關于小學數學典型應用題三15

工程問題【含義】

工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。第2頁,共43頁，2024年2月25日，星期天【數量關系】

解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。

工作量＝工作效率×工作時間

工作時間＝工作量÷工作效率工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）第3頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例1

一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成？。

1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

答：兩隊合做需要6天完成第4頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例2

一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？（1）每小時甲比乙多做多少零件？

24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個）（2）這批零件共有多少個？

7÷（1/6－1/8）＝168（個）解二

兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為

1/6∶1/8＝4∶3由此可知，甲比乙多完成總工作量的

4－3

/

4＋3

＝1/7所以，這批零件共有

24÷1/7＝168（個）第5頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例3

一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解

必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數，例如最小公倍數60，則甲乙丙三人的工作效率分別是

60÷12＝5

60÷10＝6

60÷15＝4

因此余下的工作量由乙丙合做還需要

（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時）

答：還需要5小時才能完成。第6頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例4

一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？解

注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。要2小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（1×4×5），2個進水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知每小時的排水量為

（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為

1×4×5－1×5＝15

又因為在2小時內，每個進水管的注水量為

1×2，

所以，2小時內注滿一池水至少需要多少個進水管？

（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（個）

答：至少需要9個進水管。第7頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

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正反比例問題

【含義】

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。第8頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

【數量關系】

判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。

【解題思路和方法】

解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。第9頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

例1

修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？

解

由條件知，公路總長不變。原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

現已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于（4－3）份，從而知公路總長為

300÷（4－3）×12＝3600（米）

答：這條公路總長3600米。第10頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

例2

張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？

解

做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關系

設91分鐘可以做X應用題

則有

28∶4＝91∶X

28X＝91×4

X＝91×4÷28

X＝13

答：91分鐘可以做13道應用題。第11頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

例3

孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？

解

書的頁數一定，每天看的頁數與需要的天數成反比例關系設X天可以看完，就有

24∶36＝X∶15

36X＝24×15

X＝10

答：10天就可以看完。

第12頁,共43頁，2024年2月25日，星期天17

按比例分配問題【含義】

所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數量的份數，另一種是直接給出份數。第13頁,共43頁，2024年2月25日，星期天【數量關系】

從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。

總份數＝比的前后項之和【解題思路和方法】

先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。第14頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例1

學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？

解

總份數為

47＋48＋45＝140

一班植樹

560×47/140＝188（棵）

二班植樹

560×48/140＝192（棵）

三班植樹

560×45/140＝180（棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。第15頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例2

用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？

解

3＋4＋5＝12

60×3/12＝15（厘米）

60×4/12＝20（厘米）

60×5/12＝25（厘米）

答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。第16頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例3

從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數的1/2，二兒子分總數的1/3，三兒子分總數的1/9，并規定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。

解

如果用總數乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到

1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2

9＋6＋2＝17

17×9/17＝9

17×6/17＝6

17×2/17＝2

答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。

第17頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例4

某工廠第一、二、三車間人數之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？

。

解

80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）答：三個車間一共820人第18頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

18

百分數問題【含義】

百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常常可以通分、約分，而百分數則無需；分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數只能表示“率”；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。第19頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

【數量關系】

掌握“百分數”、“標準量”“比較量”三者之間的數量關系：

百分數＝比較量÷標準量

標準量＝比較量÷百分數第20頁,共43頁，2024年2月25日，星期天【解題思路和方法】

一般有三種基本類型：（1

求一個數是另一個數的百分之幾；（2已知一個數，求它的百分之幾是多

少；（3已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。第21頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例1

倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？

解

（1）用去的占

720÷（720＋6480）＝10%

（2）剩下的占

6480÷（720＋6480）＝90%

答：用去了10%，剩下90%。第22頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

例2

紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數比女職工少百分之幾？

解

本題中女職工人數為標準量，男職工比女職工少的人數是比較量

所以

（525－420）÷525＝0.2＝20%

或者

1－420÷525＝0.2＝20%

答：男職工人數比女職工少20%。第23頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

例3

紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數多百分之幾？

解

本題中以男職工人數為標準量，女職工比男職工多的人數為比較量，因此

（525－420）÷420＝0.25＝25%

或者

525÷420－1＝0.25＝25%

答：女職工人數比男職工多25%。第24頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例4

紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數的百分之幾？

解

（1）男職工占

420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%

（2）女職工占

525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%

答：男職工占全廠職工總數的44.4%，女職工占55.6%。第25頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例5

百分數又叫百分率，百分率在工農業生產中應用很廣泛，常見的百分率有：

增長率＝增長數÷原來基數×100

合格率＝合格產品數÷產品總數×100%

出勤率＝實際出勤天數÷應出勤天數×100%

缺席率＝缺席人數÷實有總人數×100%

發芽率＝發芽種子數÷試驗種子總數×100%

第26頁,共43頁，2024年2月25日，星期天成活率＝成活棵數÷種植總棵數×100%

出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%出油率＝油的重量÷油料重量×100%

廢品率＝廢品數量÷全部產品數量×100%命中率＝命中次數÷總次數×100%

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人數÷參加考試人數×100%第27頁,共43頁，2024年2月25日，星期天20

雞兔同籠問題

【含義】

這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。第28頁,共43頁，2024年2月25日，星期天【數量關系】第一雞兔同籠問題：假設全都是雞，則有

兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）

假設全都是兔，則有

雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2）第二雞兔同籠問題：

假設全都是雞，則有兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

假設全都是兔，則有雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）第29頁,共43頁，2024年2月25日，星期天【解題思路和方法】

解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。第30頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例1

長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？

解

假設35只全為兔，則

雞數＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔數＝35－23＝12（只）也可以先假設35只全為雞，則

兔數＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）雞數＝35－12＝23（只）

答：有雞23只，有兔12只。第31頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

例2

2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？

解

此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。“每畝菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數”相對應。假設16畝全都是菠菜，則有

白菜畝數＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）

答：白菜地有10畝。第32頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

例3

李老師用69元給學校買作業本和日記本共45本，作業本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本？

解

此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，則有作業本數＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）

＝15（本）日記本數＝45－15＝30（本）第33頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

例4

（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

解

假設100只全都是雞，則有

兔數＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）

雞數＝100－20＝80（只）

答：有雞80只，有兔20只。第34頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

例5

有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？

解

假設全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚

（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）共有大和尚

100－75＝25（人）

答：共有大和尚25人，有小和尚75人。第35頁,共43頁，2024年2月25日，星期天抽屜原則問題

【含義】

把3只蘋果放進兩個抽屜中，會出現哪些結果呢？要么把2只蘋果放進一個抽屜，剩下的一個放進另一個抽屜；要么把3只蘋果都放進同一個抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數學中的抽屜原則問題。第36頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

【數量關系】

基本的抽屜原則是：如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：如果有m個抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個元素那么至少有一個抽屜中要放（k＋1）個或更多的元素。

通俗地說，如果元素的個數是抽屜個數的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。第37頁,共43頁，20