10.1應力狀態10.2強度理論10.3組合變形第十章

強度理論與組合變形返回主目錄1應力狀態強度理論和組合變性專家講座第1頁拉壓扭轉彎曲FNymaxs=sCymaxtMToMymaxs壓maxs拉Csmaxtmaxsmax截面應力危險點應力狀態強度判據][maxtt￡][][maxmax壓壓拉拉ssss￡￡][][maxmax壓壓拉拉ssss￡￡概述10.1應力狀態返回主目錄2應力狀態強度理論和組合變性專家講座第2頁組合變形：問題：危險點應力狀態？強度判據？承受組合變形構件eFBA(a)鉆床立柱彎扭組合壓彎組合MACFT2(b)皮帶傳動軸BDFT1返回主目錄3應力狀態強度理論和組合變性專家講座第3頁思緒：研究力平衡。設單元體厚度為1，有osxtxysytyxsataaanxba最普通狀態：有s、s、t=t。xyxyyx問題:任意斜橫截面上應力s

、t?aasx普通情況xysxsysytyxtxySFx=snabcosa+tnabsina-sxabcosa+tyxabsina=0SFy=snabsina-tnabcosa-syabsina+txyabcosa=010.1.1平面應力狀態返回主目錄4應力狀態強度理論和組合變性專家講座第4頁注意到txy=tyx，解得：s

=s

cos2a+s

sin2a-2t

sinacosat

=(s

-s)sinacosa+t

(cos2a-sin2a)xyxyxyxynn利用cos2a=(1+cos2a)/2，sin2a=(1-cos2a)/2，sin2a=2sinacosa，得到平面應力狀態下普通公式：

s、t是a角函數，a角是x軸與斜截面正法向n夾角，從x軸到n軸逆時針轉動時，a為正。nnosxtxysytyxsataaanxbaatasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=---(10-1)---(10-2)atasst2cos2sin2xyyxn+-=返回主目錄5應力狀態強度理論和組合變性專家講座第5頁

s是a函數，極值？n令ds/da=0，有：n在a=a

斜截面上，s

取得極值；且t=0。n0nosxtxysytyxsataaanxbaatasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=atasst2cos2sin2xyyxn+-=任一截面應力02cos2sin2=+-atassxyyx---（10-3）---（10-4）yxxytgss2ta--=2010.1.2極限應力與主應力返回主目錄6應力狀態強度理論和組合變性專家講座第6頁10.1.2極值應力與主應力（10-1）式記tg2a

=x,有sin2a=

x/(1+x)cos2a=

1/(1+x)221/21/20代入(10-1)式：atasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=sn取極值條件：yxxytgss2ta--=201ax)1(2x+=x}4)(22/)({2222xyyxxyyxyxntsstsssss+-+-±+=(10-5)式極值應力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü7應力狀態強度理論和組合變性專家講座第7頁10.1.2極限應力與主應力注意到：tg2a0=tg(p+2a0)正應力取得極值角a

有兩個，二者相差90

。即s

和s

分別作用在兩相互垂直截面上。0maxmin主平面:剪應力為零平面。

a=a

時，t=0，故對應平面是主平面。主應力:主平面上正應力。故極值應力是主應力。0n(10-5)式極值應力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü極值應力截面方位：yxxytgss2ta--=20(10-4)式8應力狀態強度理論和組合變性專家講座第8頁剪應力極值？代入(10-2)式：令dtn/da=0，有(sx-sy)cos2a-2txysin2a=0

一樣有sin2a=

x/(1+x)；cos2a=

1/(1+x)221/21/2---(10-2)atasst2cos2sin2xyyxn+-=t取得極值條件：（10-6）xyyxtgtssa221-==x極限剪應力(10-7)式22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyü9應力狀態強度理論和組合變性專家講座第9頁極限剪應力作用平面？剪應力取得極值平面與主平面間夾角為45

