第1頁（共1頁）2024年廣東省深圳市南山區育才教育集團中考數學一模試卷一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確的選項用2B鉛筆填涂在答題卡上）1．（3分）實數P在數軸上對應的點如圖所示，下列各數中比實數P小的是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2．（3分）積木有助于開發智力，有利于數學概念的早期培養．某積木配件如圖所示，則它的左視圖為（）A． B． C． D．3．（3分）人才是深圳城市發展的重要基因，深圳人才公園是全國第一個人才主題公園，占地面積約770000平方米．數據770000用科學記數法表示為（）A．0.77×104 B．7.7×105 C．77×103 D．7.7×1064．（3分）在項目化學習中，“水是生命之源”項目組為了解本地區人均淡水消耗量，需要從四名同學（兩名男生，兩名女生），組成調查小組進行社會調查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（）A． B． C． D．5．（3分）下列運算正確的是（）A．5a﹣2a＝3a2 B．a2?a3＝a6 C．（b+1）2＝b2+1 D．（﹣2a）3＝﹣8a36．（3分）如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心O的光線相交于點P，∠2＝30°，則∠3的度數為（）A．45° B．50° C．55° D．60°7．（3分）榫卯是古代中國建筑、家具及其他器械的主要結構方式．如圖，在某燕尾榫中，榫槽的橫截面ABCD是梯形，AB＝DC，燕尾角∠B＝α，榫槽深度是b，則它的里口寬BC為（）A．+a B．+a C．btanα+a D．2btanα+a8．（3分）明代《算法纂要》書中有一題：“牧童分杏各爭競，不知人數不知杏．三人五個多十枚，四人八枚兩個剩．問有幾個牧童幾個杏？”題目大意是：牧童們要分一堆杏，每組5個杏，則多10個杏．若4人一組，則多2個杏．有多少個牧童，多少個杏？設共有x個牧童（）A．3×5x+10＝4×8x+2 B． C． D．9．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，點E在BC邊上，連接EA，點E的對應點為點F，連接CF（）A． B． C． D．10．（3分）已知二次函數y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）經過點（﹣1，m）、（1，n）和（3，p），若在m，n，只有一個是正數，則a的取值范圍為（）A． B．a＜﹣1 C．﹣＜a＜0 D．﹣1≤a＜0二、填空題（本題有5小題，每題3分，共15分，把答案填在答題卡上）11．（3分）因式分解2a2﹣4a+2＝．12．（3分）“每天一節體育課”成深圳中小學生標配，某校九年級三班隨機抽取了10名男生進行引體向上測試，他們的成績（單位：個），11，10，6，14，11，11，9．則這組數據的中位數為．13．（3分）如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，且點D在上，∠BCD＝30°，則．14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，等腰△ABC的底邊BC在x軸的正半軸上（x＞0）的圖象上，延長AB交y軸于點D，△BOD的面積為，則k的值為．15．（3分）如圖，在正方形ABCD的對角線AC上取一點E，使得AE＝2CE，將△BCE沿BE翻折得到△BFE，連接DF．若BC＝4．三、解答題（本題共7小題，共55分）16．（5分）計算：．17．（7分）先化簡，再從不等式組﹣1≤x＜3中選擇一個適當的整數，代入求值．18．（8分）科學教育是提升國家科技競爭力、培養創新人才、提高全民科學素質的重要基礎，某學校計劃在八年級開設“人工智能”“無人機”“創客”“航模”四門校本課程，要求每人必須參加，為了解學生對這四門課程的選擇情況，學校從八年級全體學生中隨機抽取部分學生進行問卷調查（部分信息未給出）．請你根據以上信息解決下列問題：（1）參加問卷調查的學生人數為50名，補全條形統計圖（畫圖并標注相應數據）；（2）在扇形統計圖中，選擇“創客”課程的學生占%，所對應的圓心角度數為；（3）若該校八年級一共有1000名學生，試估計選擇“航模”課程的學生有多少名？19．（8分）某社區采購春節慰問禮品，購買了甲、乙兩種類型的糧油套裝．甲種糧油套裝單價比乙種糧油套裝單價多30元，用1200元購買甲種糧油套裝和用900元購買乙種糧油套裝的數量相同．（1）求甲、乙兩種糧油套裝的單價分別是多少元？（2）社區準備再次購買甲種和乙種糧油套裝共40件，購買乙種糧油套裝不超過甲種糧油套裝的3倍，且商家給出了兩種糧油套裝均打八折的優惠．問購買甲種和乙種糧油套裝各多少件時花費最少？最少花費是多少元？20．（8分）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點D、E（1）下列條件：①D是AC邊的中點；②D是的中點；③BA＝BC．請從中選擇一個能證明直線HG是⊙O的切線的條件，并寫出證明過程；（2）若直線HG是⊙O的切線，且HA＝2，HD＝421．