第八章立體幾何初步8.3簡單幾何體的表面積與體積1.閱讀課本，了解多面體的表面積的概念：棱柱、棱錐、棱臺的表面積的概念【解析】

多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和．思考1???棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側面展開圖是什么？如何計算它們的表面積？【解析】

棱柱的側面展開圖是幾個平行四邊形，棱錐的側面展開圖是幾個三角形，棱臺的側面展開圖是幾個梯形．它們的表面積是上、下底面面積與側面展開圖的面積的和．例1如圖，四面體P－ABC的各棱長均為a，求它的表面積．棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計算【解析】

因為△PBC是正三角形，其邊長為a，如圖，有一滾筒是正六棱柱形(底面是正六邊形，每個側面都是矩形)，兩端是封閉的，筒高1.6m，底面外接圓的半徑是0.46m，則制造這個滾筒需要________m2鐵板．(精確到0.1m2)跟蹤訓練【答案】

5.62.了解棱柱、棱錐、棱臺的體積(1)我們以前已經學習了特殊的棱柱——正方體、長方體的體積公式，它們分別是V正方體＝a3(a是正方體的棱長)，V長方體＝abc(a，b，c分別是長方體的長、寬、高)．一般地，如果棱柱的底面積是S，高是h，那么這個棱柱的體積V棱柱＝Sh.棱柱、棱錐、棱臺體積的概念(3)由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個棱錐的體積差，得到棱臺的體積公式其中S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高．注意：棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足(垂線與底面的交點)之間的距離．棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離．棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離．思考2???例2如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面ABCD是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米(精確到0.01m3)?棱柱、棱錐、棱臺體積的計算1.常見的求幾何體體積的方法：①公式法：直接代入公式求解；②等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可；③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．2.求幾何體體積時需注意的問題：柱、錐、臺的體積的計算，一般要找出相應的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計算．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1

的棱長為1，E為線段B1C上的一點，則三棱錐A－DED1

的體積為________.跟蹤訓練思考3???圓柱OO′及其側面展開圖如圖所示，則其側面積為多少？表面積為多少？圓柱、圓錐、圓臺的表面積【解析】

S圓柱側＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)．思考4???圓錐SO及其側面展開圖如圖所示，則其側面積為多少？表面積為多少？【解析】

S圓錐側＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)．思考5???圓臺OO′及其側面展開圖如圖所示，則其側面積為多少？表面積為多少？【解析】

S圓臺側＝

，S圓臺表＝

．名稱圖形表面積公式旋轉體圓柱S圓柱＝2πr(r＋l)圓錐S圓錐＝πr(r＋l)名稱圖形表面積公式旋轉體圓臺S圓臺＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)思考6???圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式之間有什么關系？你能用圓柱、圓錐、圓臺的結構特征來解釋這種關系嗎？例3若一個圓錐的軸截面是邊長為4cm的等邊三角形，則這個圓錐的側面積為________cm2，表面積為________cm2.【解析】

如圖，因為圓錐的軸截面是邊長為4cm的等邊三角形，所以OB＝2cm，PB＝4cm，所以圓錐的側面積S側＝π×2×4＝8π(cm2)，表面積S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．【答案】

8π

12π圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為10，則圓臺的表面積為(

)A.81π

B.100π C.168π D.169π【答案】

C跟蹤訓練1.圓柱、圓錐、圓臺的體積我們以前學習過圓柱、圓錐的體積公式，即由于圓臺是由圓錐截成的，因此可以利用圓錐的體積公式推導出圓臺的體積公式圓柱、圓錐、圓臺的體積思考7???圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間有什么關系？結合棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，你能將它們統一成柱體、錐體、臺體的體積公式嗎？柱體、錐體、臺體的體積公式之間又有怎樣的關系？V柱體＝Sh(S為底面積，h為柱體高)；當S′＝S時，臺體變為柱體，臺體的體積公式也就是柱體的體積公式；當S′＝0時，臺體變為錐體，臺體的體積公式也就是錐體的體積公式．V圓柱＝π×52×10≈785(mm3)，所以V螺帽＝3741－785＝2956(mm3)＝2.956(cm3)，故這堆毛坯約有260個．例4有一堆相同規格的六角螺帽毛坯共重6kg.已

知毛坯底面正六邊形的邊長是12mm，高是10mm，內

孔直徑是10mm.那么這堆毛坯約有多少個？(鐵的密度

是7.8g/cm3)用一張長

12cm，寬

8cm的矩形紙片圍成圓柱形的側面，求這個圓柱的體積．【解析】

設圓柱的底面半徑為R.當圓柱的高為8cm時，則2πR＝12，跟蹤訓練2.球的表面積公式：S＝4πR2(R為球的半徑)．例5如圖，某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球

的直徑是0.3m，圓柱高0.6m，如果在浮標表面涂一層防水漆，每

平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要多

少涂料？(π取3.14)球的表面積和體積【解析】

一個浮標的表面積為2π×0.15×0.6＋4π×0.152＝0.8478(m2)，所以給1000個這樣的浮標涂防水漆約需涂料0.8478×0.5×1000＝423.9(kg)．思考8???在小學，我們學習了圓的面積公式，你記得是如何求得的嗎？類比這種方法，你能由球的表面積公式推導出球的體積嗎？【解析】

類比利用圓周長求圓面積的方法，我們可以利用球的表面積求球的體積．如圖，把球O的表面分成n個小網格，連接球心O和每個小網格的頂點，整個球體就被分割成n個“小錐體”．3.球體截面的特點：球既是中心對稱的幾何體，又是軸對稱的幾何體，它的任何截面均為圓．例6如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比．【解析】

設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.利用球的表面積與體積公式去計算．平面α截球O的球面