。

(10-6)剪應力取得極值角a

有兩個，二者相差90

。即t

和t

分別作用在兩相互垂直截面上。1maxmina和a關系？01即有：a1=a0

p/4

xyyxtgtssa221-=主平面方位(10-4)yxxytgss2ta--=20)22(0pamtg=)22(0aptg±-=20actg-=21201aatgtg-=10應力狀態強度理論和組合變性專家講座第10頁例1已知某點應力狀態為:

s

=30MPa，s

=10MPa，t

=20MPa。求1)主應力及主平面方向；2)最大、最小剪應力。xxyy解：1）主應力與主方向主應力：由（10-5）式有：主方向角：由（10-4）式有：xytyxtxysxsysxsya0a=58.29

n主平面方位:a01=58.28

，a02=148.28

?íì-=+-±+=tyüMPaMPa36.236.4220)21030(2103022minmaxss2a=-63.43

，a

=-31.72

002103020220-=-

-=atg11應力狀態強度理論和組合變性專家講座第11頁a=58.28時，由(10-1)式有:a=148.28時有:sn=smax=42.36MPa

在平行xy前后面上，無應力作用，s、t均為零。故此面上還有第三個主應力sz=0。各主平面上應力？(t=0)xytyxtxysxsysxsya0a=58.29

n三個主應力按大小排列。

-++=116.56-20sin116.56cos2103021030ns=-2.36MPa=smin3s1s2s用主應力表示應力狀態，簡練、清楚。s1s2=0xyzs1s3s3xys1s3s3s1a0=58.28

平面應力狀態12應力狀態強度理論和組合變性專家講座第12頁3)最大、最小剪應力由（10-7）式有：作用平面方向角：a

=a+p/4=13.28

0a=-31.72

01a=13.28時，由（10-2）式有:注意還有a=103.28時:t=-22.36MPas

=20MPa22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyüMPa36.2220]2)1030([22±=+-±=MPaxyyx36.2256.26cos56.26sin2=+-=ootsstMPa2056.26sin20

56.26cos2103021030=°-°-++=s

tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmaxa1=13.28

-tmax13應力狀態強度理論和組合變性專家講座第13頁求任一截面應力---（10-1）、（10-2）式分析結果匯總與討論(已知s、s、t

)xyxy求主應力及其方位---（10-5）、（10-4）式主應力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。求極限剪應力---(10-7)式，作用面與主平面相差45。。極限剪應力作用面相互垂直，剪應力互等（大小相等、符號相反，使單元體順時針轉者為正）。注意：極限剪應力作用面上普通s=0。一點應力狀態可由三個主應力描述，對于平面應力狀態，第三個主應力s

=0。z14應力狀態強度理論和組合變性專家講座第14頁討論一、應力狀態第一不變量由(10-5)式顯然有：s+s=s+s

maxminxy即過某點任意兩相互垂直平面上正應力之和不變。在三向應力狀態下，一樣能夠得到：J---稱為表示一點應力狀態第一不變量，即過某點任意三個相互垂直平面上正應力之和是不變。122minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü.3211constJzyx=++=++=ssssss15應力狀態強度理論和組合變性專家講座第15頁討論二、主應力與極限剪應力由(10-5)式s

、s平面內，t之值等于二主應力之差1/2。13maxs

、s平面內，t之值等于(s-s

)/2。12max12s

、s平面內，t之值等于(s-s

)/2。23max23還有：二主應力之差二分之一即該平面內最大剪應力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü假定smin<0平面應力狀態sz=0有：2231]2/)[(2xyyxtssss+-=-(10-7)式為22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyü顯然可知有：231minmaxsstt-±=tyü平面應力狀態sz=0若smin<0:t

max=(s1-s3)/2若smin

0:t

max=(s1-0)/2=s1/216應力狀態強度理論和組合變性專家講座第16頁討論三、極限剪應力作用面上s可否為零？若極限剪應力作用面上s均為零，純剪由(10-7)式知，此時應有：若s=0或s=0，則xy平面上txy不是極限剪應力。xy若s=0且s=0，則極限剪應力面上必有。xys=sxy除純剪情況外，極限剪應力平面上正應力不為零，且必有sx=sy。xytxys=s=0xytyxtxytxy22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyü±=xytxytxys=0xtyxsytyxtxysy17應力狀態強度理論和組合變性專家講座第17頁思索題1：圖中表示純剪應力狀態是否正確？假如正確，單元體應力狀態用主應力怎樣表示？ttt(a)(b)(c)剪應力互等？t是極限剪應力，主平面？與極限剪應力面成45。二主應力之和？s+s=s+s