（9分）科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機測量小鋼球豎直向上運動的相關數據．在地面用彈射器（高度不計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽略空氣阻力）（米）與其運動時間t（秒）的幾組數據如表：運動時間t（秒）0123456…高地面高度h（米）0356075807560…（1）在如圖平面直角坐標系中，描出表中各組對應值為坐標的點，并用平滑的曲線連接，小鋼球離地面高度h（米）與其運動時間t（秒），請求出h關于t的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）．（2）在彈射小鋼球的同一時刻，無人機開始保持勻速豎直上升，無人機離地面高度h（米）（秒）之間的函數關系式為h1＝5t+30．①在小鋼球運動過程中，當無人機高度不大于小鋼球高度時，無人機可以采集到某項相關性能數據秒；②彈射器間隔3秒彈射第二枚小鋼球，其飛行路徑視為同一條拋物線．當兩枚小鋼球處于同一高度時，求此時無人機離地面的高度．22．（10分）如圖1，菱形ABCD中，∠B＝α，E是邊BC上一動點（不與點B，C重合），連接DE，連結AC′并延長交直線DE于點P，F是AC的中點，DF．（1）填空：DC′＝，∠APD＝（用含α的代數式表示）；（2）如圖2，當α＝90°，題干中其余條件均不變AF．（3）在（2）的條件下，連接AC．①若動點E運動到邊BC的中點處時，△ACC′的面積為．②在動點E的整個運動過程中，△ACC′面積的最大值為．

2024年廣東省深圳市南山區育才教育集團中考數學一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確的選項用2B鉛筆填涂在答題卡上）1．（3分）實數P在數軸上對應的點如圖所示，下列各數中比實數P小的是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．【解答】解：觀察數軸可知：﹣2＜P＜﹣1，∵正數＞負數＞3，∴﹣3＜﹣2＜﹣2＜0＜，∴這幾個實數比P小的數是﹣7，故選：A．2．（3分）積木有助于開發智力，有利于數學概念的早期培養．某積木配件如圖所示，則它的左視圖為（）A． B． C． D．【解答】解：觀察圖形，從左面看到的圖形．故選：C．3．（3分）人才是深圳城市發展的重要基因，深圳人才公園是全國第一個人才主題公園，占地面積約770000平方米．數據770000用科學記數法表示為（）A．0.77×104 B．7.7×105 C．77×103 D．7.7×106【解答】解：770000＝7.7×102，故選：B．4．（3分）在項目化學習中，“水是生命之源”項目組為了解本地區人均淡水消耗量，需要從四名同學（兩名男生，兩名女生），組成調查小組進行社會調查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，其中一名男生和一名女生的結果數為8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．故選：D．5．（3分）下列運算正確的是（）A．5a﹣2a＝3a2 B．a2?a3＝a6 C．（b+1）2＝b2+1 D．（﹣2a）3＝﹣8a3【解答】解：5a﹣2a＝8a，則A不符合題意；a2?a3＝a3，則B不符合題意；（b+1）2＝b8+2b+1，則C不符合題意；（﹣3a）3＝﹣8a3，則D符合題意；故選：D．6．（3分）如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心O的光線相交于點P，∠2＝30°，則∠3的度數為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【解答】解：∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠8＝30°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．故選：C．7．（3分）榫卯是古代中國建筑、家具及其他器械的主要結構方式．如圖，在某燕尾榫中，榫槽的橫截面ABCD是梯形，AB＝DC，燕尾角∠B＝α，榫槽深度是b，則它的里口寬BC為（）A．+a B．+a C．btanα+a D．2btanα+a【解答】解：過點A，D分別作BC的垂線段、F，如圖，在Rt△AEB中，BE＝＝，在Rt△DFC，CF＝＝，∵AE//DF，AE＝DF，∴四邊形AEFD是長方形，∴EF＝AD＝a，∴BC＝BE+EF+FC＝+a+＝，故選：B．8．（3分）明代《算法纂要》書中有一題：“牧童分杏各爭競，不知人數不知杏．三人五個多十枚，四人八枚兩個剩．問有幾個牧童幾個杏？”題目大意是：牧童們要分一堆杏，每組5個杏，則多10個杏．若4人一組，則多2個杏．有多少個牧童，多少個杏？設共有x個牧童（）A．3×5x+10＝4×8x+2 B． C． D．【解答】解：由題意可得，×5+10＝×8+2，故選：C．9．