中學生標準學術能力診斷性測試2022-2023學高三上學期（新課改版）

數學試題

學校:姓名：班級：—考號：___________

一、單選題

1.設集合A={x|0Wx<4},B=則AB=(）

A.(1,4]B.[1,4]

C.[0,1)D.[0,1]

2.“（〃-4）+（4-2皿。€2為純虛數”是“4=±2"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.己知sin（5-「Ui貝Icos12a+—k勺值為'

()

740D.晅

A.-1B.c.

99~9~9

S

己知等差數列{%},但J的前"項和分別為S“，T“,且n

4.I

22

5.設K，F?分別是橢圓5+3=1的左、右焦點，尸為橢圓上任一點，點。的坐標為則

|PQ|+|P團的取值范圍為（）

A.[5/2,6]B.[若

C.[6-2A/2,6+2A/2]D.[6-710,6+710]

6.正多面體共有5種，統稱為柏拉圖體，它們分別為正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、

正十二面體、正二十面體.已知連接正八面體中相鄰面的中心，可以得到另一個柏拉圖體.已知該

柏拉圖體的體積為1,則生成它的正八面體的棱長為（）

B.還C.迪D.2

A.V2

22

衛產+2的最小值為（）

7.已知實數x>0,y>3z>Q,貝1]

y+2zx

A.1+6B.1+26c.2+V2D.2+2V2

8.已知函數"x)=-g,g(x)=lnx,若存在X],巧，…,x〃+]￡,e,使得

/(%1)+/(%2)++y(x,)+g(x“+J=g(X])+g(X2)++g(x.)+f(尤”+J(，eN*)成立，則w的最大

值為()(注：e=2.71828…為自然對數的底數)

A.4B.5C.6D.7

二、多選題

9.下列函數中，最小正周期為兀的是()

A.y=|sin%|B.y=sin|x|C.y=|cos2x|D.y=cos|2x|

10.已知某高中共有學生2040人，其中高一段學生800人，高二段學生600人，為了了解學生的

體質健康水平，現從三個段中采取分層抽樣的方法，抽取一個容量為51的樣本，檢測得到高一、

高二、高三段的優秀率分別為45%,60%,50%,下列說法正確的是()

A.體質健康水平不優秀的人數最多的年級段是高一段

B.體質健康水平優秀的人數最少的年級段是高三段

C.高二段抽取了15人

D.估計該校學生體質健康水平的優秀率為49.3%(百分比保留一位小數)

11.若存在"R,對任意的x>l,恒有-心cos2x,則函數可能為()

A./(x)=exB.〃x)=sinx

C./(x)=lg(x-l)D./(x)=Vx-l

12.已知圓C:(尤-2y+(y-3)2=4,恒過(1,3)的直線/與圓C交于P,。兩點.下列說法正確的是

()

A.|尸。|的最小值為2e

B.PC-PQe[6,8]

C.CPCQ的最大值為-2

D.OPOQe[8-M,8+JiU](。為坐標原點)

三、填空題

13.已知函數=,若兒“切21,則x的范圍是.

log3x,x>0

14.已知多項式/(％一1)4=%(X+1)6+〃2(%+1)5++〃6(%+1)+%,貝.

15.已知雙曲線C:￡-M=l,過雙曲線C上任意一點尸作兩條漸近線的垂線，垂足分別為

32

N.則1PM+|PN|的最小值為.

16.已知平面向量a,b,c>d>滿足a_L6,忖=忖=1,卜=1,若儂+d)(a-d)》—,貝。卜+⑷

的取值范圍是.

四、解答題

17.現有4所學校，每校派出3名教師，這12名教師中，經過選拔挑出4名教師參加技能比賽.

(1)恰有2名教師來自同一所學校的概率；

(2)設這4名教師來自的學校個數記為乙求&的分布列和數學期望.

18.已知“BC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinBsinCusii?8+sin?C-sin2A.

