大學(xué)數(shù)學(xué)重新理解

系列之二現(xiàn)代數(shù)學(xué)

的體系

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【大學(xué)數(shù)學(xué)】重新理解系列之二：現(xiàn)代數(shù)學(xué)的體系

住：這篇文章轉(zhuǎn)載自人人網(wǎng)”彭成的日志”。

MIT牛人解說(shuō)數(shù)學(xué)體系

在過(guò)去的一年中，我一直在數(shù)學(xué)的海洋中游蕩，research進(jìn)

展不多，對(duì)于數(shù)學(xué)世界的閱歷算是有了一些長(zhǎng)進(jìn)。

為什么要深入數(shù)學(xué)的世界

【學(xué)數(shù)學(xué)的目的，帶著問(wèn)題和目的去學(xué)習(xí)各門(mén)學(xué)科，效率超

高。】

作為計(jì)算機(jī)的學(xué)生，我沒(méi)有任何企圖要成為一個(gè)數(shù)學(xué)家。我

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高

度，能把我自己研究的東西看得更深廣一些。

【數(shù)學(xué)能交給人抽象思維，能抓住問(wèn)題的本質(zhì)和共性，而學(xué)習(xí)理

解抽象代數(shù)就是非常好的方式，可惜哥不懂抽象代數(shù)啊。。。】

說(shuō)起來(lái)，我在剛來(lái)這個(gè)學(xué)校的時(shí)候，并沒(méi)有預(yù)料到我將會(huì)有一個(gè)

深入數(shù)學(xué)的旅程。我的導(dǎo)師最初希望我去做的題目，是對(duì)

appearance和motion建立一個(gè)unified的model0這個(gè)題目在當(dāng)今

ComputerVision中百花齊放的世界中并沒(méi)有任何特別的地方。事

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實(shí)上，使用各種GraphicalModel把各種東西聯(lián)合在一起

framework,在近年的論文中并不少見(jiàn)。

我不否認(rèn)現(xiàn)在廣泛流行的GraphicalModel是對(duì)復(fù)雜現(xiàn)象建

模的有力工具，可是，我認(rèn)為它不是panacea,并不能取代對(duì)于所

研究的問(wèn)題的深入的鉆研。如果統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)包治百病，那么很多

“下游”的學(xué)科也就沒(méi)有存在的必要了。事實(shí)上，開(kāi)始的時(shí)候，我

也是和Vision中很多人一樣，想著去做一個(gè)GraphicalModel------

我的導(dǎo)師指出，這樣的做法只是重復(fù)一些標(biāo)準(zhǔn)的流程，并沒(méi)有很

大的價(jià)值。經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間的重復(fù)，另外一個(gè)路徑慢慢被確立下來(lái)

——我們相信，一個(gè)圖像是經(jīng)過(guò)大量“原子”的某種空間分布構(gòu)成

的，原子群的運(yùn)動(dòng)形成了動(dòng)態(tài)的可視過(guò)程。微觀意義下的單個(gè)原

子運(yùn)動(dòng)，和宏觀意義下的整體分布的變換存在著深刻的聯(lián)系——

這需要我們?nèi)グl(fā)掘。

【她給出了需要解決研究問(wèn)題，怎么用數(shù)學(xué)刻畫(huà)這些問(wèn)題。】

在深入探索這個(gè)題目的過(guò)程中，遇到了很多很多的問(wèn)題，如

何描述一個(gè)一般的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，如何建立一個(gè)穩(wěn)定而且廣泛適用的

原子表示，如何刻畫(huà)微觀運(yùn)動(dòng)和宏觀分布變換的聯(lián)系，還有很

多。在這個(gè)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)事情：

.我原有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能適應(yīng)我對(duì)這些問(wèn)題的深入研

究。

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【數(shù)學(xué)在“高精尖”中的作用非常之大。如果把數(shù)學(xué)比作

一種編程語(yǔ)言，沒(méi)有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人只會(huì)機(jī)器語(yǔ)言和匯編語(yǔ)

言，而掌握了數(shù)學(xué)這一工具的人會(huì)c、java、matlab等，

解決問(wèn)題的效率和手段不可同日而語(yǔ)。用匯編語(yǔ)言寫(xiě)出一

個(gè)操作系統(tǒng)是多么不可思議的事情。編程語(yǔ)言在進(jìn)化，數(shù)

學(xué)也是。】

.在數(shù)學(xué)中，有很多思想和工具，是非常適合解決這些問(wèn)題

的，只是沒(méi)有被很多的應(yīng)用科學(xué)的研究者重視。

【能夠看看我之前的一篇日志“數(shù)學(xué)有什么用處？【轉(zhuǎn)】（寫(xiě)這

篇文章的人視眼很寬廣）”】

于是，我決心開(kāi)始深入數(shù)學(xué)這個(gè)浩瀚大海，希望在我再次走出來(lái)

