14.3實數

第1課時有理數、無理數和實數

【教學目標】

1.說出無理數和實數的概念，能正確識別無理數.

2.通過實際問題，認識到數的擴充的必要性.

3.經歷從有理數逐步擴充到實數，體會人類對數的認識是不斷發展的，體驗數學的發展源于

生活實際，又作用于生活實際.

【重點難點】

重點：了解無理數和實數的概念.

難點：對無理數的認識.

I教學過程設計I

教學過程設計意圖

一、創設情境，導入新課

1.在紙上畫一個直角三角形ABC,使得兩條直角邊AC=BC=2；

2.作斜邊48上的高必；

3.沿切剪開，將兩部分拼成一個正方形.

做好后思考，正方形的面積是多少，邊長是多少？

學生：自己動手操作，利用面積公式與開平方法計算正方形的

面積與邊長.

二、師生互動，探究新知

1.、也是整數嗎？對于整數一3,-2,-1,0,1,2,3,它們的平方

分別等于什么？結果是怎樣的數？有平方后等于2的整數嗎？

2.也是分數嗎?對于分數一1,——＜，弓，它們的

平方分別等于什么？結果是怎樣的數？有平方后等于2的分數引導學生認識有理數可以

嗎？

化成有限小數或無限循環

.正是有理數嗎？

3小數的形式，使學生類比

4.借助計算器，算一算啦等于多少.有理數的特點，總結出無

學生活動：小組討論，共同探究，回答問題.理數的概念.

1.整數的平方是整數.沒有平方后等于2的整數.

2.分數的平方是分數，沒有平方后等于2的分數.

3.平方等于2的數不是有理數，從而知道小不是以前熟悉的有

理數.

4.通過計算器算得：/=1.414213562…是一個無限不循環

小數.

思考：你還能舉出我們熟悉的無限不循環小數嗎？

學生回答：n,小,小，乖,書...

想一想：讓學生認識無理數是無限

(1)什么叫做有理數？不循環小數，理解它的概

(2)任何分數都可以寫成小數嗎？(舉例說明)念.

學生舉例說明.

讓學生把一1而-3T7,高3一本1京2區7化成小數，并觀察其

特點.

學生總結：任意一個分數都可以寫成有限小數或無限循環小數

的形式.

思考：小數中除了有限小數和無限循環小數之外還包括什么樣

的小數？

學生思考后回答.

教師總結：我們把無限不循環小數叫做無理數.

例如,#=1.73205-,乖=2.23606-,m=2.449

盡可能多地讓學生舉例，

48-,般=1.25992…等.掌握無理數的特點.

鞏固所學知識，提高學生

讓學生舉一些無理數的例子并加以說明.

的判斷能力.

請同學們判斷以下說法是否正確：

(1)有理數都是有限小數;(2)0.101001000…是無理數；

(3)無理數都是小數；(4)帶根號的數都是無理數.

答：(1)錯.有理數是有限小數或無限循環小數.

(2)正確.0.101001000…這個小數看似循環實際不循環,這樣

的小數也是無理數.

引導學生明確不一定帶根

(3)正確.通過無理數的定義可以進行判斷.

號的數都是無理數，無理

(4)錯.帶根號的數不一定是無理數，如重,汨.

數和有理數一樣也有正負

之分.

教師指出：像牛，木,n……這些都是正無理數.像一正，-

了解數的擴展和實數的意

折，-n……這些都是負無理數.

義，提高學生對實數的理

學生舉一些正無理數和負無理數的例子.

解.

現在我們不僅學過了有理數，而且又定義了無理數，顯然我們

所學的數的范圍又擴大了，我們把有理數和無理數統稱實數，

這是我們今天學習的又一新的概念.

三、運用新知，解決問題強化訓練，鞏固所學知

教材71頁“練習”.識，進一步掌握無理數的

讓學生獨立完成，有困難的進行小組討論交流.意義.

四、課堂小結，提煉觀點

鍛煉學生的歸納能力.

指導學生總結本節的知識點，讓學生暢所欲言，互相補充.

五、布置作業，鞏固提升

1.教材71頁“習題”A組.