⑴求角A；

(2)求cosB+cosC的最大值.

19.如圖所示，多面體A3C0EF中，AD//BC//EF,平面AOEF_L平面BCERAD±EC,且

TT

AD=CD=4,CB=EF=2,NBCD=—.

3

Q)若FB=2壺,求直線。C與平面A8尸所成角的正弦值.

20.已知數列｛an｝的前n項和S"滿足25“+%=3.

⑴求｛凡｝的通項公式；

⑵設數列也｝滿足我=("+2)4，記｛2｝的前〃項和為1,若存在〃CN*使得(>寧+心凡成立,

求2的取值范圍.

22

21.如圖所示，已知拋物線C］：d=2py(p>0),橢圓C?：匕+±=1,過y軸正半軸上點A作斜

率為-1的直線/交拋物線G于瓦c兩點，交橢圓C?于E,尸兩點.

⑴當點A為拋物線Cj的焦點時，|BC|=16.求拋物線G的方程；

(2)若8,C兩點關于y軸的對稱點為9，C,求四邊形3'EC戶面積的最大值.

22.己知函數〃x)=(e*-2)lnx.

⑴求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)當時，求證：/(x)2Jy+|+--2.

參考答案：

1.C

【分析】解不等式得集合8,直接根據交集運算即可.

【詳解】解：解不等式三得x<l或了25,則8={x|x<l或彳35},又4=何04尤44}

所以AC3={X|0WX<1}=［0,1).

故選：C.

2.A

【分析】根據純虛數的定義，結合充分性、必要性的定義進行判斷即可.

【詳解】因為(/_4)+(a-2)i(aeR)為純虛數，

a2-4=0

所以有=>a=—2,

a—2w0

因此“(4-4)+(a-2)i(aeR)為純虛數”是“a=殳”的充分不必要條件,

故選：A

3.A

【分析】利用角的變換，結合二倍角公式，化簡求值.

4.B

［分析］根據等差數列的性質以及等差數列的前幾項和公式求得正確答案.

(%

a_2aq+%

【詳解】55

b2b$b+bo-

5x9(4+d)?

Sq2x9+3217

由題意可得至=F-=^=正

故選：B

5.D

【分析】根據橢圓的定義可得，|PQ|+|P周=|PQHP閭+6,當尸，2工三點共線時，取值最大或最

小.

【詳解】根據橢圓的定義可得，歸耳|+|尸?=2。=6,則歸0+|尸耳|=|尸0-1尸閶+6,因為

-|。耳歸歸。|-|學閆。口，則當尸,。心三點共線時，取值最大或最小.

122

由己知得，a=3,c=a-b=4,c=2,2^（2,0）,\QF2\=yJ10.

圖1

如圖1,當尸點位于圖中4時，根據三角形三邊關系取值最大.

|PQ|+|P娟=|尸。一歸圖+6W|Q詞+6=亞+6.

圖2

如圖2,當尸點位于圖中鳥時，根據三角形三邊關系取值最大.

|PQ|+|P周=|尸尸段+62一依閶+6=一廂+6.

故答案為：［6-M,6+J記］

6.B

【分析】明確正八面體的結構特征，作出其示意圖，確定連接其各面中心構成的幾何體為正方體,

根據正方體的棱長，求得正方形"CD的對角線長，即可求得答案.

【詳解】如圖，正八面體由兩個正四棱錐尸-AB。,Q-A3C。組成，

正八面體所有棱長都相等，四邊形ABCD為正方形，

R

設E,尸分別為AB,BC的中點，分別為正八面體的各個面的中心（如圖），則由

題意知GmJ-MVCV為正方體,

連接PE,PF,EF,AC，則G,H分別在PE,PF上，

PH77

則拓=五=?故G"〃所,所，

3

由題意知正方體GHA/-KLAW的體積為1,則其棱長G〃=l,故所=5,

又分別為的中點，則AC=2砂=3,

故42=14。=述，即正八面體的棱長為述，

222

故選：B.