的時(shí)候，我已經(jīng)有了更強(qiáng)大的武器去面對(duì)這些問(wèn)題的挑戰(zhàn)。

【數(shù)學(xué)能給她的研究工作提供強(qiáng)有力的武器。】

我的游歷并沒(méi)有結(jié)束，我的視野相比于這個(gè)博大精深的世界的依

舊顯得非常狹窄。在這里，我只是說(shuō)說(shuō)，在我的眼中，數(shù)學(xué)如何

一步步從初級(jí)向高級(jí)發(fā)展，更高級(jí)別的數(shù)學(xué)對(duì)于具體應(yīng)用究竟有

何好處。

【數(shù)學(xué)的抽象（進(jìn)化）與應(yīng)用】

集合論：現(xiàn)代數(shù)學(xué)的共同基礎(chǔ)

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現(xiàn)代數(shù)學(xué)有數(shù)不清的分支，可是，它們都有一個(gè)共同的基礎(chǔ)——

集合論——因?yàn)樗瑪?shù)學(xué)這個(gè)龐大的家族有個(gè)共同的語(yǔ)言。集合

論中有一些最基本的概念：集合(set),關(guān)系(relation),函數(shù)

(function),等價(jià)(equivalence),是在其它數(shù)學(xué)分支的語(yǔ)言中幾乎

必然存在的。對(duì)于這些簡(jiǎn)單概念的理解，是進(jìn)一步學(xué)些別的數(shù)學(xué)

的基礎(chǔ)。我相信，理工科大學(xué)生對(duì)于這些都不會(huì)陌生。

【集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)研究空間與關(guān)系，而空間是集

合+結(jié)構(gòu)，關(guān)系是空間到空間的映射(或推廣)】

不過(guò)，有一個(gè)很重要的東西就不見(jiàn)得那么家喻戶曉了——那就是

“選擇公理”(AxiomofChoice)o這個(gè)公理的意思是“任意的一群非

空集合，一定能夠從每個(gè)集合中各拿出一個(gè)元素。”——似乎是顯

然得不能再顯然的命題。不過(guò)，這個(gè)貌似平常的公理卻能演繹出

一些比較奇怪的結(jié)論，比如巴拿赫-塔斯基分球定理——“一個(gè)

球，能分成五個(gè)部分，對(duì)它們進(jìn)行一系列剛性變換(平移旋轉(zhuǎn))

后，能組合成兩個(gè)一樣大小的球”。正因?yàn)檫@些完全有悖常識(shí)的結(jié)

論，導(dǎo)致數(shù)學(xué)界曾經(jīng)在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間里對(duì)于是否接受它有著激烈爭(zhēng)

論。現(xiàn)在，主流數(shù)學(xué)家對(duì)于它應(yīng)該是基本接受的，因?yàn)楹芏鄶?shù)學(xué)

分支的重要定理都依賴于它。在我們后面要回說(shuō)到的學(xué)科里面，

下面的定理依賴于選擇公理：

1.拓?fù)鋵W(xué)：BaireCategoryTheorem

2.實(shí)分析(測(cè)度理論)：Lebesgue不可測(cè)集的存在性

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3.泛函分析四個(gè)主要定理：Hahn-BanachExtensionTheorem,

Banach-SteinhausTheorem(Uniformboundednessprinciple),

OpenMappingTheorem,ClosedGraphTheorem

【選擇公理的強(qiáng)大之處，沒(méi)有選擇公理很多漂亮的定理就

沒(méi)有依據(jù)，但選擇公理只是充分條件，不是必要條件；如

果能找到一個(gè)稍微弱一點(diǎn)的條件，也能建立這些體系，而

不至于引入悖論，就很精彩了。哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ碚f(shuō)了任

何一個(gè)公理體系不能包含所有知識(shí)？】

在集合論的基礎(chǔ)上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)有兩大家族：分析(Analysis)和代數(shù)

(Algebra)o至于其它的，比如幾何和概率論，在古典數(shù)學(xué)時(shí)代，

它們是和代數(shù)并列的，可是它們的現(xiàn)代版本則基本是建立在分析

或者代數(shù)的基礎(chǔ)上，因此從現(xiàn)代意義說(shuō)，它們和分析與代數(shù)并不

是平行的關(guān)系。

【代數(shù)和分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主流，概率和幾何使用代數(shù)和分析的

工具來(lái)解決其問(wèn)題。】

分析：在極限基礎(chǔ)上建立的宏偉大廈

微積分：分析的古典時(shí)代——從牛頓到柯西

先說(shuō)說(shuō)分析(Analysis)吧，它是從微積分(Caculus)發(fā)展起來(lái)的----

這也是有些微積分教材名字叫“數(shù)學(xué)分析”的原因。不過(guò)，分析的

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范疇遠(yuǎn)不只是這些，我們?cè)诖髮W(xué)一年級(jí)學(xué)習(xí)的微積分只能算是對(duì)

