專題強化三目標要求1.學會用圖解法、解析法等解決動態平衡問題.2.會分析平衡中的臨界與極值問題.動態平衡問題平衡中的臨界、極值問題

內容索引題型一動態平衡問題題型二平衡中的臨界、極值問題課時精練題型一動態平衡問題1.動態平衡是指物體的受力狀態緩慢發生變化，但在變化過程中，每一個狀態均可視為平衡狀態.2.做題流程3.常用方法(1)圖解法此法常用于定性分析三力平衡問題中，已知一個力是恒力、另一個力方向不變的情況.(2)解析法對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖，根據物體的平衡條件列方程或根據相似三角形、正弦定理，得到因變量與自變量的函數表達式(通常為三角函數關系)，最后根據自變量的變化確定因變量的變化.1.一個力恒定，另一個力始終與恒定的力垂直，三力可構成直角三角形，可作不同狀態下的直角三角形，分析力的大小變化，如圖甲所示.2.一力恒定，另一力與恒定的力不垂直但方向不變，作出不同狀態下的矢量三角形，確定力大小的變化，在變化過程中恒力之外的兩力垂直時，會有極值出現，如圖乙所示.考向1

“一力恒定，另一力方向不變”的動態平衡問題例1

(多選)如圖所示，在粗糙水平地面上放著一個截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，已知A物體的半徑為球B的半徑的3倍，球B所受的重力為G，整個裝置處于靜止狀態.設墻壁對B的支持力為F1，A對B的支持力為F2，若把A向右移動少許后，它們仍處于靜止狀態，則F1、F2的變化情況分別是

A.F1減小 B.F1增大C.F2增大 D.F2減小√√以球B為研究對象，受力分析如圖所示，可得出F1＝Gtanθ，F2＝

，當A向右移動少許后，θ減小，則F1減小，F2減小，故A、D正確.例2

(多選)如圖所示，在傾角為α的斜面上，放一質量為m的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦，當擋板繞O點逆時針緩慢地轉向水平位置的過程中A.斜面對球的支持力逐漸增大B.斜面對球的支持力逐漸減小C.擋板對小球的彈力先減小后增大D.擋板對小球的彈力先增大后減小√√對小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和擋板的彈力FN2，如圖，當擋板繞O點逆時針緩慢地轉向水平位置的過程中，小球所受的合力為零，根據平衡條件得知，FN1和FN2的合力與重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三個不同位置力的受力分析圖，由圖看出，斜面對小球的支持力FN1逐漸減小，擋板對小球的彈力FN2先減小后增大，當FN1和FN2垂直時，彈力FN2最小，故選項B、C正確，A、D錯誤.1.一力恒定(如重力)，其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向等平行，即三力構成的矢量三角形與繩長、半徑、高度等實際幾何三角形相似，則對應邊比值相等.基本矢量圖，如圖所示考向2

“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態平衡問題例3

(2023·寧夏銀川一中檢測)如圖所示，質量分布均勻的細棒中心為O點，O1為光滑鉸鏈，O2為光滑定滑輪，且O2在O1正上方，細繩跨過O2與O連接，水平外力F作用于細繩的一端.用FN表示鉸鏈對桿的作用力，現在水平外力F作用下，θ從

緩慢減小到0的過程中，下列說法正確的是A.F逐漸變小，FN大小不變B.F逐漸變小，FN逐漸變大C.F先變小再變大，FN逐漸變小D.F先變小再變大，FN逐漸變大√2.一力恒定，另外兩力方向一直變化，但兩力的夾角不變，作出不同狀態的矢量三角形，利用兩力夾角不變，結合正弦定理列式求解，也可以作出動態圓，恒力為圓的一條弦，根據不同位置判斷各力的大小變化.基本矢量圖，如圖所示例4

