（一。一天0,一％）?（C-Xo,-%）=“即工；一°2+火="

則可得C=I,乂6=也，.?.。=應力=1，

2

故所求橢圓方程為三+丁=1；

⑵設直線=代入5+9=1,有（2%2+1h2一料一g_=o.

4k-16

設削,y）,B5，%），則%+%=，叱2=,

若》軸上存在定點M（（）,〃D滿足題設，則M4=（玉,y—m）,MB=（x2,y2-tn），

MAMB=X[X2+(y-m)(y2-rri)=xxx2+yxy2-m(y\+y2)+trr

z.1.1、z.1.1、2zr2i\.zl、/22n2I

+("]——)(AX2——)—m(kx、——+kx?——)+m~—(k~+1)玉々—K(—+/%)(玉+x2)+機-———F—

18(租2一1)淡2+(9團2+6加―15)

9(2一+1)

由題意知，對任意實數人都有肱=O恒成立,

即18（川一1）/+Q加2+6加—15）=0對&eR成立.

f/?2—1=0

,解得m-\,

19加~+6m-15=0

在）’軸上存在定點M（0,1）,使以AB為直徑的圓恒過這個定點.

【點睛】

方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：

（1）得出直線方程，設交點為A（%,%）,B（%%）；

（2）聯立直線與曲線方程，得到關于》（或了）的一元二次方程；

（3）寫出韋達定理；

（4）將所求問題或題中關系轉化為玉+々,5工2形式；

（5）代入韋達定理求解.

22.（2020?四川瀘州市?高三一模（理））已知函數X-,一〃"nx-m，其中,e是自然對數

x

的底數.

（I）求函數/（X）的單調遞增區間；

（n）設關于％的不等式f（x）＜x\nx-^--kx+n^X/xe\l,e］恒成立時k的最大值為4％e/?,?e［l,e］）,

求〃+c的取值范圍.

-2"

【答案】（I）見解析；（II）〃+2,e+—+l.

【分析】

(1)先對函數求導，分別討論A40和A〉0兩種情況，解對應的不等式，即可求出單調遞增區間;

(II)先由題中條件，得到，項+皿龍)7+"-+〃對Vxe[l,e>恒成立，令

x

1+InX-r4-rInr+n

g(x)=----------,對其求導，利用分類討論的方法，結合導數的方法判定函數單調性，得出

x

最值，即可求解出結果.

【詳解】

(I)因為/(x)=x----mlnx-機(x>0,，〃e,

所以/~'(4)=1+4—2="2一?+1,因為x〉0,

XXX

所以①當△=??_4?0即14〃叱2時，％2_/加+120恒成立，即/'(%)20恒成立,

所以f(x)單調遞增，即“X)的單調遞增區間為(0,+co)；

②當△=加2一4>()即2<m?e時，方程f一‘"V+i=o的兩根為:

m-yjm2-4m+yJm2—4”“八

X,=-----------'=-------------，-ILA,<x,

12222

小c，,\X—IT