古典分析的入門(mén)。分析研究的對(duì)象很多，包括導(dǎo)數(shù)(derivatives),

積分(integral),微分方程(differentialequation),還有級(jí)數(shù)(infinite

series)——這些基本的概念，在初等的微積分里面都有介紹。如果

說(shuō)有一個(gè)思想貫穿其中，那就是極限——這是整個(gè)分析(不但僅

是微積分)的靈魂。

【再?gòu)?qiáng)調(diào)一下：極限是分析的靈魂！！！也能夠說(shuō)分析的本質(zhì)就

是極限，歐拉的“無(wú)窮小分析引論”是數(shù)學(xué)的七大名著！】

一個(gè)很多人都聽(tīng)說(shuō)過(guò)的故事，就是牛頓(Newton)和萊布尼茨

(Leibniz)關(guān)于微積分創(chuàng)造權(quán)的爭(zhēng)論。事實(shí)上，在她們的時(shí)代，很

多微積分的工具開(kāi)始運(yùn)用在科學(xué)和工程之中，可是，微積分的基

礎(chǔ)并沒(méi)有真正建立。那個(gè)長(zhǎng)時(shí)間一直解釋不清楚的“無(wú)窮小量”的

幽靈，困擾了數(shù)學(xué)界一百多年的時(shí)間——這就是“第二次數(shù)學(xué)危

機(jī)”。直到柯西用數(shù)列極限的觀點(diǎn)重新建立了微積分的基本概念，

這門(mén)學(xué)科才開(kāi)始有了一個(gè)比較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。直到今天，整個(gè)分析

的大廈還是建立在極限的基石之上。

【微積分的認(rèn)識(shí)從萊布尼茲的無(wú)窮小=＞柯西數(shù)列序列=＞威爾斯特

拉斯的epsilon,delta=＞羅賓遜的非標(biāo)準(zhǔn)分析(類似無(wú)窮小)，一

直都在圍繞著無(wú)窮和極限來(lái)展開(kāi)和前進(jìn)。】

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柯西(Cauchy)為分析的發(fā)展提供了一種嚴(yán)密的語(yǔ)言，可是她并沒(méi)

有解決微積分的全部問(wèn)題。在19世紀(jì)的時(shí)候，分析的世界依然有

著一些揮之不去的烏云。而其中最重要的一個(gè)沒(méi)有解決的是“函數(shù)

是否可積的問(wèn)題”。我們?cè)诂F(xiàn)在的微積分課本中學(xué)到的那種經(jīng)過(guò)

“無(wú)限分割區(qū)間，取矩陣面積和的極限”的積分，是大約在1850年

由黎曼(Riemann)提出的，叫做黎曼積分。可是，什么函數(shù)存在黎

曼積分呢(黎曼可積)？數(shù)學(xué)家們很早就證明了，定義在閉區(qū)間

內(nèi)的連續(xù)函數(shù)是黎曼可積的。可是，這樣的結(jié)果并不令人滿意，

工程師們需要對(duì)分段連續(xù)函數(shù)的函數(shù)積分。

【什么函數(shù)黎曼可積？黎曼可積的充要條件是什么？在實(shí)變函數(shù)

中回答了此問(wèn)題。】

實(shí)分析：在實(shí)數(shù)理論和測(cè)度理論上建立起現(xiàn)代分析

在19世紀(jì)中后期，不連續(xù)函數(shù)的可積性問(wèn)題一直是分析的重要課

題。對(duì)于定義在閉區(qū)間上的黎曼積分的研究發(fā)現(xiàn)，可積性的關(guān)鍵

在于“不連續(xù)的點(diǎn)足夠少”。只有有限處不連續(xù)的函數(shù)是可積的，

可是很多有數(shù)學(xué)家們構(gòu)造出很多在無(wú)限處不連續(xù)的可積函數(shù)。顯

然，在衡量點(diǎn)集大小的時(shí)候，有限和無(wú)限并不是一種合適的標(biāo)

準(zhǔn)。在探討“點(diǎn)集大小”這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)軸一

—這個(gè)她們?cè)?jīng)以為已經(jīng)充分理解的東西——有著許多她們沒(méi)有

想到的特性。在極限思想的支持下，實(shí)數(shù)理論在這個(gè)時(shí)候被建立

起來(lái)，它的標(biāo)志是對(duì)實(shí)數(shù)完備性進(jìn)行刻畫(huà)的幾條等價(jià)的定理(確

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界定理，區(qū)間套定理，柯西收斂定理，Bolzano-Weierstrass