=0。s=-s

13xy13s在哪個面上？多大？1s1s1(s-s)/2=t

s

=t

13118應力狀態強度理論和組合變性專家講座第18頁求任一截面應力—(10-1)、(10-2)式求主應力大小和方位—(10-5)、(10-4)式主應力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。一點應力狀態可由三個主應力描述，對于平面應力狀態，第三個主應力s

=0。zsxxysxsysytyxtxysntnanyxxytgss2ta--=20atasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=atasst2cos2sin2xyyxn+-=22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü平面應力狀態小結19應力狀態強度理論和組合變性專家講座第19頁求極限剪應力--(10-7)式，作用面與主平面相差45

。極限剪應力與主應力關系：t=(s-s)/213max22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyü第一不變量：.3211constJzyx=++=++=ssssss除純剪情況外，極限剪應力平面上正應力不為零，且必有sx=sy。過某點任意三個相互垂直平面上正應力之和不變。返回主目錄20應力狀態強度理論和組合變性專家講座第20頁線彈性應力-應變關系：s=Ee對于用主應力表示微元，沿主方向應變（主應變）e1

是沿x1方向伸長。有：s1x1x2x3s3s2s2s3s1EEE///3211msmsse--=s

引發伸長1s

引發縮短2s

引發縮短3廣義虎克定理---(10-10)?t?yü+-=+-=+-=)]([)]([)]([213131321232111ssmsessmsessmseEEE10.1.3廣義虎克定理與變形比能返回主目錄21應力狀態強度理論和組合變性專家講座第21頁10.1.3廣義虎克定理與變形比能s1x1x2x3s3s2s2s3s1廣義虎克定理：?t?yü+-=+-=+-=)]([)]([)]([213131321232111ssmsessmsessmseEEEe1=[s1+ms1-m(s1+s2+s3)]/E=[(1+m)s1-m(s1+s2+s3)]/E

s1>s2>s3

e1>e2>e3

最大主應變那個應變大？故有：e1=[(1+m)s1-m(s1+s2+s3)]/Ee2=[(1+m)s2-m(s1+s2+s3)]/Ee3=[(1+m)s3-m(s1+s2+s3)]/E22應力狀態強度理論和組合變性專家講座第22頁變形比能（討論線彈性情況）在三向應力狀態下，彈性變形能仍等于外力功，且只取決于外力和變形最終值，與中間過程無關。變形比能u：單位體積變形能在單向拉伸情況下，力從0F，變形由0DL，變形能(外力所做功)：U=FDL/2。若變形過程1U；變形過程2U<U；反證121按過程1加載，再按過程2卸載，多出能量？se212=D==ALLFALUuF-DL曲線DLFFDL/223應力狀態強度理論和組合變性專家講座第23頁可假定三個主應力按百分比同時從零增加到最終值，則彈性變形比能u可寫為：利用廣義虎克定理，有：332211212121eseses++=u)]([21)]([2121312121321111ssssmsssmsses+-=+-=EE類似有：)]([212132122222ssssmses+-=E)]([212123132333ssssmses+-=E得到變形比能為：)](2[21133221232221ssssssmsss++-++=Eu--(10-11)24應力狀態強度理論和組合變性專家講座第24頁體積改變比能和形狀改變比能u=u+u

VS變形比能體積改變比能體積改變比能三向等拉情況(s=s=s=s)：只有體積改變123m普通情況：smsmsmtxytxztyzs—體積改變t—形狀改變mijus=?令s=(s+s+s)/3，有：123m由(10-11)式有：2222)21(3)63(21mmmVEEuusmmss-=-==s1s3s2s1s2s3(10-12)25應力狀態強度理論和組合變性專家講座第25頁形狀改變比能：uS=u-uV普通情況：smsmsmtxytxztyzs—體積改變t