(2023·廣東潮州市模擬)新疆是我國最大的產棉區，在新疆超出70%的棉田都是通過機械自動化采收，自動采棉機將棉花打包成圓柱形棉包，然后平穩將其放下.放下棉包的過程可以簡化為如圖所示模型，質量為m的棉包放在“V”型擋板上，兩板間夾角為120°固定不變，“V”型擋板可繞P軸在豎直面內轉動，使BP板由水平位置逆時針緩慢轉動，忽略“V”型擋板對棉包的摩擦力，已知重力加速度為g，下列說法正確的是A.棉包對AP板的壓力一直減小B.棉包始終受到三個力的作用C.在AP板轉到水平前，BP板與AP板對棉包的作用力的合力不變D.當BP板轉過60°時，棉包對BP板的作用力大小為mg√當BP板或AP板處于水平狀態時，棉包受重力和支持力這兩個力作用，故B錯誤；在AP板轉到水平前，BP板與AP板對棉包的作用力的合力始終與棉包的重力平衡，所以合力不變，故C正確；當BP板轉過60°時，AP處于水平狀態，此時棉包對BP板的作用力大小為零，故D錯誤.一力恒定，另外兩力方向均變化時常采用的方法有相似三角形、正弦定理或利用兩力夾角不變作出動態圓，恒力為圓的一條弦，根據不同位置判斷各力的大小變化.方法點撥考向3

“活結”的動態分析例5如圖所示，在豎直放置的穹形支架上，一根長度不變且不可伸長的輕繩通過輕質光滑滑輪懸掛一重物G.現將輕繩的一端固定于支架上的A點，另一端從B點沿支架緩慢地向C點靠近(C點與A點等高).則在此過程中繩中拉力A.先變大后不變 B.先變大后變小C.先變小后不變 D.先變小后變大√其中d為兩端點間的水平距離，由B點向C點移動過程中，d先變大后不變，因此θ先變大后不變，由①式可知繩中拉力先變大后不變，故A正確.對滑輪受力分析如圖甲所示，由于跨過滑輪的繩子拉力一定相等，即F1＝F2，由幾何關系易知繩子拉力方向與豎直方向夾角相等，設為θ，可知題型二平衡中的臨界、極值問題1.臨界問題當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”或“恰好不出現”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等.臨界問題常見的種類：(1)由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力.(2)繩子恰好繃緊，拉力F＝0.(3)剛好離開接觸面，支持力FN＝0.2.極值問題平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題.3.解題方法(1)極限法：首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小.(2)數學分析法：通過對問題的分析，根據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系(或畫出函數圖像)，用數學方法求極值(如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值).(3)物理分析方法：根據物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態分析，確定最大值與最小值.例6如圖所示，物體的質量為m＝5kg，兩根輕細繩AB和AC的一端固定于豎直墻上，另一端系于物體上(∠BAC＝θ＝60°)，在物體上另施加一個方向與水平線也成θ角的拉力F，若要使兩繩都能伸直，求拉力F的大小范圍.(g取10m/s2)設AB繩的拉力為F1，AC繩的拉力為F2，對物體受力分析，由平衡條件有Fcosθ－F2－F1cosθ＝0，Fsinθ＋F1sinθ－mg＝0，若要使兩繩都能伸直，則有F1≥0，F2≥0，例7如圖所示，質量m＝5.2kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0m/s的速度做勻速直線運動.已知金屬塊與地面間的動摩擦因數μ＝0.2，g＝10m/s2.求所需拉力F的最小值.設拉力與水平方向夾角為θ，根據平衡條件有Fcosθ＝μ(mg－Fsinθ)，三課時精練1.(2023·廣東韶關市模擬)元代《王楨農書》記載了戽斗，它是一種小型的人力提水灌田農具，形狀像斗，兩邊系繩，靠兩人拉繩牽斗取水.如圖所示，兩條繩子與豎直方向夾角相同，忽略繩子質量，戽斗處于平衡狀態時，兩人站得越遠，則A.兩邊繩子對戽斗的合力越大B.兩邊繩子對戽斗的合力越小C.人對每邊繩子的拉力越小D.人對每邊繩子的拉力越大基礎落實練√123456789101112123456789101112對戽斗受力分析，可知兩條繩子與豎直方向夾角相同，提供大小相等的拉力.兩邊繩子對戽斗的合力與戽斗的重力平衡.所以兩人站的遠近不影響繩子對戽斗的合力，兩人站得越遠，兩繩夾角越大，由F＝

知人對每邊繩子的拉力越大.故A、B、C錯誤，D正確.2.(2023·山東煙臺市高三模擬)如圖所示，用一個質量不計的網兜把足球掛在光滑豎直墻壁上的A點，足球與墻壁的接觸點為B.若只增大懸繩的長度，足球始終保持靜止狀態，關于懸繩對球的拉力F和墻壁對球的支持力FN，下列說法正確的是A.F和FN都增大