Theorem和Heine-BorelTheorem等等)----這些定理明確表示出

實(shí)數(shù)和有理數(shù)的根本區(qū)別：完備性(很不嚴(yán)格的說(shuō)，就是對(duì)極限

運(yùn)算封閉)。隨著對(duì)實(shí)數(shù)認(rèn)識(shí)的深入，如何測(cè)量“點(diǎn)集大小”的問(wèn)

題也取得了突破，勒貝格創(chuàng)造性地把關(guān)于集合的代數(shù)，和Outer

content(就是，外測(cè)度，的一個(gè)雛形)的概念結(jié)合起來(lái)，建立了測(cè)

度理論(MeasureTheory),而且進(jìn)一步建立了以測(cè)度為基礎(chǔ)的積分

----勒貝格(LebesgueIntegral)。在這個(gè)新的積分概念的支持下，

可積性問(wèn)題變得一目了然。

【實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)理論和測(cè)度類似集合的面積，實(shí)數(shù)的幾

個(gè)基本定理從拓?fù)渖峡磳⒏忧逦?shí)變函數(shù)研究的內(nèi)容就是測(cè)

度和可測(cè)函數(shù)的積分。】

上面說(shuō)到的實(shí)數(shù)理論，測(cè)度理論和勒貝格積分，構(gòu)成了我們現(xiàn)在

稱為實(shí)分析(RealAnalysis)的數(shù)學(xué)分支，有些書(shū)也叫實(shí)變函數(shù)論。

對(duì)于應(yīng)用科學(xué)來(lái)說(shuō)，實(shí)分析似乎沒(méi)有古典微積分那么“實(shí)用”——

很難直接基于它得到什么算法。而且，它要解決的某些“難題”一

—比如處處不連續(xù)的函數(shù)，或者處處連續(xù)而處處不可微的函數(shù)一

—在工程師的眼中，并不現(xiàn)實(shí)。可是，我認(rèn)為，它并不是一種純

數(shù)學(xué)概念游戲，它的現(xiàn)實(shí)意義在于為許多現(xiàn)代的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支提

供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。下面，我僅僅列舉幾條它的用處：

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1.黎曼可積的函數(shù)空間不是完備的，可是勒貝格可積的函數(shù)空

間是完備的。簡(jiǎn)單的說(shuō)，一個(gè)黎曼可積的函數(shù)列收斂到的

那個(gè)函數(shù)不一定是黎曼可積的，可是勒貝格可積的函數(shù)列

必定收斂到一個(gè)勒貝格可積的函數(shù)。在泛函分析，還有逼

近理論中，經(jīng)常需要討論“函數(shù)的極限”，或者“函數(shù)的級(jí)

數(shù)”，如果用黎曼積分的概念，這種討論幾乎不可想像。我

們有時(shí)看一些paper中提到Lp函數(shù)空間，就是基于勒貝格

積分。

2.勒貝格積分是傅立葉變換（這東西在工程中到處都是）的基

礎(chǔ)。很多關(guān)于信號(hào)處理的初等教材，可能繞過(guò)了勒貝格積

分，直接講點(diǎn)面對(duì)實(shí)用的東西而不談它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，可

是，對(duì)于深層次的研究問(wèn)題——特別是希望在理論中能做

一些工作——這并不是總能繞過(guò)去。

3.在下面，我們還會(huì)看到，測(cè)度理論是現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。

【實(shí)變函數(shù)的最重要的作用是為許多現(xiàn)代的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支

提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。完備性（極限運(yùn)算的封閉性）是其目

的】

拓?fù)鋵W(xué)：分析從實(shí)數(shù)軸推廣到一般空間——現(xiàn)代分析的抽象基礎(chǔ)

隨著實(shí)數(shù)理論的建立，大家開(kāi)始把極限和連續(xù)推廣到更一般的地

方的分析。事實(shí)上，很多基于實(shí)數(shù)的概念和定理并不是實(shí)數(shù)特有

的。很多特性能夠抽象出來(lái)，推廣到更一般的空間里面。對(duì)于實(shí)

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數(shù)軸的推廣，促成了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)(Point-setTopology)的建立。很多

原來(lái)只存在于實(shí)數(shù)中的概念，被提取出來(lái)，進(jìn)行一般性的討論。

在拓?fù)鋵W(xué)里面，有4個(gè)C構(gòu)成了它的核心：

1.Closedset(閉集合)。在現(xiàn)代的拓?fù)鋵W(xué)的公理化體系中，開(kāi)

集和閉集是最基本的概念。一切從此引申。這兩個(gè)概念是

開(kāi)區(qū)間和閉區(qū)間的推廣，它們的根本地位，并不是一開(kāi)始

就被認(rèn)識(shí)到的。經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，人們才認(rèn)識(shí)到：開(kāi)集

