浙江省紹興市新昌縣澄潭中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是（）A． B．4 C． D．6參考答案： B【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；數形結合；空間位置關系與距離；立體幾何．【分析】由已知中的三視圖，求出棱錐的底面積和高，進而可得棱錐的體積．【解答】解：由已知中的三視圖，可得：棱錐的底面積S=×2×4=4；高h=×2=，故棱錐的體積V==4，故選：B．【點評】本題考查的知識點是棱錐的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔．2.復數的共軛復數是

A． B．— C．i

D．—i參考答案：D由，∴的共軛復數為-i,選D.3.已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．9x±4y=0 B．4x±9y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=0參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】利用雙曲線方程的性質求解．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為：=0，整理，得：2x±3y=0．故選：D．【點評】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意雙曲線簡單性質的合理運用．4.六個人從左到右排成一列，其中甲、乙兩人至少有一人在兩端的排法總數有（）A．48種 B．384種 C．432種 D．288種參考答案：C【考點】計數原理的應用．【專題】應用題；方程思想；綜合法；排列組合．【分析】首先分析題目甲、乙兩人至少有一人在兩端的排法，此題適合從反面考慮，然后求出甲、乙兩人沒有一人在兩端的排法，進而用總的排法減去它即可得到答案．【解答】解：此題可以從反面入手：甲、乙兩人沒有一人在兩端，即甲、乙排在中間4個位置，故有A42種，剩下4人隨便排即可，則有A44種排法，因為6個人排成一排一共有A66種排法，所以甲、乙兩人至少有一人在兩端的排法有A66﹣A42A44=432．故選：C．【點評】此題主要考查排列組合及簡單的計數原理的問題，象這種見到至少、至多字眼時一般利用正難則反的思想．此類排隊或者排數問題在高考中屬于重點考查內容，希望同學們多多掌握．5.設偶函數，當時，，則

A．

B．

C．

D．

參考答案：B6.下列敘述中，正確的個數是（）①命題p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式為￢p：“?x∈（﹣∞，2），x2﹣2＜0”；②O是△ABC所在平面上一點，若?=?=?，則O是△ABC的垂心；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要條件；④函數y=sin（2x+）sin（2x）的最小正周期是π．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】求出命題p的否定形式可判斷①，由已知條件得到OB⊥AC，同理可得O是△ABC三條高線的交點可判斷②，由二倍角公式和正弦定理可判斷③，直接求出函數y=sin（2x+）sin（2x）的最小正周期可判斷④．【解答】解：對于①，命題p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式為￢p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2＜0”，故①錯誤；對于②，由?=?，得到，又，得，可得OB⊥AC，因此，點O在AC邊上的高BE上，同理可得：O點在BC邊上的高AF和AB邊上的高CD上，即點O是△ABC三條高線的交點，因此，點O是△ABC的垂心，故②正確；對于③，在△ABC中，cos2A＞cos2B?1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B?sin2A＜sin2B?sinA＜sinB?a＜b?A＜B，∴“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要條件，故③正確；對于④，y=sin（2x+）sin（2x）=，∴T==，故④錯誤．∴正確的個數是：2．故選：B．7.在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a，b，c，已知，,則角A=（

）A．30° B．60° C．120° D．150°參考答案：A8.已知i是虛數單位，a，b∈R，且，則a＋b＝（A）1 （B）－1 （C）－2 （D）－3參考答案：D略9.是虛數單位，等于A.

B.

C.1

D.－1參考答案：D略10.已知直線l1是拋物線C：y2=8x的準線，P是C上的一動點，則P到直線l1與直線l2：3x﹣4y+24=0的距離之和的最小值為（）A．

B． C．6 D．參考答案：C【考點】直線與拋物線的位置關系．【分析】由題意可知：點P到直線3x﹣4y+24=0的距離為丨PA丨，點P到x=﹣2的距離為丨PB丨，則點P到直線l2：3x﹣4y+24=0和x=﹣2的距離之和為丨PF丨+丨PB丨，當A，P和F共線時，點P到直線l2：3x﹣4y+24=0和直線x=﹣2的距離之和的最小，利用點到直線的距離公式，即可求得答案．【解答】解：由拋物線的方程，焦點F（2，0），準線方程x=﹣2，根據題意作圖如右圖，點P到直線l2：3x﹣4y+24=0的距離為丨PA丨，點P到x=﹣2的距離為丨PB丨；而由拋物線的定義知：丨PB丨=丨PF丨，故點P到直線l2：3x﹣4y+24=0和x=﹣2的距離之和為丨PF丨+丨PA丨，而點F（2，0），到直線l2：3x﹣4y+24=0的距離為=6，P到直線l2：3x﹣4y+24=0和直線x=﹣2的距離之和的最小值：6，故選：C．【點評】本題考查拋物線的定義的應用及簡單幾何性質，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.________________.參考答案：【分析】本題考察基本的定積分運算，難度不大，但同樣可以從兩個角度入手，其一就是常規的定積分運算，其二就是利用定積分的幾何含義進行分析【解】方法一：，故填.方法二：由于定積分性質可知，對于奇函數，若積分對應的區間關于原點對稱，那么積分的結果一定為（通過圖像也可以判別），故填.12.已知橢圓的左右焦點分別為,離心率為,直線,為點關于直線對稱的點,若為等腰三角形,則的值為

▲．參考答案：13.已知x，y∈R+，且滿足x+2y=2xy，那么3x+4y的最小值為

．參考答案：5+2

【考點】基本不等式．【分析】由正數x，y滿足x+2y=2xy，得到+=1，再利用基本不等式即可求出．【解答】解：由正數x，y滿足x+2y=2xy，∴+=1，∴3x+4y=（3x+4y）（+）=3+2++≥5+2=5+2，當且僅當x=，y=時取等號，故3x+4y的最小值為：，故答案為：5+214.若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四個關系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數組（a，b，c，d）的個數是．參考答案：6【考點】集合的相等．【分析】利用集合的相等關系，結合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一個是正確的，即可得出結論．【解答】解：由題意，a=2時，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3時，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4時，b=1，c=3，d=2；∴符合條件的有序數組（a，b，c，d）的個數是6個．15.則關于x的不等式：的解集是_______________.

