8.3.3實際問題與二元一次方程組（3）教學設計一、內容和內容解析1.內容本節課是人教版《義務教育教科書?數學》七年級下冊（以下統稱“教材”）第八章“二元一次方程組”8.3.3實際問題與二元一次方程組（3），內容包括：利用二元一次方程組解決圖表信息、決策、商品等問題.2.內容解析實際問題與二元一次方程組選擇了三個具有一定綜合性的問題：“牛飼料問題”、“種植計劃問題”、“成本與產出問題”.使學生利用方程組為工具進行一定深度的思考，增加運用方程組解決實際問題的實踐.把全章強調的以方程組為工具，把實際問題模型化的思想提到新的高度.為切實提高利用方程組解決實際問題的能力，這節內容的問題形式包括：估算與精確計算的比較(探究1)，開放地尋求設計方案(探究2)，根據圖表所表示的實際問題的數據信息列方程組(探究3).安排這節的目的在于：一方面通過實際生活中的問題，進一步突出方程組這種數學模型應用的廣泛性和有效性；另一方面使學生能在解決實際問題的情境中運用所學數學知識，進一步提高分析問題和解決問題的綜合能力.基于以上分析，確定本節課的教學重點為：學會利用二元一次方程組解決圖表信息、決策、商品等問題.二、目標和目標解析1.目標(1)能夠根據具體的數量關系，列出二元一次方程組解決復雜的實際問題.(2)學會利用二元一次方程組解決圖表信息、決策、商品等問題.2.目標解析使學生能夠探索事物之間的數量關系，利用方程或方程組解決實際問題；通過問題探究，使學生進一步使用代數中的方程來反映現實世界的等量關系，體會代數方法的優越性；進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力，培養嚴謹縝密的科學習慣，繼續滲透轉化的數學思想；使學生能夠根據實際問題，尋找其中的相等關系，最終轉化為數學問題求解.三、教學問題診斷分析受閱讀能力，分析能力的制約；怎樣從實際問題中提取數學信息，并轉化為數學語言，對七年級的學生來說是個難點，本節課涉及的實際問題都有兩個未知數，含有兩個等量關系，列二元一次方程組，數量關系比一元問題復雜，需要學生更好地分析問題，抓住關鍵詞，發現等量關系，列方程組.“探究1”都沒有明確地未知數，“探究1”學生要理解需要計算來.檢驗“估計值，”進而明確要求的未知數.“探究2”要從“怎樣劃分”中來理解題意，選出適當的未知數.基于以上學情分析，確定本節課的教學難點為：能夠根據具體的數量關系，列出二元一次方程組解決復雜的實際問題.四、教學過程設計復習回顧用二元一次方程組解決實際問題的步驟：(1)審題：弄清題意和題目中的_________；(2)設元：用___________表示題目中的未知數；(3)列方程組：根據___個等量關系列出方程組；(4)解方程組：利用__________法或___________解出未知數的值；(5)檢驗并答：檢驗所求的解是否符合實際意義，然后作答.自學導航試一試一批貨物要運往某地，貨主準備租用汽車運輸公司的甲、乙兩種貨車，已知過去兩次租用這兩種貨車的情況如下表：甲種貨車(輛)乙種貨車(輛)總量(噸)第一次4528.5第二次3627問：甲、乙兩種貨車每輛各裝貨多少噸？解：設甲、乙兩種貨車每輛分別裝貨x噸、y噸，根據題意，列得方程組解這個方程組，得答：甲種貨車每輛裝貨4噸，乙種貨車每輛裝貨2.5噸.探究：如圖，長青化工廠與A、B兩地有公路、鐵路相連.這家工廠從A地購買一批每噸1000元的原料運回工廠，制成每噸8000元的產品運到B地.公路運價為1.5元/(t·km)，鐵路運價為1.2元/(t·km)，且這兩次運輸共支出公路運費15000元，鐵路運費97200元.這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？討論：(1)購進的原材料與制成的成品在質量上一樣重嗎？正常情況下生產都會有損耗或是殘渣，所以原材料與成品質量不一樣重.(2)運費的單位“元/(t·km)”的含義.運費=運價×數量(t)×里程數(km)(3)15000元的公路運費是如何算出來的？原料從A地運往工廠的公路運費+產品從工廠運往B地的公路運費=15000(4)97200元的鐵路運費是如何算出來的？原料從A地運往工廠的鐵路運費+產品從工廠運往B地的鐵路運費=97200分析：銷售款與產品數量有關，原料費與原料數量有關，而公路運費和鐵路運費與產品數量和原料數量都有關.因此設_______________________.產品xt原料yt合計公路運費/元鐵路運費/元價值/元解：設置成xt產品，購買yt原料.由上表，列得方程組解這個方程組，得銷售款(原料費+運輸費)=8000x(1000y+15000+97200)=1887800(元)答：這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多1887800元.典例解析考點1：圖表信息問題例1.請你根據圖中的對話信息，求中性筆和筆記本的單價.解：設中性筆和筆記本的單價分別是x元、y元.根據題意，得12y+20x=112解得x=2答：中性筆的單價是2元，筆記本的單價是6元.【遷移應用】1.某中學七年級(1)班40名同學為災區共捐款2000元，捐款情況如表所示：表格中捐款40元和50元的人數不小心被污漬污染已看不清楚，若設捐款40元的有x名同學，捐款50元的有y名同學，根據題意，可列方程組為()A.x+y=22