—形狀改變mijus=?令s=(s+s+s)/3，有：123ms1s3s2s1s2s3三向等拉(10-11)式給出)](2[21133221232221ssssssmsss++-++=Eu2321)(6)21(sssm++-=E=23219)(2)21(3sssm++·-E=2)21(3m-EuVsm?26應力狀態強度理論和組合變性專家講座第26頁最終得到用主應力表示形狀改變比能為：])()()[(61213232221ssssssm-+-+-+=-=EuuuVS(10-13)[21232221sss)](2133221ssssssm++-++=-=EuuuVS)](2[6)21(133221232221sssssssssm+++++--E)](3)21([)](6)21(21[133221232221ssssssmmsssm++-+-++--=EEEE)(3)1()(6)1(2133221232221ssssssmsssm+++-+++=EE)222222[6)1(133221232221sssssssssm---+++=E27應力狀態強度理論和組合變性專家講座第27頁(a)：思索題：寫出圖示二應力狀態沿x方向正應變

e

、最大正應變e

及變形比能u和u。1xVSEEEyxx/)1(//smmsse-=-=EEE/)1(//211smmsse-=-=體積改變比能：223213)21(2)(6)21(smsssm-=++-=EuV形狀改變比能：mm++221323222131])()()[(61sssssssEEuS=-+-+-=(a)Assxy(b)xtssyBs1=s2=s28應力狀態強度理論和組合變性專家講座第28頁設0<t<s；則s1=s+t；s2=s-t；s3=0有：(b)xtssyB(b)：tstssssss±=+-±+=tyü22minmax]2/)[(2xyyxyxs1s212EEEyxx/)1(//smmsse-=-=EEEE/)1(/)1(//211tmsmmsse++-=-=體積改變比能：223213)21(2)(6)21(smsssm-=++-=EuV形狀改變比能：)2(31])()()[(6122213232221tsmssssssm++=-+-+-+=EEuS返回主目錄29應力狀態強度理論和組合變性專家講座第29頁廣義虎克定理:(10-10)式彈性變形比能u：(10-11)式u為體積改變比能u和形狀改變比能u之和。VS三向等拉情況(s=s=s=s

)：只有體積改變123m形狀改變比能(普通情況)為：形狀改變是剪應力貢獻。小結30應力狀態強度理論和組合變性專家講座第30頁再見習題:10-1(b)、(c)、(e);10-2(a)、(b)。返回主目錄31應力狀態強度理論和組合變性專家講座第31頁sxxysxsysytyxtxy前節回顧:平面應力狀態s1s2=0xyzs1s3s3主應力;主平面sxsz=0xyzsxsysytxyxys1s3s3s1tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmax-tmaxtmax=(s1-s3)/2s

+s

=s1+s3

s1s2xyzs3s1s3s2相差45平面三維三維普通情況10.2強度理論返回主目錄32應力狀態強度理論和組合變性專家講座第32頁問題：復雜應力狀態下強度？研究：危險點應力狀態強度判據？MxFT1ACFT2BDyz危險點10.2強度理論sxxysxtyxtxys1s233應力狀態強度理論和組合變性專家講座第33頁10.2強度理論單向應力狀態：單向拉壓試驗強度理論:

復雜應力狀態下材料破壞或屈服規律假說。破壞延性破壞s

脆性破壞s

bys復雜應力狀態？破壞判據s

=s

ors強度條件：s

[s]

11bys要設計不一樣s:s試驗。12ys1xs1s2s2返回主目錄34應力狀態強度理論和組合變性專家講座第34頁一、最大拉應力理論（第一強度理論）破壞判據s

=s

1b不論材料處于何種應力狀態，脆性材料破壞只取決于其最大拉應力s。1假說試驗驗證：正確性條件：考慮安全貯備，給出：強度條件：s

[s]=s/n

1b10.2.1脆性材料破壞強度理論返回主目錄35應力狀態強度理論和組合變性專家講座第35頁二、最大拉應變理論（第二強度理論）脆性材料破壞取決于其最大拉應變e。1假說考慮安全貯備，給出：破壞判據e

=e

1f單向拉伸破壞應變虎克定理破壞判據s

-m(s+s)=s

(應力形式)123b試驗驗證：或時，更加好一些。強度條件：s-m(s+s)[s]=s/n

1b23返回主目錄36應力狀態強度理論和組合變性專家講座第36頁一、最大剪應力理論（第三強度理論）屈服判據t

=t

maxs單向拉伸屈服時t屈服判據s-s

=s

(Tresca條件,1864,法)1ys3試驗驗證：很好地預測了塑性材料屈服。思索：材料滑移剪應力貢獻延性材料屈服假說：延性材料屈服取決于其最大剪應力t

。max；；設計：強度條件：s-s

[s]=s

/n

1ys310.2.2延性材料屈服強度理論返回主目錄37應力狀態強度理論和組合變性專家講座第37頁二、形狀改變比能理論（第四強度理論）假說：延性材料屈服取決于其形狀改變比能u

