高三數(shù)學(xué)考試（考試時(shí)間：120分鐘，試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（）A． B．1 C． D．i2．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．3．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則（）A． B．1 C． D．24．高二年級(jí)進(jìn)行消防知識(shí)競(jìng)賽，統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績(jī)，成績(jī)都在內(nèi)，估計(jì)所有參賽同學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為（）A．65 B．75 C．85 D．955．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（）A．e B．1 C． D．6．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（）A． B． C． D．7．如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓上異于的點(diǎn)滿足，，，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．甲、乙等6人去三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人游覽，若甲、乙兩人不去同一景區(qū)游覽，則不同的游覽方法的種數(shù)為（）A．342 B．390 C．402 D．462二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)，則（）A．B．C．在上單調(diào)遞減D．的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱10．在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，將以直線為軸順時(shí)針轉(zhuǎn)一周圍成一個(gè)圓錐，為底面圓上一點(diǎn)，滿足，則（）A．B．在上的投影向量是C．直線與直線所成角的余弦值為D．直線與平面所成角的正弦值為11．已知非常數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（）A． B．或C．是上的增函數(shù) D．是上的增函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，若，則_______．13．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若成等比數(shù)列，且，則_______，_______．14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點(diǎn)，已知，則雙曲線的漸近線方程為_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，且，求的前項(xiàng)和．16．（15分）如圖，在直三棱柱中，已知．（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面．（2）若，且，求平面與平面夾角的余弦值．17．（15分）為建設(shè)“書香校園”，學(xué)校圖書館對(duì)所有學(xué)生開放圖書借閱，可借閱的圖書分為“期刊雜志”與“文獻(xiàn)書籍”兩類．已知該校小明同學(xué)的圖書借閱規(guī)律如下：第一次隨機(jī)選擇一類圖書借閱，若前一次選擇借閱“期刊雜志”，則下次也選擇借閱“期刊雜志”的概率為，若前一次選擇借閱“文獻(xiàn)書籍”，則下次選擇借閱“期刊雜志”的概率為．（1）設(shè)小明同學(xué)在兩次借閱過程中借閱“期刊雜志”的次數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若小明同學(xué)第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”，試分析他第一次借哪類圖書的可能性更大，并說明理由．18．（17分）已知是拋物線上任意一點(diǎn)，且到的焦點(diǎn)的最短距離為．直線與交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限．（1）求拋物線的方程．（2）證明：（3）設(shè)的面積分別為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求．19．（17分）已知函數(shù)．（1）判斷的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

高三數(shù)學(xué)考試參考答案1．C【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．．2．D【解析】本題考查集合的基本運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)椋裕?，所以?．B【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則，由，得，解得．4．C【解析】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)?，所以．參賽成?jī)位于內(nèi)的頻率為，第75百分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，解得，即第75百分位數(shù)為85，所以C正確．5．D【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故．6．A【解析】本題考查四棱錐的體積公式、內(nèi)切球的表面積公式，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．設(shè)內(nèi)切球的半徑為的中點(diǎn)為，易知，則由等體積法可得，解得，所以．7．A【解析】本題考查橢圓的性質(zhì)以及向量的數(shù)量積與模，考查直觀想象的核心素養(yǎng)．連接（圖略），依題意可得，所以，所以，所以，所以，則的坐標(biāo)為，所以，即，可得，化簡(jiǎn)得，解得，即．8．B【解析】本題考查用排列組合解決實(shí)際問題，考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)和應(yīng)用意識(shí)．