參考答案：略16.在直角坐標系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），則滿足且在圓上的點P的個數為

▲

．參考答案：2略17.給出下列命題：①若函數的一個對稱中心是，則的值等;②函數；③若函數的圖象向左平移個單位后得到的圖象與原圖像關于直線對稱，則的最小值是；④已知函數，若

對任意恒成立，則：其中正確結論的序號是

參考答案：①③④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為矩形，AB=2，BC=2，點P在底面上的射影在AC上，E，F分別是AB，BC的中點．（Ⅰ）證明：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）在PC邊上是否存在點M，使得FM∥平面PDE？若存在，求出的值；不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【專題】數形結合；數形結合法；空間位置關系與距離．【分析】（Ⅰ）由題意和向量法可證AC⊥DE，再由題意和線面垂直的性質可得DE⊥平面PAC；（Ⅱ）當點M在PC邊上且滿足=3時，FM∥平面PDE，作MN∥PD交CD與N，連接NF，可證平面MNF∥平面PDE，由面面平行的性質可得．【解答】（Ⅰ）證明：由題意可得||=2，||=2，且⊥，∴=+，=﹣=﹣，∴?=（+）?（﹣）=﹣?﹣=﹣?﹣=×8﹣0﹣4=0，∴⊥，即AC⊥DE，又點P在底面上的射影在AC上，∴平面PAC⊥平面ABCD，又AC為平面PAC與平面ABCD的交線，DE?平面ABCD，∴DE⊥平面PAC；（Ⅱ）當點M在PC邊上且滿足=3時，FM∥平面PDE，下面證明：作MN∥PD交CD與N，連接NF，在底面矩形中可證NF∥DE，由MN∥PD可得MN∥平面PDE，由NF∥DE可得NF∥平面PDE，再由MN和NF相交可得平面MNF∥平面PDE，又MF?平面MNF，∴FM∥平面PDE．【點評】本題考查直線和平面平行和垂直的判定，作輔助線是解決問題的關鍵，屬中檔題．19.已知橢圓的右焦點為，右頂點為，離心離為，點滿足條件．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）設過點的直線與橢圓相交于、兩點，記和的面積分別為、，求證：．參考答案：見解析解：（Ⅰ）∵橢圓的方程為，∴，，，∴，，，∵，∴．（Ⅱ）若直線的斜率不存在，則有，，符合題意，若直線的斜率存在，設直線的方程為，，，由，得，可知恒成立，且，，∵，∴，∵和的面積分別為：，，∴．20.已知函數f（x）=x2，g（x）=elnx．（Ⅰ）設函數F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的單調區間；（Ⅱ）若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m，對x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m，對x∈（0，+∞）恒成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”，試問：f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6K：導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（Ⅰ）在定義域內解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0可得函數的單調區間；（Ⅱ）由（I）可知，當x=時，F（x）取得最小值F（）=0，則f（x）與g（x）的圖象在x=處有公共點（，）．假設f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過點（，）．故設其方程為：y﹣=k（x﹣），由f（x）≥kx+﹣k對x∈R恒成立，可求得k=，則“分界線“的方程為：y=．只需在證明g（x）≤對x∈（0，+∞）恒成立即可；【解答】解：（I）由于函數f（x）=，g（x）=elnx，因此，F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣elnx，則F′（x）=x﹣==，x∈（0，+∞），當0＜x＜時，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上是減函數；當x＞時，F′（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上是增函數；因此，函數F（x）的單調減區間是（0，），單調增區間是（，+∞）．（II）由（I）可知，當x=時，F（x）取得最小值F（）=0，則f（x）與g（x）的圖象在x=處有公共點（，）．假設f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過點（，）．故設其方程為：y﹣=k（x﹣），即y=kx+﹣k，由f（x）≥kx+﹣k對x∈R恒成立，則對x∈R恒成立，∴=4k2﹣8k+4e=e（k﹣）2≤0成立，因此k=，“分界線“的方程為：y=．下面證明g（x）≤對x∈（0，+∞）恒成立，設G（x）=elnx﹣x+，則G′（x）==，∴當0＜x＜時，G′（x）＞0，當x＞時，G′（x）＜0，當x=時，G（x）取得最大值0，則g（x）≤x對x∈（0，+∞）恒成立，故所求“分界線“的方程為：y=．【點評】本題考查利用導數研究函數的單調區間、最值及恒成立問題，考查轉化思想，探究性題目往往先假設成立，再做一般性證明．21.（13分）已知矩形紙片ABCD中，AB=6，AD=12，將矩形紙片的右下角折起，使該角的頂點B落在矩形的邊AD上，且折痕MN的兩端點，M、N分別位于邊AB、BC上，