。

S滑移改變形狀思索：Tresca條件與s無關2？能量？屈服判據u

=u

Ssc單向拉伸屈服時us；屈服判據(s

-s)+(s-s)+(s-s)

=2s1ys322132222Mises條件,1913,德38應力狀態強度理論和組合變性專家講座第38頁試驗驗證：對延性金屬屈服，預測比最大剪應力理論預測更加好，但二者相差不大。10.2.2延性材料屈服強度理論二、形狀改變比能理論（第四強度理論）屈服判據(s

-s)+(s-s)+(s-s)

=2s1ys322132222即Mises條件:yssssssss=-+-+-213232221)()()(21設計：強度條件nys/][)()()(21213232221ssssssss=￡-+-+-39應力狀態強度理論和組合變性專家講座第39頁強度理論匯總：s

=s

1r1s理論1s=s-m

(s+s)

1r232e理論1s=s-s

1r33t

理論maxs={[(s

-s)+(s

-s)+(s

-s)]/2}1r4331222221/2u理論S破壞屈服慣用

s>s,s<0311慣用相當應力s

[s]

r強度條件普通形式：工作應力

許用應力脆性破壞[s]=s/nb塑性屈服[s]=s/nys40應力狀態強度理論和組合變性專家講座第40頁例2低碳工字鋼梁截面尺寸H=200mm，h=180mm，

B=100mm，a=92mm，[s]=200MPa。若截面受

M=30kN.m，FS=100kN作用，試校核其強度。解：1)截面彎曲正應力：s=M

y/IzI=(BH–ah)/12=2.19510mz33-54y=0處：s=0y=h/2處：s=30000

0.09/2.195

10=123(MPa)h/2-5y=H/2處：

s=s

=M

y/I

=30000

0.1/2.195

10=137(MPa)max-5H/2maxzzya/2Ha/2Bh41應力狀態強度理論和組合變性專家講座第41頁例2低碳工字鋼截面尺寸H=200mm，h=180mm，

B=100mm，a=92mm，[s]=200MPa。若截面M=30kN.m，FS=100kN，試校核其強度。y=H/2處：Sz=0；tH/2=0解：2)截面剪應力：t=FS

Sz/IzbI=2.19510m;S見例9-13z-54zy=0處：Sz=12.7410-5m3；b=0.008

t0=tmax=FS

Sz/Iz(B-a)

=10010312.74/(2.1950.008)=72.5(MPa)y=h/2處：Sz=9.510-5m3；b=0.1；

th/2+=4.3(MPa)翼緣y=h/2處：Sz=9.510-5m3;b=0.008;

th/2-=54(MPa)腹板zya/2Ha/2Bh42應力狀態強度理論和組合變性專家講座第42頁解：3)強度校核截面各可能危險點應力狀態：zyABCD低碳鋼延性屈服第三強度理論xysmaxAxsBtyxCtmaxyxys1A用主應力表示s=s1maxs=s

=023xCys1s3s=-s=t1max3s=02xsBsy13s-s

[s]13D?s=02)4(212231tssss+±=tyü43應力狀態強度理論和組合變性專家講座第43頁解：3)強度校核第三強度理論:s=s-s

[s]

13r3B點：=s-s

=(s+4t

)=164<[s]=2001r33221/2=123t=54A點：s=137MPas=s-s

=137<[s]=2001r33maxC點：t=72.5MPas=s-s

=145<[s]=2001r33maxxys1As=s1maxs=s=023xCys1s3s=-s=t1max3s=02xsBsy13s=02)4(212231tssss+±=tyüzyABC討論：A處；與梁彎曲正應力強度條件一致；C處：與梁彎曲剪應力強度條件一致；B處：正、剪應力同時存在，也可能是危險點。44應力狀態強度理論和組合變性專家講座第44頁討論一：某脆性材料應力狀態如圖，怎樣選取適當強度理論？3060405060402010403040601221s=s-s