7.D

I分析】原式變形為2+聲x+丁3Y+Z，利用均值不等式可%得13y三+z二一「h又5，

進一步根據分式性質討論最值即可.

【詳解】由題意得，

3+4幻2=2+4+3W2—.2=2+2匡三=2+2院工小口

f

y+2zxy+2zx\y+2zxyy+2zJX+2當且

僅當^+等號成立，

y+2zx

又2+22+25=2+2亞,此時y=3z，'=3丁+7yz+2z?=50z2nx=5應2.

故選：D

8.B

【分析】構造函數Mx)=/(x)-g(x),求得網力的值域，由此化簡已知條件，通過列不等式來求

得〃的取值范圍，進而求得”的最大值.

【詳解】令M無)=/(x)-g(無)=--—ln?xe5，e

iii_

//(x)=3-L=Wr，所以在區間/zr(x)>O,/z(x)遞增;

XXX

在區間(l,e),〃(x)<O,/i(x)遞減.

=—e2-Ing=2—e2,/i(e)=———1,/?(1)=一],

所以M”的值域為[2-e2,-l].

原問等價于存在玉，X2,…，xn+l6-4，e,

e-

使得/i(x“+i)=M%)+M/)++/2(x“)，

由于Mz+Jep-e'-l],h(x1)+h(x2)++/z(x“)e[(2-e)7,f],

所以2-e?4-","<3-2,所以〃的最大值為5.

故選：B

【點睛】本題的突破口在于利用構造函數法，化簡已知等式，再結合導數求得所構造函數的值域,

從而問問題進行求解，導數起到的是工具性的作用.解題過程中，存在性問題的求解轉化為最值問

題來進行求解.

9.AD

【分析】利用特殊值排除B,利用圖象以及三角函數最小正周期的知識求得正確答案.

【詳解】A選項，y=Mnx|的圖象如下圖所示，由此可知y=Mnx|的最小正周期為兀.

lcos(2x+7i)|=g(x),

C選項，令g(x)=|cos2x|,T+i=|-COS2X|=|COS2X|

所以兀不是y=|cos2x|的最小正周期.

D選項，對于函數丁=cos|2x],當2%之0時，y=cos2%，

當2%<0時，y=cos(-2%)=cos2x,

所以y=cos|2x|=cos2x,其最小正周期為丁=耳=兀，D選項正確.

故選：AD

10.ABC

【分析】根據分層抽樣的知識求得各年級抽取的人數，由此判斷C選項的正確性；根據優秀率判

斷ABD選項的正確性.

【詳解】高三2040—800—600=640人，

高一,抽取5lx80°=20人；

2040

高二抽取51x舞=15人，C選項正確.

2040

高三抽取51x舞=16人.

2040

高一體質健康水平不優秀的人數為800x(1-45%)=440人；

高二體質健康水平不優秀的人數為600x(1-60%)=240人；

高三體質健康水平不優秀的人數為640x(1-50%)=320人.

所以體質健康水平不優秀的人數最多的年級段是高一段，A選項正確.

高一健康水平優秀的人數為800-440=360人；

高二健康水平優秀的人數為600-240=360人；

高三健康水平優秀的人數為640-320=320人.

所以體質健康水平優秀的人數最少的年級段是高三段，B選項正確.

估計該校學生體質健康水平的優秀率為出土呼戶=鬻=51。％,D選項錯誤

故選：ABC

11.ABCD

【分析】對選項逐一分析，通過對r進行取值，使得對任意的x>l,恒有，(元)T,cos2x,由此來

確定正確答案.

【詳解】A選項，〃x)=e"取r=0,貝悄x>l時,

|/(x)-z|=e%>e>l>cos2x,所以A選項正確.