2.教材72頁“習題”B組.

【板書設計】

有理數、無理數和實數

一、無理數的定義

無限不循環小數叫做無理數.

二、實數的定義

有理數和無理數統稱實數.

【教學反思】

有理數可以化成有限小數和無限循環小數.在無限小數中，無限不循環的小數是無理數.在教

學中教師充分地讓學生進行類比感知它們的區別和聯系，加深對無理數的理解和掌握，同時

學生發揮探究的能力，自己歸納出無理數的概念，有利于學生對知識的理解和掌握.另外，

在整個教學過程中，教師要適時、適量地補充習題，進行有針對性的訓練，以提高學生的能

力和對知識的掌握.

第2課時實數的計算和分類

【教學目標】

1.知道實數與數軸上的點具有一一對應關系.

2.能正確對實數進行分類.

3.能求出實數的絕對值、相反數、倒數.

4.通過在數軸上畫出表示Jt和也的點，理解實數和數軸上的點一一對應，體會數形結合的

思想.

【重點難點】

重點：實數的分類.

難點：實數與數軸上的點一一對應.

I教學過程設計I

教學過程設計意圖

一、創設情境，導入新課

投影顯示下面一組對話：

以對話形式引入，

小明說：“有理數和數軸上的點是一一對應的."

吸引學生注意力，

小麗說：“你說的不對，應是實數和數軸上的點是一一對應的."

提高學生的學習興

同學們，兩人到底誰說得對呢？我相信，當你認真學完本節后，答案

趣.

自然能見分曉.

點評：以兩人對話的形式引入本節課題，易提高同學們的學習興趣.

二、師生互動，探究新知通過探究過程得出

生：我們設想直徑為1個單位長度的圓的周長就是無理數也可以在數

OGOO軸上表示出來，激

01230'發學生的學習興趣

若讓這個圓從原點沿數軸向右滾動1周，圓上的一點就由原點到和主動性.

0',00'的長度就是JI,則0'的坐標就是H.

因此得出這樣的結論：無理數又可以用數軸上的點表示出來.

師：非常好！用這種方法我們還可以在數軸上找到與加有關的無理

數所對應的點.

點評：讓學生自己設計方案，尋求問題的答案.

師：那么，是否可以在數軸上找出與土電對應的點呢？

以單位長度1為邊長畫一個正方形，以原點為圓心，正方形的對角線

為半徑畫弧，與正半軸的交點就表示明，與負半軸的交點就表示一

乖.

,嗜/

哼

1

-2-1012,

師：事實上，每一個無理數都可以用數軸上的一個點表示出來，數軸

上的點有些表示有理數，有些表示無理數.因此，我們可以猜想一

下，數軸上的點與實數的關系是什么？

生：實數包括有理數和無理數，任何一個有理數都可以用數軸上的一

個點來表示，任何一個無理數也都可以用數軸上的一個點來表示.數

軸上的點有些表示有理數，有些表示無理數，總之，數軸上的點表示

實數.

師：你們總結得非常好！當數的范圍從有理數擴充到實數以后，實數

與數軸上的點就一一對應了，即每一個實數都可以用數軸上的一個點

來表示，反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數.

在實數范圍內，相反數、絕對值、倒數的意義和在有理數范圍內的相

反數、絕對值、倒數的意義是一樣的.

出示教材74頁“大家談談”，學生合作完成.

師：出示：啦的相反數是________,172=________，2的倒數是

-"的相反數是_______,-n|=_________,n的倒數是

。的相反數是________,lol-____.

生獨立完成，并歸納總結出如何求一個實數的相反數，以及如何求一

個實數的絕對值和倒數.

(1)當a為實數時，a的相反數為一a；

(2)當a為大于0的實數時，|a|=a；

(3)當a為小于0的實數時，|a|=-a；

⑷當a=O時，a=0；

(5)當a#0時，a的倒數是2

a

有理數、無理數統稱為實數，你能把我們學過的數進行一下分類嗎？

生1:

件整數

整數＜0

…有理數I負整數

實數4

'J正分散

1負分數

無理數

生2：

強調概念的實際背

景，幫助學生進一

步理解概念，改變

［正彳j理數機械記憶概念的學

行理數《0

習習慣.