=1001r33t理論maxr4={[(s1-s2)2+(s2-s3)2+(s3-s1)2]/2}1/2={[(s1-s2)2+s22+s12]/2}1/2uS理論討論二：s1=100MPa，s3=0，若s2=20，50，80MPa，問sr3與sr4相差多大？

s2

sr42091.655086.68091.6545應力狀態強度理論和組合變性專家講座第45頁再見習題:10-3，10-4。返回主目錄46應力狀態強度理論和組合變性專家講座第46頁前節回顧：s1理論:sr1=s1

e1理論:sr2=s1–m(s2+s3)tmax

理論:

sr3=s1-s3

uS理論:sr4={[(s1-s3)2+(s1-s3)2+(s1-s3)2]/2}1/2強度條件:sr[s]sxxysxsysytyxtxy復雜應力狀態用主應力表示強度條件主應力xys1s3s3s1討論組合變形問題10.3組合變形返回主目錄47應力狀態強度理論和組合變性專家講座第47頁10.3組合變形研究思緒基本變形組合變形內力應力應變位移組合變形構件，危險點應力狀態線彈性小變形疊加法強度計算、設計選擇適當強度理論10.3.1拉(壓)彎組合變形xyzoABMyFNMz剪切、扭轉暫不考慮。內力FN沿x軸拉或壓；彎矩M

xy面內彎曲；z彎矩M

xz面內彎曲。y48應力狀態強度理論和組合變性專家講座第48頁截面正應力：s=s

+s

+s

=FN/A+Mzy/Iz+Myz/Iy

s是截面坐標(y,z)函數，何處應力最大？FN作用下，各處應力相同；Mz作用下，AC受拉，BD受壓；My作用下，AD受拉，BC受壓；A處：s

=FN/A+M

y/I+M

z/I

zzyymax拉maxmaxB處：s

=FN/A-My/I

-M

z/I

zzyymax壓maxmax截面上只有沿x方向正應力，是單向應力狀態。強度條件為：

s

[s];s

[s]max拉max壓拉壓應力軸力FN

s

=FN/A彎矩Mz

s

=Mz

y/Iz′′彎矩My

s

=Myz/IyxyzABMyFNMzCD10.3.1拉(壓)彎組合變形返回主目錄49應力狀態強度理論和組合變性專家講座第49頁例3：正方形截面立柱，邊長為2a，開槽截面為邊長a

2a矩形。求開與未開槽截面最大應力值之比。aF2aa/2FFNMA2)開槽部分橫截面應力:截取研究對象，求截面內力。

解：1)未開槽部分橫截面應力:

s=FN/A=F/4a2

(壓應力)FN=F；M=Fa/2壓彎組合變形且A處壓應力最大。由疊加法有：222max26/22/2aFaa

FaaF=+=+=彎壓開槽sss3)最大應力值之比為：84//222==aFaFl50應力狀態強度理論和組合變性專家講座第50頁例4：矩形截面梁寬b=40mm，高h=60mm，

L=0.5m。已知[s]=120MPa，試校核其強度。2)作梁內力圖a=30

LABF=10kNLCFCFAyFAx解：1）求約束力。平衡方程：

SFx=FAx-FCcos30

=0

SMA=FC

2Lsin30

-FL=0

SMB=FL-FAy

2L=03)危險截面點在距A為L處，上端危險點壓應力最大，且剪應力為零。解得：FC=10kN；

FAx=8.66kN；FAy=5kN-FN-8.66kN-+FS5kN-5kN2.5kN.m+M51應力狀態強度理論和組合變性專家講座第51頁矩形截面梁寬b=40mm高h=60mm[s]=120MPa梁軸線上剪應力最大：且

tmax=3FS/2bh=35103/(24060)=3.12MPa該處：s彎=0；

s壓=8660/2400=3.6MPa。應力小一個量級，強度足夠。應力狀態危險點壓應力：MPaWMAFzN120][8.1076040105.266040

1066

.8263maxmax=<=

+=+=ss強度足夠a=30

LABF=10kNLCFCFAyFAx2.5kN.m+M-FN-8.66kN-+FS5kN-5kN52應力狀態強度理論和組合變性專家講座第52頁例5立柱在A(y，z)處受力F作用，求柱中最大應力。解：截面法求內力：