的概念是連續(xù)性的基礎(chǔ)，而閉集對(duì)極限運(yùn)算封閉——而極

限正是分析的根基。

2.Continuousfunction(連續(xù)函數(shù))。連續(xù)函數(shù)在微積分里面

有個(gè)用epsilon-delta語(yǔ)言給出的定義，在拓?fù)鋵W(xué)中它的定義

是“開(kāi)集的原像是開(kāi)集的函數(shù)”。第二個(gè)定義和第一個(gè)是等

價(jià)的，只是用更抽象的語(yǔ)言進(jìn)行了改寫(xiě)。我個(gè)人認(rèn)為，它

的第三個(gè)(等價(jià))定義才從根本上揭示連續(xù)函數(shù)的本質(zhì)一

—“連續(xù)函數(shù)是保持極限運(yùn)算的函數(shù)”——比如y是數(shù)列xl,

x2,x3,…的極限，那么如果f是連續(xù)函數(shù)，那么f(y)就是

f(xl),f(x2),f(x3),…的極限。連續(xù)函數(shù)的重要性，能夠從別

的分支學(xué)科中進(jìn)行類比。比如群論中，基礎(chǔ)的運(yùn)算是“乘

法”，對(duì)于群，最重要的映射叫“同態(tài)映射”——保持“乘法”

的映射。在分析中，基礎(chǔ)運(yùn)算是“極限”，因此連續(xù)函數(shù)在

分析中的地位，和同態(tài)映射在代數(shù)中的地位是相當(dāng)?shù)摹?/p>

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3.Connectedset(連通集合)。比它略為窄一點(diǎn)的概念叫(Path

connected),就是集合中任意兩點(diǎn)都存在連續(xù)路徑相連——

可能是一般人理解的概念。一般意義下的連通概念稍微抽

象一些。在我看來(lái)，連通性有兩個(gè)重要的用場(chǎng)：一個(gè)是用

于證明一般的中值定理(IntermediateValueTheorem),還有

就是代數(shù)拓?fù)洌負(fù)淙赫摵屠钊赫撝杏懻摳救?/p>

(FundamentalGroup)的階。

4.Compactset(緊集)。Compactness似乎在初等微積分里面

沒(méi)有專門(mén)出現(xiàn)，不過(guò)有幾條實(shí)數(shù)上的定理和它其實(shí)是有關(guān)

系的。比如，“有界數(shù)列必然存在收斂子歹U”——用

compactness的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是——“實(shí)數(shù)空間中有界閉集是

緊的”。它在拓?fù)鋵W(xué)中的一般定義是一個(gè)聽(tīng)上去比較抽象的

東西一“緊集的任意開(kāi)覆蓋存在有限子覆蓋”。這個(gè)定義

在討論拓?fù)鋵W(xué)的定理時(shí)很方便，它在很多時(shí)候能幫助實(shí)現(xiàn)

從無(wú)限到有限的轉(zhuǎn)換。對(duì)于分析來(lái)說(shuō)，用得更多的是它的

另一種形式——“緊集中的數(shù)列必存在收斂子列”——它體

現(xiàn)了分析中最重要的“極限"。Compactness在現(xiàn)代分析中運(yùn)

用極廣，無(wú)法盡述。微積分中的兩個(gè)重要定理：極值定理

(ExtremeValueTheory),和一致收斂定理(Uniform

ConvergenceTheorem)就能夠借助它推廣到一般的形式。

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從某種意義上說(shuō)，點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)能夠看成是關(guān)于“極限”的一般理

論，它抽象于實(shí)數(shù)理論，它的概念成為幾乎所有現(xiàn)代分析學(xué)科的

通用語(yǔ)言，也是整個(gè)現(xiàn)代分析的根基所在。

【點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)是現(xiàn)代分析的通用語(yǔ)言，將實(shí)數(shù)軸推廣為拓?fù)淇?/p>

間，極限的概念也建立起來(lái)，也就能夠用于分析。】

微分幾何：流形上的分析——在拓?fù)淇臻g上引入微分結(jié)構(gòu)

拓?fù)鋵W(xué)把極限的概念推廣到一般的拓?fù)淇臻g，但這不是故事的結(jié)

束，而僅僅是開(kāi)始。在微積分里面，極限之后我們有微分，求

導(dǎo)，積分。這些東西也能夠推廣到拓?fù)淇臻g，在拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)上