B選項，/(x)=sinx,取f=-3,貝悄x>l時，

|/(x)-f|=|sinx+3|>2>l>cos2x,所以B選項正確.

c選項，y(x)=ig(x-i),取：=-方，貝|J當X>1時：

|f(x)-r|=lg(x-l)+^,

3兀>{3TL\37T3JC._

當x>—日寸，x—1>-----1>1,1g(%—1)H----->—>12cos2%,

44'/44

當型時，2<2%工里,cos2x〈0,所以lg(x-l)+型Ncos2x,

424

所以對任意的x>l,恒有|/(X)T|2COS2X,C選項正確.

D選項，/(x)=Vx^l,取f=-3,則當x>l時，

|/(x)-r|=5/^-l+3>3>l>cos2x,所以D選項正確.

故選：ABCD

12.BCD

【分析】根據圓的幾何性質、向量數量積運算、動點軌跡方程等知識對選項進行分析，從而確定正

確答案.

【詳解】圓C：(無一2)?+(y-3)?=4的圓心為。(2,3),半徑為2,

當A(l,3)滿足°一2)2+(3—3)2=1<4,所以A(L3)在圓C內，

所以，當4CLPQ時，|PQ|取得最小值，如下圖所示，

此時［4.=1,|尸。|=2疹幣=2百,所以A選項錯誤.

=2網丁回|2

設g是0Q的中點，尸。尸Q=PC(2P5)=2|尸硝網?cosNP

2

由于2/＜忖。［44,124|尸。］116,所以pc.pQ=H？Le［6,8］，B選項正確.

|CP『+|CQ2-|PQ「8-悶「

CPCQ=\CP\.網cosZPCQ=\CP\-|ce|?-------,

21cpi?2

2

由于12中2卜16,_8<8-|P2|<-4,所以CPCQ=8T：Q「目_4「2卜

所以CPCQ的最大值為-2,C選項正確.

OPOQ=(OB+BP^(OB+BQ^=(OB+BP)-(OB-BP)=1OB『一

=|OB|2-(22-|sc|2)=|OB|2+|BC|2-40,

設3(x,y),由|AB『+忸C『=|AC「得：

(x-l)2+(y-3)2+(尤-2)2+(y-3)2=l

整理得H+(y-3)2=]1,所以3點的軌跡是以由J為圓心，半徑為《的圓，

設2?^—+—cos0,3+—sin。J,04。<2%,

所以+W4-4=[|+(cosd[+[3+gsin6?j+[|+3cos6?-2)+[3+(sin6>-3)-4

廿

=3sin，+cos，+8=8+VI5sin(，+9),其中tan0=§1

所以CP?CQ=|03『+Wq2-4e[8-^,8+M],D選項正確.

故選：BCD

【點睛】本題的突破口在于化歸與轉化的數學思想方法，將所求的數量積轉化為已知條件來進行求

解.涉及動點的軌跡，可先利用動點滿足的幾何性質列方程，求得動點的軌跡方程，再由此轉化所

求，進而求得正確答案.

13.S，-1](0,1][27收)

【分析】分類討論x,化簡/[/(*)],結合范圍解不等式即可得答案.

【詳解】①當…時，/■[〃尤)]=/冉.因…時，(口>1>0,

則巾⑺上餐叱冉"o1o…1oxW4

②當X>。時，/[/(^)]=/(log3X).

⑴當x>l時，log3X>0.則/■[〃切210

log3(logsx)21olog3(logsx)>log33olog3x>3x>27.

⑵當0<xVl時，logjXWO.則/[f(%)]>1<=>

I-I210I-I2I-I°gx40o0<x41

綜上所述，xe(y,_l](0,1][27,+8).

故答案為：(3，―1](0,1][27,+s)

14.-88

【分析】利用換元法，結合二項式的通項公式進行求解即可.

