九年級下

滬科版24.4直線與圓的位置關系第3課時

切線長定理1.能用尺規作圖：過圓外一點作圓的切線；2.探索并證明切線長定理：過圓外一點的兩條切線長相等.

學習目標重點重點

新課引入

前面我們已經學習了切線的判定定理和性質定理，已知⊙O和⊙O外一點P，你能夠過點P畫出⊙O的切線嗎？O.PAB例1如圖，點Р為⊙O外一點，過點Р作直線與⊙O相切.O.PAB則直線PA，PB即為所作.一

切線長定理作法：1.連接OP.2.以OP為直徑作圓，設此圓交⊙O于點A，B.3.連接PA，PB.新知學習過圓外一點能夠作圓的兩條切線.切線上一點到切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長.歸納如圖，PA，PB為⊙O的兩條切線，點A、B為切點.線段PA、PB的長就是點P到⊙O的切線長.注意：切線是直線，不可度量；切線長是切線上一點與切點之間的線段的長，可以度量.探究

如圖，PA、PB是☉O的兩條切線，切點分別為A、B.在半透明的紙上畫出這個圖形，沿著直線PO將圖形對折，由于直線PO是圓的一條對稱軸，兩半圓重合.圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關系？POAB如圖，連結OA和OB.∵PA和PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB,OP=OP.∴Rt△AOP≌

Rt△BOP.∴PA=PB,∠APO=∠BPO.POAB*切線長定理

過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.歸納PA、PB分別切☉O于點A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言:例1已知:如圖，四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA和⊙O分別相切于點E，F，G，H.求證:AB+CD=DA+BC.證明：AB，BC，CD，DA都與⊙O相切，E，F，G，H是切點，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，即

AB+CD=AD+BC.例2為了測量一個圓形鐵環的半徑，某同學采用了如下辦法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關數據，進而可求得鐵環的半徑，若三角板與圓相切且測得PA=5cm，求鐵環的半徑．分析：欲求半徑，取圓的圓心為O，連OA，OP，由切線性質知△OPA為直角三角形，從而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半徑．OO解：如圖，設鐵環的圓心為O，過O作OQ⊥AB于Q，連接OP、OA.∵AP、AQ為⊙O的切線，∴AO為∠PAQ的平分線，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.Q在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝90°-60°=30°，即鐵環的半徑為BC若連結兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結論？請給出證明.O.PABM結論：OP垂直平分AB.證明：∵PA，PB是⊙O的切線，點A，B是切點

∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線

∴OP垂直平分AB.思考若延長PO交⊙O于點C，連接CA、CB，你又能得出什么新的結論？請給出證明.O.PABC拓展延伸證明：∵PA，PB是⊙O的切線，點A，B是切點，∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.又∵PC=PC.∴△PCA

≌△PCB，

∴AC=BC.結論：CA=CB針對訓練1.下列說法正確的是(

)A．過任意一點總可以作圓的兩條切線B．圓的切線長就是圓的切線的長度C．過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等D．過圓外一點所畫的圓的切線長一定大于圓的半徑C2.如圖，AB、AC、BD是☉O的切線，P、C、D為切點，如果AB=5，AC=3，則BD=

.BPOACD21.如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，過點A，B的切線PM，PN交圓外于點P，若∠C＝135°，∠MAD＝60°，則∠P的度數為_____．30°隨堂練習2.如圖，△ABC三邊都與⊙O相切，求證：AB+CF=AC+BF.證明：∵△ABC三邊都與⊙O相切，∴AD=AE

①，BD=BF

②，CF=CE

③，∴①+②+③得，AD+BD+CF=AE+BF+CE，∴AB+CF=AC+BF.FEDCBAO3.如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O外一點，CA，CD分別切⊙O于點A，D，連接BD，AD，若∠C＝50°，求∠DBA的大小．解：∵CA，CD是⊙O的切線，

∴CA=CD，∵∠C=50°，

∴∠CAD=∠CDA=65°，∵CA⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠CAB=90°，∴∠DBA＋