最大壓應力：最大拉應力：蘭點處綠點處最大應力在何處？

FN=F軸向壓縮；

My=Fz在xz平面內彎曲；

Mz=Fy在xy平面內彎曲。FxyzcAhbFN=FMy=FzMz=Fy22max66hbFzbhFybhFWMWMAFyyzzN++=++=壓s22max66hbFzbhFybhFWMWMAFyyzzN++-=++-=拉s53應力狀態強度理論和組合變性專家講座第53頁這是yz平面內直線方程：y=0時，z=h/6；z=0時，y=b/6；截面關鍵：偏心壓縮載荷作用在截面關鍵內，則截面上無拉應力。FxyzcAhbyzh/6b/6若不允許受拉(混凝土立柱)，A極限位置？截面最大拉應力應為零，即：06622max=++-=hbFzbhFybhF拉s得到：6F

yb+6F

zh-F

bh=0

by+hz=bh/654應力狀態強度理論和組合變性專家講座第54頁討論一：矩型截面柱關鍵是菱形，圓形柱關鍵？zy設壓縮載荷如圖：FN=F；

M=F

rrF截面關鍵：

圓截面柱截面關鍵是直徑為d/4圓。由s=0，有：32Fr/d=4F

r=d/8

max拉z

d/4最大拉應力：32max324dFdFWMAFzNprps+-=+-=￠拉返回主目錄55應力狀態強度理論和組合變性專家講座第55頁扭矩T=Mx彎矩Mz彎矩My彎曲剪應力通常較小，暫不考慮；拉/壓彎組合已討論。內力MxxyzMzoMy應力合成彎矩MxyMzoMyz扭轉：t=T/WTmax彎曲：s=M/Wz

max危險點：A、B處。s=-s=s;t=t=t

maxmaxBAABAB22zyMMM+=zABMxyoz

10.3.2圓軸彎扭組合變形返回主目錄56應力狀態強度理論和組合變性專家講座第56頁10.3.2圓軸彎扭組合變形強度條件對于圓軸，有：WT=2Wz

=2W=pd3/16;W=pd3/32Bsstt應力狀態危險點應力：s=M/Wz

；t=T/WT；T=Mx22zyMMM+=)4(21221tsss++=02=s)4(21223tsss+-=主應力：][122s￡+TMW][422313stssss￡+=-=r第三強度理論][3224stss￡+=r第四強度理論][75.0122s￡+TMW57應力狀態強度理論和組合變性專家講座第57頁彎、扭方法歸納--圓軸彎扭組合變形研究思緒基本變形組合變形內力應力組合變形構件，危險點應力狀態線彈性小變形疊加法MxxyzMzoMy圓軸合成彎矩MzABMxyo強度理論相當應力s/s

r3r4s=M/Wt=T/WTBsstt主應力？s、s、s

123強度條件:][122s￡+TMW][0.75T122s￡+MW58應力狀態強度理論和組合變性專家講座第58頁例6傳動軸AB直徑d=40mm，AC=CD=DB=200mm，C輪直徑d=160mm，D輪直徑d=80mm，

=20

，已知力F1=2kN，[s]=120MPa，試校核軸強度。12解：1)受力分析,SFx=FAx

=0SMx=F2cosa

d2/2-F1cosa

d1/2=0

F2=4kNSMy=F1sina

AC-F2cosa

AD-FBz

AB=0

FBz=-2.28kNSMz=F1cosa

AC-F2sina

AD+FBy

AB=0

FBy=0.286kNSFZ=FAz-F1sina+F2cosa+FBz=0

FAz=-0.8kNSFy=FAy+F1cosa-F2sina+FBy=0

FAy=-0.8kNaAF1F2xyzBCDaFByFBzFAyFAxFAz有平衡方程：59應力狀態強度理論和組合變性專家講座第59頁TMyMz0.150.160.05720.160.456ABCD2)求軸內力，3)危險截面：可能是C或者D。再考查合成彎矩。繞x軸扭轉：CD段扭矩為：T=F1cosa

d1/2=0.15kN.mxy面內彎曲：無分布載荷，彎矩是各段線性，且：

MyC=FAy

AC=-0.16kN.m

MyD=FBy

DB=0.0572kN.mxz面內彎曲：有：

MzC=FAz

AC=-0.16kN.m

MzD=FBz

DB=-0.456kN.m畫內力圖aAF1F2xyzBCDaFByFBzFAyFAxFAz60應力狀態強度理論和組合變性專家講座第60頁3)危險截面：可能