建立起來(lái)——這就是微分幾何。從教學(xué)上說(shuō)，微分幾何的教材，

有兩種不同的類型，一種是建立在古典微機(jī)分的基礎(chǔ)上的“古典微

分幾何”，主要是關(guān)于二維和三維空間中的一些幾何量的計(jì)算，比

如曲率。還有一種是建立在現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)上，這里姑且稱為

“現(xiàn)代微分幾何”——它的核心概念就是“流形”(manifold)——就是

在拓?fù)淇臻g的基礎(chǔ)上加了一套能夠進(jìn)行微分運(yùn)算的結(jié)構(gòu)。現(xiàn)代微

分幾何是一門(mén)非常豐富的學(xué)科。比如一般流形上的微分的定義就

比傳統(tǒng)的微分豐富，我自己就見(jiàn)過(guò)三種從不同角度給出的等價(jià)定

義——這一方面讓事情變得復(fù)雜一些，可是另外一個(gè)方面它給了

同一個(gè)概念的不同理解，往往在解決問(wèn)題時(shí)會(huì)引出不同的思路。

除了推廣微積分的概念以外，還引入了很多新概念：tangentspace,

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cotangentspace,pushforward,pullback,fibrebundle,flow,

immersion,submersion等等。

近些年，流形在machinelearning似乎相當(dāng)時(shí)髦。可是，坦率地

說(shuō)，要弄懂一些基本的流形算法，甚至“創(chuàng)造”一些流形算法，并

不需要多少微分幾何的基礎(chǔ)。對(duì)我的研究來(lái)說(shuō)，微分幾何最重要

的應(yīng)用就是建立在它之上的另外一個(gè)分支：李群和李代數(shù)——這

是數(shù)學(xué)中兩大家族分析和代數(shù)的一個(gè)漂亮的聯(lián)姻。分析和代數(shù)的

另外一處重要的結(jié)合則是泛函分析，以及在其基礎(chǔ)上的調(diào)和分

析。

【原來(lái)微分幾何是拓?fù)?微分結(jié)構(gòu)，古典的是講具體的幾何量的

計(jì)算。把握住核心再去看這門(mén)學(xué)科將更加清晰】

代數(shù)：一個(gè)抽象的世界

關(guān)于抽象代數(shù)

回過(guò)頭來(lái)，再說(shuō)說(shuō)另一個(gè)大家族——代數(shù)。

如果說(shuō)古典微積分是分析的入門(mén)，那么現(xiàn)代代數(shù)的入門(mén)點(diǎn)則是兩

個(gè)部分：線性代數(shù)(linearalgebra)和基礎(chǔ)的抽象代數(shù)(abstract

algebra)——據(jù)說(shuō)國(guó)內(nèi)一些教材稱之為近世代數(shù)。

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【線性代數(shù)和抽象代數(shù)是代數(shù)的入門(mén)。線性代數(shù)用處非常廣，但

抽象代數(shù)有什么用呢？對(duì)稱需要群。其它呢？讓我們期待下面的

闡述】

代數(shù)——名稱上研究的似乎是數(shù)，在我看來(lái)，主要研究的是運(yùn)算

規(guī)則。一門(mén)代數(shù)，其實(shí)都是從某種具體的運(yùn)算體系中抽象出一些

基本規(guī)則，建立一個(gè)公理體系，然后在這基礎(chǔ)上進(jìn)行研究。一個(gè)

集合再加上一套運(yùn)算規(guī)則，就構(gòu)成一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)。在主要的代數(shù)

結(jié)構(gòu)中，最簡(jiǎn)單的是群(Group)——它只有一種符合結(jié)合率的可逆

運(yùn)算，一般叫“乘法”。如果，這種運(yùn)算也符合交換率，那么就叫

阿貝爾群(AbelianGroup)。如果有兩種運(yùn)算,一種叫加法,滿足

交換率和結(jié)合率，一種叫乘法，滿足結(jié)合率，它們之間滿足分配

率，這種豐富一點(diǎn)的結(jié)構(gòu)叫做環(huán)(Ring),如果環(huán)上的乘法滿足交換

率，就叫可交換環(huán)(CommutativeRing)。如果，一個(gè)環(huán)的加法和乘

法具有了所有的良好性質(zhì)，那么就成為一個(gè)域(Field)。基于域，

我們能夠建立一種新的結(jié)構(gòu)，能進(jìn)行加法和數(shù)乘，就構(gòu)成了線性

代數(shù)(Linearalgebra)o

【代數(shù)結(jié)構(gòu)就是集合+運(yùn)算規(guī)則，線性代數(shù)是最簡(jiǎn)單最核心的一

部分。】

代數(shù)的好處在于，它只關(guān)心運(yùn)算規(guī)則的演繹，而不論參與運(yùn)算的

對(duì)象。只要定義恰當(dāng)，完全能夠讓一只貓乘一只狗得到一頭豬:-

)0基于抽象運(yùn)算規(guī)則得到的所有定理完全能夠運(yùn)用于上面說(shuō)的貓

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狗乘法。當(dāng)然，在實(shí)際運(yùn)用中，我們還是希望用它干點(diǎn)有意義的