B.F增大，FN減小C.F減小，FN增大

D.F和FN的合力不變√123456789101112對球受力分析，由平衡條件得懸繩對球的拉力滿足Fcosθ＝mg，墻壁對球的支持力滿足tanθ＝

，所以當增大懸繩的長度時，夾角θ減小，則由幾何關系知cosθ增大，tanθ減小，所以F和FN都減小，故A、B、C錯誤；123456789101112因為足球始終保持靜止狀態，所以F和FN的合力始終與mg等大反向，故D正確.3.(2023·廣東省聯考)如圖所示，單肩電腦包的肩帶是由一條長度可調節的尼龍纖維材料制成的.設電腦包裝滿時總質量不變，當單肩電腦包以不同的肩帶長度懸掛在固定的光滑掛鉤上時，下列說法正確的是A.肩帶較長時，肩帶的張力更大B.肩帶較短時，肩帶的張力更大C.肩帶長度增大時，掛鉤對肩帶的作用力增大D.肩帶長度縮短時，掛鉤對肩帶的作用力減小123456789101112√123456789101112由于單肩電腦包的重力不變，設肩帶與豎直方向夾角為θ，肩帶的張力為T，包的質量為m，根據平衡條件得Tcosθ＝

mg，肩帶較長時，肩帶間夾角小，肩帶的張力較小，肩帶較短時，肩帶間夾角大，肩帶的張力較大，A選項錯誤，B選項正確；肩帶對掛鉤的合力始終等于包的重力不變，所以掛鉤對肩帶的作用力與肩帶的長短無關，C、D選項錯誤.4.(2023·廣東東莞市第四中學月考)如圖所示，輕繩OA將一質量為m的小球懸掛于O點，力F作用于小球，OA與豎直方向的夾角為β＝30°，重力加速度為g，保持A點位置不變，現使力F沿逆時針方向緩慢旋轉，則A.力F逐漸變小B.力F一直增大C.力F與水平方向夾角為30°時，有最小值為

mgD.輕繩OA上的拉力先增大后減小123456789101112√由平衡條件可知，輕繩OA的拉力T和力F的合力F′一定豎直向上，與重力平衡，力F按逆時針方向緩慢旋轉的過程中，畫出該過程的力的動態平行四邊形，如圖所示，由圖可看出，力F先減小后增大，故A、B錯誤；當力F與水平方向的夾角α＝30°時，F最小，最小值為

mg，故C正確；由圖可知，輕繩OA上的拉力T一直減小，故D錯誤.1234567891011125.(2023·廣東省開學摸底大聯考)在沒有起重機的情況下，工人要將油桶搬運上汽車，常常用如圖所示的方法.已知油桶重力大小為G，斜面的傾角為θ.當工人對油桶施加方向不同的推力F時，油桶始終處于勻速運動狀態.假設斜面與油桶的接觸面光滑.在推力F由水平方向逐漸變為豎直方向的過程中，以下關于油桶受力的說法正確的是A.若力F沿水平方向，F的大小為GsinθB.若力F沿水平方向，斜面對油桶的支持力大小為GcosθC.F由水平方向逐漸變為豎直方向的過程中，斜面對油桶的支持力逐漸變大D.F由水平方向逐漸變為豎直方向的過程中，推力F的最小值為Gsinθ123456789101112√當力F沿水平方向時，由于油桶為勻速運動狀態，因此受力平衡，則水平方向和豎直方向上有F＝FNsinθ，FNcosθ＝G，解得F＝Gtanθ，FN＝