40x+50y=2000B.x+y=22

50x+40y=2000C.x+y=22

40x+50y=10002.小甘到文具超市去買文具.請你根據如圖中的對話信息，求中性筆和筆記本的單價分別是多少元.解：設中性筆和筆記本的單價分別是x元、y元.根據題意可得12y+20x=112解得x=2答：中性筆和筆記本的單價分別是2元、6元.3.某景點的門票價格如下表：某校八、九年級學生自愿報名游覽該景點，其中八年級的報名人數不超過50，九年級的報名人數超過50但不超過80.若兩個年級分別購票，總計支付門票費4914元；若合在一起作為一個團體購票，總計支付門票費4452元.八、九年級的報名人數各是多少？解：因為4452÷45=9814981415所以兩個年級人數之和超過99.設八年級的報名人數是x，九年級的報名人數是y.依題意，得48x+45y=4914解得x=48答：八年級的報名人數是48，九年級的報名人數是58.考點2：經濟生活問題例2.某服裝店用6000元購進A，B兩種服裝，按標價全部售出后可獲得利潤3800元，這兩種服裝的進價、標價如表所示.(1)求這兩種服裝各購進的件數；(2)如果A種服裝按標價的八折出售，B種服裝按標價的七折出售，那么這批服裝全部售完后，相比按標價出售，利潤減少多少元？解：(1)設A種服裝購進x件，B種服裝購進y件.由題意，得60x+100y=6000

解得x=50答：A種服裝購進50件，B種服裝購進30件.(2)由題意，得380050(100×0.860)30(160×0.7100)=3800I000360=2440(元).答：相比按標價出售，利潤減少2440元.【遷移應用】1.某商場為迎接店慶進行促銷，羊絨衫每件按標價的八折出售，每件賺70元，后因庫存太多，每件羊絨衫按標價的六折出售，每件虧損110元，則該商場每件羊絨衫的進價為______元，標價為______元.2.某工廠現向銀行申請了兩種貸款，共計35萬元，每年需付利息2.25萬元，甲種貸款每年的利率是7%，乙種貸款每年的利率是6%.若設甲、乙兩種貸款的數額分別為x萬元和y萬元，則x=_____，y=_____.3.某商場按標價銷售某種商品時，每件可獲利40元；按標價的八折銷售該商品5件與將標價降低30元銷售該商品3件所獲得的利潤相等.求該商品每件的進價和標價.解：設該商品每件的進價為x元，標價為y元.根據題意，得y?x=40

解得x=130答：該商品每件的進價和標價分別是130元、170元.4.在某體育用品商店購買50根跳繩和80個毽子共需1120元，購買30根跳繩和50個毽子共需680元.(1)跳繩、毽子的單價各是多少元？(2)在“元旦”期間，該店開展促銷活動，所有商品按同樣的折扣打折銷售，若購買100根跳繩和100個毽子只需1700元，則該店的商品按原價的幾折進行銷售？解：(1)設跳繩的單價為x元，毽子的單價為y元.依題意，得50x+80y=1120解得x=16答：跳繩的單價為16元，毽子的單價為4元.(2)設該店的商品按原價的m折進行銷售.依題意，得16×m10×100+4×解得m=8.5.答：該店的商品按原價的八五折進行銷售.考點3：利用二元一次方程組進行決策例3.某生態柑橘園現有柑橘21噸，計劃租用A、B兩種型號的貨車將柑橘運往外地銷售.已知滿載時，用3輛A型車和2輛B型車一次可運柑橘13噸；用4輛A型車和3輛B型車一次可運柑橘18噸.(1)1輛A型車和1輛B型車滿載時，一次分別運柑橘多少噸？(2)若計劃租用A型貨車m輛，B型貨車n輛，一次運完全部柑橘，且每輛車均為滿載，請幫柑橘園設計租車方案.(1)解：設滿載時1輛A型車一次可運柑橘x噸，1輛B型車一次可運柑橘y噸.依題意，得3x+2y=134x+3y=18解得x=3答：1輛A型車滿載時一次可運柑橘3噸，1輛B型車滿載時一次可運柑橘2噸.(2)解：依題意，得3m+2n=21，∴m=723n又∵m，n均為非負整數，∴m=1n=9或m=3n=6或m=5答：共有4種租車方案.方案1：租用1輛A型車，9輛B型車；方案2：租用3輛A型車，6輛B型車；方案3：租用5輛A型車，3輛B型車；方案4：只租用7輛A型車.【遷移應用】1.某中學組織一批學生開展社會實踐活動，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數量的60座客車，則多出一輛車，且其余客車恰好坐滿，已知45座客車租金為每輛220元，60座客車租金為每輛300元.(1)這批學生的人數是多少？原計劃租用45座客車多少輛？(2)若租用同一種客車，要使每位學生都有座位，應該怎樣租用才合算？(1)解：設這批學生的人數是x，原計劃租用45座客車y輛.根據題意，得45y+15=x解得x=240答：這批學生的人數為240，原計劃租用45座客車5輛.(2)解：租45座客車：240÷45≈5.3(輛)，所以需租6輛，租金為220×6=1320(元)；租60座客車：240÷60=4(輛)，所以需租4輛，租金為300×4=1200(元).因為1200<1320，所以租用4輛60座客車才合算.答：租用4輛60座客車才合算.2.媽媽去超市買牙刷和牙膏，已知購買4支牙刷和2盒牙膏需付68元；購買10支牙刷和7盒牙膏需付210元.(1)求牙刷和牙膏的單價；(2)正好趕上甲、乙兩個超市打折優惠，兩個超市的每個物品的原價均相同.甲超市：牙刷打九折，