事情。學(xué)過(guò)抽象代數(shù)的都知道，基于幾條最簡(jiǎn)單的規(guī)則，比如結(jié)

合律，就能導(dǎo)出非常多的重要結(jié)論——這些結(jié)論能夠應(yīng)用到一切

滿足這些簡(jiǎn)單規(guī)則的地方——這是代數(shù)的威力所在，我們不再需

要為每一個(gè)具體領(lǐng)域重新建立這么多的定理。

【代數(shù)的好處是什么？其實(shí)能夠說(shuō)是抽象的好處是什么？只關(guān)心

規(guī)則不關(guān)心對(duì)象，只要你符合我們的規(guī)則就能夠得到相同的結(jié)

論，“代數(shù)面前人人平等”，面向?qū)ο缶幊桃彩且环N抽象的過(guò)

程，能使結(jié)構(gòu)清晰，代碼更簡(jiǎn)潔，不那么冗余。其實(shí)函數(shù)傳參數(shù)

就能夠認(rèn)為是一種簡(jiǎn)單的代數(shù)規(guī)則的應(yīng)用。】

抽象代數(shù)有在一些基礎(chǔ)定理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步的研究往往分為兩

個(gè)流派：研究有限的離散代數(shù)結(jié)構(gòu)（比如有限群和有限域），這

部分內(nèi)容一般見(jiàn)于數(shù)論，編碼，和整數(shù)方程這些地方；另外一個(gè)

流派是研究連續(xù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，一般和拓?fù)渑c分析聯(lián)系在一起（比

如拓?fù)淙海钊海Ｎ以趯W(xué)習(xí)中的focus主要是后者。

【離散和連續(xù)】

線性代數(shù)：“線性”的基礎(chǔ)地位

對(duì)于做Learning,vision,optimization或者statistics的人來(lái)說(shuō)，接觸

最多的莫過(guò)于線性代數(shù)——這也是我們?cè)诖髮W(xué)低年級(jí)就開(kāi)始學(xué)習(xí)

的。線性代數(shù)，包括建立在它基礎(chǔ)上的各種學(xué)科，最核心的兩個(gè)

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概念是向量空間和線性變換。線性變換在線性代數(shù)中的地位，和

連續(xù)函數(shù)在分析中的地位，或者同態(tài)映射在群論中的地位是一樣

的——它是保持基礎(chǔ)運(yùn)算（加法和數(shù)乘）的映射。

【現(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎任何一門(mén)學(xué)科最重要的兩個(gè)概念就是：空間及其

上面的映射。看這門(mén)學(xué)科先看這兩個(gè)是啥】

在learning中有這樣的一種傾向---鄙視線性算法，標(biāo)榜非線

性。可能在很多場(chǎng)合下面，我們需要非線性來(lái)描述復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)世

界，可是無(wú)論什么時(shí)候，線性都是具有根本地位的。沒(méi)有線性的

基礎(chǔ)，就不可能存在所謂的非線性推廣。我們常見(jiàn)的非線性化的

方法包括流形和kernelization,這兩者都需要在某個(gè)階段回歸線

性。流形需要在每個(gè)局部建立和線性空間的映射，經(jīng)過(guò)把許多局

部線性空間連接起來(lái)形成非線性；而kernerlization則是經(jīng)過(guò)置換

內(nèi)積結(jié)構(gòu)把原線性空間“非線性”地映射到另外一個(gè)線性空間，再

進(jìn)行線性空間中所能進(jìn)行的操作。而在分析領(lǐng)域，線性的運(yùn)算更

是無(wú)處不在，微分，積分，傅立葉變換，拉普拉斯變換，還有統(tǒng)

計(jì)中的均值，通通都是線性的。

【幾乎任何非線性運(yùn)算都是轉(zhuǎn)化為線性運(yùn)算，像強(qiáng)大如微積分也

是將非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性的，然后線性代數(shù)接手處理。微積分

+線性代數(shù)就是兩好基友啊。】

泛函分析：從有限維向無(wú)限維邁進(jìn)

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在大學(xué)中學(xué)習(xí)的線性代數(shù)，它的簡(jiǎn)單主要因?yàn)樗窃谟邢蘧S空間