，故A、B錯誤；當力F由水平方向逐漸變為豎直方向的過程中，油桶的受力分析如圖所示，故斜面對油桶的支持力逐漸變小，且推力F和支持力FN垂直時有最小值，此時最小值為Fmin＝Gsinθ，故C錯誤，D正確.1234567891011121234567891011126.(2023·廣東汕頭市模擬)如圖所示，某健身者右手拉著抓把沿圖示位置B水平緩慢移動到位置A，不計繩子質量，忽略繩子和重物與所有構件間的摩擦，A、B、重物共面，則重物上升過程中A.繩子的拉力逐漸增大B.該健身者所受合力逐漸減小C.該健身者對地面的壓力逐漸減小D.該健身者對地面的摩擦力逐漸增大√123456789101112由題意可知，重物和健身者一直處于動態平衡狀態，由平衡條件可知，健身者所受合力等于零，繩上的拉力大小不變，其大小等于重物的重力mg，A、B錯誤；對健身者受力分析，如圖所示，由平衡條件可知，在豎直方向，則有Tsinθ＋FN＝Mg，又有T＝mg，可得FN＝Mg－mgsinθ，在水平方向，則有Tcosθ＝f，當從B水平緩慢移到A時，θ角逐漸變小，地面對健身者的支持力逐漸變大，地面對健身者的摩擦力逐漸變大，由牛頓第三定律可知，健身者對地面的壓力逐漸增大，健身者對地面的摩擦力逐漸增大，C錯誤，D正確.7.(2023·廣東梅州市田家炳實驗中學月考)如圖所示，物體甲放置在水平地面上，通過跨過光滑定滑輪的輕繩與小球乙相連，整個系統處于靜止狀態.現對小球乙施加一個水平力F，使小球乙緩慢上升一小段距離，整個過程中物體甲保持靜止，甲受到地面的摩擦力為f，則該過程中A.f變小，F變大B.f變小，F變小C.f變大，F變小D.f變大，F變大123456789101112√能力綜合練123456789101112以小球乙為研究對象受力分析，設繩與豎直方向的夾角為α，根據平衡條件可得，水平拉力F＝mgtanα，夾角α逐漸增大，則水平拉力F逐漸增大，繩子的拉力為T＝

，故繩子的拉力逐漸增大；以物體甲為研究對象受力分析，根據平衡條件可得，物體甲受到的地面的摩擦力與繩子拉力水平方向的分力等大反向，8.如圖所示為一簡易起重裝置，AC是上端帶有滑輪的固定支架，BC為質量不計的輕桿，桿的一端C用鉸鏈固定在支架上，另一端B懸掛一個質量為m的重物，并用鋼絲繩跨過滑輪A連接在卷揚機上.開始時，桿BC與AC的夾角∠BCA>90°，現使∠BCA緩慢變小，直到∠BCA＝30°(不計一切阻力).在此過程中，桿BC所產生的彈力A.大小不變 B.逐漸增大C.先增大后減小 D.先減小后增大123456789101112√以結點B為研究對象，分析受力情況，作出力的合成圖如圖，根據平衡條件知，F、FN的合力F合與G大小相等、方向相反.123456789101112∠BCA緩慢變小的過程中，AB變小，而AC、BC不變，則F變小，FN不變，故桿BC所產生的彈力大小不變，故選A.9.(2023·廣東深圳市調研)如圖所示，某同學將細繩穿過光滑圓環，繩的一端固定，另一端拴在手上，該同學將拴繩的手豎直向上緩慢移動過程中，下列說法正確的是

A.細繩與豎直方向的夾角θ變大B.細繩與豎直方向的夾角θ變小C.圓環所受合力變大D.細繩對圓環的拉力大小不變123456789101112√該同學將拴繩的手豎直向上緩慢移動過程中，細繩兩端水平間距d不變，細繩長度l不變，由幾何關系知sinθ＝

，所以細繩與豎直方向的夾角θ不變，故A、B錯誤；緩慢移動過程中，圓環受力平衡，所受合力始終為零，故C錯誤；由平衡條件得2Tcosθ＝mg，因為細繩與豎直方向的夾角θ不變，所以細繩對圓環的拉力T大小不變，故D正確.12345678910111210.(2023·河北唐山市模擬)北方農村秋冬季節常用金屬絲網圍成圓柱形糧倉儲存玉米棒，某糧倉由于玉米棒裝的不勻稱而發生傾斜現象，為避免傾倒，在左側用木棍支撐，如圖所示.若支撐點距水平地面的高度為

，木棍與水平地面間的動摩擦因數為

，木棍重力不計，糧倉對木棍的作用力沿木棍方向，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，為使木棍下端不發生側滑，則木棍的長度最大為A.1.5m B.C.2m D.√123456789101112123456789101112設木棍與水平方向夾角為θ，木棍長度為L，糧倉對木棍的作用力大小為F，則為使木棍下端一定不發生側滑，由平衡條件有Fcosθ≤μFsinθ，由幾何知識有tanθ＝

，兩式聯立解得L≤2m，即木棍的長度最大為2m，故A、B、D錯誤，C正確.11.(多選)如圖所示，一光滑的輕滑輪用細繩OO′懸掛于O點；另一細