去三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人去游覽，則三個(gè)景區(qū)的人數(shù)有3種情況：①1，1，4型，則不同種數(shù)為；②1，2，3型，則不同種數(shù)為；③2，2，2型，則不同種數(shù)為．所以共有種．9．BCD【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為，所以．因?yàn)?，所以，即．?duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，顯然是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，D正確．10．ABD【解析】本題考查平面圖形旋轉(zhuǎn)組成幾何體中的相關(guān)知識(shí)，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．旋轉(zhuǎn)一周后所得圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，半徑，所以所對(duì)的圓心角為，A正確．易知B正確．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，所以，C錯(cuò)誤．設(shè)平面的法向量為，則令，則．設(shè)直線與平面所成的角為，則，D正確．11．AC【解析】本題考查抽象函數(shù)，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng)．在中，令，得，即．因?yàn)楹瘮?shù)為非常數(shù)函數(shù)，所以，A正確．令，則．令，則，①令，則，②由①②，解得，從而，B錯(cuò)誤．令，則，即，因?yàn)椋?，所以C正確，D錯(cuò)誤．12．【解析】本題考查平面向量的垂直，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)椋?，解得?3．；【解析】本題考查解三角形的知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)?，所以．又，可得，所以．因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，從而．14．【解析】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．由，可設(shè)，因?yàn)?，所以，在中，，由余弦定理得，化?jiǎn)得，所以，解得，則雙曲線的漸近線方程為．15．解：（1）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得．又是等差數(shù)列，，所以公差，故．（2）由，得，所以．當(dāng)時(shí)，．又，上式也成立，所以．所以．評(píng)分細(xì)則：【1】第一問，寫出，得2分，求出，累計(jì)得4分，求出，累計(jì)得5分．【2】第二問，求出，累計(jì)得7分，求出，累計(jì)得11分，直到給出正確結(jié)論得13分．16．（1）證明：當(dāng)時(shí)，連接，交于點(diǎn)，連接，可知是的中位線，所以．又平面平面，所以平面．（2）解：易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，．．設(shè)平面的法向量為，則令，得．易知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則．評(píng)分細(xì)則：【1】第一問中，判斷是的中位線，得2分，證出，累計(jì)得4分，證出平面，累計(jì)得5分．【2】第二問中，正確建立空間直角坐標(biāo)系，累計(jì)得7分，寫出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，累計(jì)得8分，計(jì)算出所求平面的法向量，累計(jì)得13分，直至正確求出平面與平面的夾角的余弦值，累計(jì)得15分．17．解：設(shè)表示第次借閱“期刊雜志”，表示第次借閱“文獻(xiàn)書籍”，，則．（1）依題意，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2．，，．隨機(jī)變量的分布列為012所以．（2）若小明第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”，則他第一次借閱“期刊雜志”的可能性更大．理由如下：．（1）若第一次借閱“期刊雜志”，則．（2）若第一次借閱“文獻(xiàn)書籍”，則．因?yàn)?，所以小明第一次選擇借閱“期刊雜志”的可能性更大．評(píng)分細(xì)則：【1】給相應(yīng)事件命名，得1分，寫出已知事件的概率，累計(jì)得2分．【2】第一問，求出，累計(jì)得3分，求出，累計(jì)得5分，求出，累計(jì)得6分，寫出隨機(jī)變量的分布列，累計(jì)得7分，求出，累計(jì)得8分．【3】第二問，求出，累計(jì)得10分，求出，累計(jì)得12分，求出，累計(jì)得14分，直到給出正確結(jié)論得15分．18．（1）解：設(shè)，易知，準(zhǔn)線方程為．所以．當(dāng)時(shí)，取得最小值，由，解得．所以拋物線的方程為．（2）證明：設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率顯然不為0，所以設(shè)直線的方程為．聯(lián)立消去得，所以．所以．同理可得，所以．（3）解：因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，所以，即．所以．由?）知，所以，故．所以，即，化簡(jiǎn)得，解得或．若，則，這與矛盾．所以，所以．評(píng)分細(xì)則：【1】第一問，寫出，得3分，求出，累計(jì)得5分，求出的方程，累計(jì)得6分．【2】第二問，寫出直線的方程為，累計(jì)得7分，根據(jù)韋達(dá)定理寫出，，累計(jì)得8分，求出，累計(jì)得9分，直到證出，累計(jì)得11分．【3】第三問，寫出，累計(jì)得12分，寫出，累計(jì)得13分，寫出，累計(jì)得14分，求出或，累計(jì)得15分，直至求出，累計(jì)得17分．【4】第二問，直線的方程也可以設(shè)為，參照上述步驟給分．19．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．（2）且的零點(diǎn)等價(jià)于且的零點(diǎn)．．令，易知，因?yàn)?，所以存在，使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上不存在零點(diǎn)．取，則，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為．又，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?/p>