【詳解】令x+l=rnx=f-l,

所以由x?(x—1)=q(x+l)+472(*+1)'++。6(%+1)+%，可得

(t-l)"(r—2)++//+%，

即(廣一21+1)(/—2)=6Z]?6+++&/+%,

4

二項式(/-2)的通項公式為Tr+1=C>L-(-27,

所以&=lxC：x(-2)3+(_2)xCjx(-2)2+lxC；x(-2)=-88,

故答案為：-88

【點睛】關鍵點睛：利用換元法，結合二項式的通項公式是解題的關鍵.

【分析】結合點到直線的距離公式以及雙曲線的范圍求得正確答案.

22__

【詳解】雙曲線C:二一二=1,。=也*=0,

32

雙曲線C的漸近線方程為舊土瓜=4,

設尸（m川是雙曲線上任意一點，帆>6,蘇>3,

22

貝_一ZL=1,2加2—3/=6,4加2—12=6".

32

由點到直線的距離公式得|.|+|球|=叵回產出，

兩邊平方得（|尸閭+|尸2）2_（鬲+耳）+2、病—31|+（鬲一四

4療+6儲+124/7?2+（W-12）+12824

=--------------=---------------------=—m2>——

5555

所以1pMi+1PN|2梓=3臺，即1PMl+1尸時的最小值為孥.

故答案為：孚

【分析】根據已知得到工與_c終點的軌跡，設出d利用圓的相關知識即可求得卜+q的范圍.

【詳解】由已知忖=忖=1,忸+。|=1,alb>設。=（%,%）

不妨設。=（1,0）,，=（0,1）,d=（x,y）

『-「川=1可得x：+（y,+1”1

又因為僅b+故（x，2+y?（l-x,—y）=-/+x—y2-2y>—

所以x?—x+/+2yW—“即g[+（y+l）2<1

所以g+d卜卜-卜4,易知，_c終點在以?（o,i）為圓心，3=1為半徑的圓上.

d終點在以Q（g，-1）為圓心，4=1為半徑的圓上.

p+j卜卜-卜4的取值范圍為）與_。終點距離的取值范圍

歷C歷C

故答案為:-------2,--+2

22

(2)分布列見解析，數學期望為U

【分析】(1)根據古典概型概率計算公式以及組合數的計算求得正確答案.

(2)根據古典概型概率計算公式以及組合數的計算得到分布列，然后計算數學期望即可.

【詳解】(1)恰有2名教師來自同一所學校的概率為:

C〔C；C；C；C；324_36

-495-55,

(2)J的可能取值是2,3,4,

2

尸(42)=

11

(32(^1(^136二占T.C；C；C；C；9

尸(4=3)=55，(-一d

55

所以分布列為：

自234

2369

P

115555

廠/cc2369164

所以石(J)=2x——i-3x——+4x——=----.

V711555555

■JT

18.(l)A=y

(2)1

【分析】(1)首先根據正弦定理，角化為邊，再結合余弦定理，求角；

(2)根據(1)可知。=干-2,代入后，利用三角恒等變形，化簡后根據自變量的范圍，求函數

的最大值.

【詳解】(1)由正弦定理得6c=^+c2-/

解得COSAM"+C?—/

2bc2

又0vAv%,

?3f

⑵C專一5

cosB+cosC=cosB+cos

[y/3]+

=cosB——cosB+sinB=—cosB+6sin3=sin[~

222~2

2萬)

?：Be\0,力

(71571

17T

故當B+J=1時，即8=9時，sin18+；nj取最大值1

o6

即cosB+cosC的最大值為1

19.(1)證明見解析

⑵需

【分析】(1)要證EB_LOE,只要證：平面AOER只要證可先證四邊形EF8C為

平行四邊形即可.

(2)先利用線面垂直證得尸D,FE,EB兩兩垂直，以F為原點建系，用空間向量求線面角正弦值.