實數《1負有理數

無理數

生3：無3里數也像有理數一樣，分為正無理數和負無理數，*是正無

理數，一也是負無理數，因此我們將這一組的分類完善為：

［正有理數

一理數《0

彳1

1負有理數

實物

J正無理數

1負無理數

實數的分類不僅是列出的這兩種，還有其他的分類方法，由學生課下

完成，課堂學習引申到課外學習.

三、運用新知，解決問題

教材74頁“練習”.

四、課堂小結，提煉觀點

1.今天的探究學習，你們有哪些收獲？

2.根據你們對有理數、無理數、實數的理解，你們認為實數還可以怎

樣分類？

3.實數的相反數：若a表示一個正實數，那么一a表示一個負實數；a

與一a互為相反數，0的相反數為0.

4.實數的絕對值：一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對

值是它的相反數；0的絕對值是0.

5.實數的倒數：非零實數a的倒數是上

a

五、布置作業，鞏固提升

教材75頁“習題”A組、B組.

【板書設計】2.按正負分:

實數的計算和分類［示/刈蚪J正整數

實數的分類：1正數，1正分數

1.按定義分：正無理數

1正整數實數（0

產數偉益負整數

負有理數八*

有理數1負整數1負數，1負分數

11正分數負無理數

實叫"丐負分數

/正無理數

（無理數Q

1負尢理數

第3課時實數的大小比較

【教學目標】

1.會用有理數估計一下無理數的大致范圍.

2.能夠對實數進行大小比較，提高邏輯思維能力和運算能力.

3.讓學生在實數的大小比較中，體會知識的遷移、類比和擴展.

4.通過師生活動，學生自我探究，讓學生充分參與到學習過程中來.

【重點難點】

重點：實數的大小比較.

難點：兩個無理數的大小比較.

I教學過程設計|

教學過程設計意圖

一、復習導入新知

想一想：兩個有理數怎樣比較大?。繌土暬仡櫛容^有理數

有理數可以利用數軸進行比較，在數軸上右邊的數總比左邊的數大小的方法，進而引

大；還可以利用正數大于零，負數小于零，正數大于負數，對于兩出問題怎么比較實數

個正數絕對值大的那個數大，對于兩個負數絕對值大的反而小，這的大小，激發學生的

些規律進行比較.現在有理數擴展到了實數，那么怎樣比較兩個實學習興趣.

數的大小呢？

二、師生互動，探究新知經歷比較無理數的大

互動一：小，總結出比較實數

由兩個正方形的面積（3和2）的大小，能不能得到它們的邊長（水和大小的方法，提高學

[5）的大?。可鷮W習的主動性和參

讓學生在數軸上表示出小和4，展示作法，很容易得到與性，活躍課堂教

學

觀察數軸上水,作這兩點的位置，回答：

（1）/和4都位于哪兩個整數之間？

（2）在整數1和2之間的無理數有多少？

說明：讓學生通過觀察明確任何一個無理數都在兩個相鄰的整數之

間，便于對兩個實數的大小進行比較.

任意拿兩個面積分別為a和6（a＞力的正方形，擺放在數軸上，它們

的邊長F和、/有怎樣的大小關系？（5＞的）

教師強調：一般地，兩個正數a和6,如果給心那么JaX/l；反

過來，如果爪＞或，那么a＞b.同樣的，在數軸上的兩個點，右邊的

數總比左邊的數大.

說明：兩個正數可以用數軸來進行大小比較，從而擴展到任意兩個

實數的大小比較，即兩個負實數、有理數和無理數等.

互動二：

在數軸上表示出一工,y[2,3,乖,0,乖,~y[s,一乖各點的

位置，將各數用按從小到大的順序排列起來.

教師對土乖、一乖的表示要做適當的指導.

讓學生思考：兩個實數的比較，除了利用數軸比較之外，還有沒有

其他的方法呢？

互動三：

例1（教材76頁例1）比較下列各組數中兩個數的大?。?/p>

（1）2（和巾；（2）一亞和一汽.

先回憶（、八）2（a—0）的結果是多少？—（