進(jìn)行的，因?yàn)橛邢蓿覀儫o(wú)須借助于太多的分析手段。可是，有

限維空間并不能有效地表示我們的世界——最重要的，函數(shù)構(gòu)成

了線性空間，可是它是無(wú)限維的。對(duì)函數(shù)進(jìn)行的最重要的運(yùn)算都

在無(wú)限維空間進(jìn)行，比如傅立葉變換和小波分析。這表明了，為

了研究函數(shù)(或者說(shuō)連續(xù)信號(hào))，我們需要打破有限維空間的束

縛，走入無(wú)限維的函數(shù)空間——這里面的第一步，就是泛函分

析。

泛函分析(FunctionalAnalysis)是研究的是一般的線性空間，包括

有限維和無(wú)限維，可是很多東西在有限維下顯得很trivial,真正的

困難往往在無(wú)限維的時(shí)候出現(xiàn)。在泛函分析中，空間中的元素還

是叫向量，可是線性變換一般會(huì)叫作"算子”(operator)。除了加法

和數(shù)乘，這里進(jìn)一步加入了一些運(yùn)算，比如加入范數(shù)去表示“向量

的長(zhǎng)度”或者“元素的距離”，這樣的空間叫做“賦范線性空

間”(normedspace),再進(jìn)一步的，能夠加入內(nèi)積運(yùn)算，這樣的空間

叫"內(nèi)積空間”(Innerproductspace)o

【為什么要引入無(wú)限維？數(shù)組成的空間大多為有限維，但函數(shù)組

成的空間是無(wú)限維】

大家發(fā)現(xiàn)，當(dāng)進(jìn)入無(wú)限維的時(shí)間時(shí)，很多老的觀念不再適用了，

一切都需要重新審視。

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1.所有的有限維空間都是完備的(柯西序列收斂)，很多無(wú)限

維空間卻是不完備的(比如閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù))。在這

里，完備的空間有特殊的名稱：完備的賦范空間叫巴拿赫

空間(Banachspace),完備的內(nèi)積空間叫希爾伯特空間

(Hilbertspace)。

2.在有限維空間中空間和它的對(duì)偶空間的是完全同構(gòu)的，而在

無(wú)限維空間中，它們存在微妙的差別。

3.在有限維空間中，所有線性變換(矩陣)都是有界變換，而

在無(wú)限維，很多算子是無(wú)界的(unbounded),最重要的一個(gè)

例子是給函數(shù)求導(dǎo)。

4.在有限維空間中，一切有界閉集都是緊的，比如單位球。而

在所有的無(wú)限維空間中，單位球都不是緊的——也就是

說(shuō)，能夠在單位球內(nèi)撒入無(wú)限個(gè)點(diǎn)，而不出現(xiàn)一個(gè)極限

點(diǎn)。

5.在有限維空間中，線性變換(矩陣)的譜相當(dāng)于全部的特

征值，在無(wú)限維空間中，算子的譜的結(jié)構(gòu)比這個(gè)復(fù)雜得

多，除了特征值組成的點(diǎn)譜(pointspectrum),還有

approximatepointspectrum和residualspectrum0雖然復(fù)

雜，可是，也更為有趣。由此形成了一個(gè)相當(dāng)豐富的分支

-算子譜論(Spectrumtheory)o

6.在有限維空間中，任何一點(diǎn)對(duì)任何一個(gè)子空間總存在投

影，而在無(wú)限維空間中，這就不一定了，具有這種良好特

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性的子空間有個(gè)專門(mén)的名稱切比雪夫空間(Chebyshev

space)o這個(gè)概念是現(xiàn)代逼近理論的基礎(chǔ)(approximation

theory)□函數(shù)空間的逼近理論在Learning中應(yīng)該有著非常

重要的作用，可是現(xiàn)在看到的運(yùn)用現(xiàn)代逼近理論的文章并

不多。

【這一段關(guān)于“有限維VS無(wú)限維”的論述很精彩！】

繼續(xù)往前：巴拿赫代數(shù)，調(diào)和分析，和李代數(shù)

基本的泛函分析繼續(xù)往前走，有兩個(gè)重要的方向。第一個(gè)是巴拿

赫代數(shù)(BanachAlgebra),它就是在巴拿赫空間(完備的內(nèi)積空

間)的基礎(chǔ)上引入乘法(這不同于數(shù)乘)。比如矩陣——它除了

加法和數(shù)乘，還能做乘法——這就構(gòu)成了一個(gè)巴拿赫代數(shù)。除此

以外，值域完備的有界算子，平方可積函數(shù)，都能構(gòu)成巴拿赫代

數(shù)。巴拿赫代數(shù)是泛函分析的抽象，很多對(duì)于有界算子導(dǎo)出的結(jié)

論，還有算子譜論中的許多定理，它們不但僅對(duì)算子適用，它們

其實(shí)能夠從一般的巴拿赫代數(shù)中得到，而且應(yīng)用在算子以外的地

方。巴拿赫代數(shù)讓你站在更高的高度看待泛函分析中的結(jié)論，可

是，我對(duì)它在實(shí)際問(wèn)題中能比泛函分析能多帶來(lái)什么東西還有待

思考。

【巴拿赫代數(shù)=巴拿赫空間(集合+加法+數(shù)乘+范數(shù)+完備)+乘

法，矩陣空間就是一個(gè)例