【詳解】(1)證明:

?/EFHBC且EF=BC,所以四邊形EFBC為平行四邊形,

：.BF//EC,XAD//EF,AD±EC,

：.BFLEF

又平面平面BCEF,且平面ADEF、平面BCEF=EF

二出」平面AOEE

又。Eu平面ADER

：.FB1DE

TT

(2)連接肛FD,CD=2CB=4,ZBCD=-

在三角形BCD中，由余弦定理得

BD2^BC2+CD2-2BC-CDcosZBCD=2^+42-2x2x4cos60

，BD=2A/3

y.CD2=CB2+BD2,

：.BC.LBD

:BC_LBF,且BDBF=B,5￡>u平面BFD,班'u平面BED

；.BC_L平面BFD

'：EF//BC,

平面BFD

平面BFu平面

C.EFLDF,EF±BF

?/BFL平面ADEF,且￡>尸u平面ADEF

：.FD±FB,故FD,FE,兩兩垂直

如圖建系，FD=JBD。-FB?=J(2?-(20)2=2

A（0,2,-4）,2（2夜,0,0）,C（2A/2,0,2）,￡>（0,2,0）

DC=（2^,-2,2）,融=（0,2,T）,尸2=（2夜,0,0）

設平面42尸的法向量為平面"=（X,y,z）

n?FA-0

由得

n-FB=0

2y—4z=0

則［2瓜”取521），

設直線0c與平面A8F所成角e

n?DC_亞

sin0=|cos<n,DC>|同岡=而

故直線DC與平面ABF所成角的正弦值為叵

10

20?⑴“（J

?,9

(2)2^--

【分析】（1）結合％=S“-S"T，可證明｛4｝是等比數列，求解即可;

（2）乘公比錯位相減法求和可得T,，代入7；三m+加/，化簡可得2W-13+1］恒成立，結合單

調性求解即可.

【詳解】（1）,??2S〃+4=3,當〃=1可得2q+4=3n4=1,

2S〃+。〃=3

2S-(心2)"-%=。32),

=1(?^2),

an-iJ

即｛。”｝是以1為首項，q的等比數歹（J,

(2)??乜=("+2”“=(〃+2)

+(九+

+(n+l)x+(〃+2)

兩式相減:1=3+&+出+...+([-(〃+2)x

即存在〃wN*使2W_［耳+］］成立,

二?隨著幾增大,+在減小，

,當〃=1時，xw_（H]=_g.

（24

21.⑴尤2=8y

c、1280

5

【分析】（1）設3（%,必），C（x2,y2）,根據題意表示出拋物線方程和直線方程，聯立得到根與系數

的關系，根據弦長公式計算得到答案.

（2）聯立方程得到根與系數的關系，計算但目=殍.也0-產,計算點9，C到直線￡尸的距離

得到4+4=8萬二，得到面積解析式，構造函數，求導得到函數的單調區間，計算最大值得到答

案.

【詳解】（1）設3（下,M），C（x2,y2）,當點A為拋物線G焦點時，/：y=~x+^,

V=2py2%+%=3P

與拋物線C1聯立p,整理得y2-3py+—=0,-P2，

y=-x+L-4*%=彳

2

|BC|=%+勺%+￡=%+%+「=4,|BC|=16,p=4,

即拋物線G的方程為V=8y.

（2）設/：y=-x+t,與橢圓C2聯立《164,整理得5%2_2氏+/_16=0,

y=—x+t

直線與橢圓有兩個交點E,F,△=-16r+20xl6>0,r<20,又經0,故才￡（0,2君卜

2t

X3+%4=-----

設石（不，%），尸（尤4,%），有,2,^，

5

Af24

|EF|=A/2-|X-X|=A/2-^—一一

34J警k

r

B,C兩點關于y軸對稱點為？，C,即3'（-占,％）,C（-x2,y2）

設4,4分別為點8'，C'到直線跖的距離，

=2|（入2—%）一（%一%）|=擊|（入2一再）—

二2|2（々一玉）|二3一Xl|

y=