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，點E在BC邊上，連接EA，點E的對應點為點F，連接CF（）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，因為AB＝4，BC＝8，則52+（8﹣AE）4＝AE2，解得AE＝5，所以BE＝5﹣5＝3．過點F作BC的垂線，垂足為N，因為AF由AE繞點A逆時針旋轉90°得到，所以AF＝AE，∠FAE＝90°，所以∠BAE+∠EAM＝∠EAM+∠FAM＝90°，所以∠BAE＝∠MAF．在△FAM和△EAB中，，所以△FAM≌△EAB（AAS），所以AM＝AB＝4，FM＝BE＝3．則FN＝3+2＝7，NC＝8﹣5＝4．在Rt△FNC中，CF＝．分別過點E，F作AC的垂線，P，所以∠FAP+∠QAE＝∠FAP+∠AFP＝90°，所以∠QAE＝∠AFP．在△FAP和△AEQ中，，所以△FAP≌△AEQ（AAS），所以PF＝AQ．因為EA＝EC，EQ⊥AC，所以AQ＝，所以PF＝．在Rt△FPC中，PC＝，所以cos∠ACF＝．故選：D．10．（3分）已知二次函數y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）經過點（﹣1，m）、（1，n）和（3，p），若在m，n，只有一個是正數，則a的取值范圍為（）A． B．a＜﹣1 C．﹣＜a＜0 D．﹣1≤a＜0【解答】解：因為拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝5，又因為1﹣（﹣1）＝3﹣1，所以點（﹣1，m）和點（5，則m＝p．又因為m，n，p這三個實數中，所以m和p都是非正數，n是正數，則，解得a．故選：A．二、填空題（本題有5小題，每題3分，共15分，把答案填在答題卡上）11．（3分）因式分解2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2．【解答】解：2a2﹣7a+2＝2（a2﹣2a+1）＝8（a﹣1）2，故答案為：6（a﹣1）2．12．（3分）“每天一節體育課”成深圳中小學生標配，某校九年級三班隨機抽取了10名男生進行引體向上測試，他們的成績（單位：個），11，10，6，14，11，11，9．則這組數據的中位數為10.5．【解答】解：把這組數據從小到大排列為：6，7，2，10，11，11，14，則中位數是＝10.5；故答案為：10.2．13．（3分）如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，且點D在上，∠BCD＝30°，則．【解答】解：如圖，圓心為O，OB，OD．∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴∠AOD＝90°﹣60°＝30°，則的長為＝故答案為：．14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，等腰△ABC的底邊BC在x軸的正半軸上（x＞0）的圖象上，延長AB交y軸于點D，△BOD的面積為，則k的值為5．【解答】解：過點A作AE⊥BC于E，如下圖所示：∵等腰△ABC的底邊BC在x軸的正半軸上，∴BE＝CE＝BC，設OB＝a，OD＝b，∵△BOD的面積為，∴OB?OD＝，∴OB?OD＝，即ab＝，∵OC＝4OB＝4a，∴BC＝OC﹣OB＝6a，∴BE＝BC＝，∴OE＝＝，∵∠DOB＝90°，AE⊥BC，∴OD∥AE，∴△BOD∽△BEA，∴OB：BE＝OD：AE，即，∴AE＝，∴點A的坐標為A，∵點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，∴，又∵ab＝4/2，∴．故答案為：5．15．（3分）如圖，在正方形ABCD的對角線AC上取一點E，使得AE＝2CE，將△BCE沿BE翻折得到△BFE，連接DF．若BC＝4．【解答】解：如圖，延長BE交CD于點G、CF，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥CD，∴△CEG∽△AEB，∴＝，∴CG＝，即點G為CD的中點，∴CG＝DG，根據折疊的性質可得，BC＝BF，∴∠BFC＝∠BCF，CG＝DG＝FG，∴FG＝，∠GFD＝∠GDF，∴∠CFD＝90°，∵∠FCG+∠BCF＝90°，∠FCG+∠GDF＝90°，∴∠BCF＝∠BFC＝∠GDF＝∠GFD，∴△BCF∽△GDF，∴，∴CF＝2DF，在Rt△CDF中，DF6+CF2＝CD2，∴DF2+（2DF）2＝42，解得：DF＝．故答案為：．三、解答題（本題共7小題，共55分）16．（5分）計算：．【解答】解：原式＝＝．17．（7分）先化簡，再從不等式組﹣1≤x＜3中選擇一個適當的整數，代入求值．【解答】解：原式＝（+）?＝?＝，由題意得：x﹣1≠5，x﹣2≠0，∴x≠4和2，在﹣1≤x＜6中，x的整數解為﹣1，0，2，2，當x＝0時，原式＝﹣7，當x＝﹣1時，原式＝．18．（8分）科學教育是提升國家科技競爭力、培養創新人才、提高全民科學素質的重要基礎，某學校計劃在八年級開設“人工智能”“無人機”“創客”“航模”四門校本課程，要求每人必須參加，為了解學生對這四門課程的選擇情況，學校從八年級全體學生中隨機抽取部分學生進行問卷調查（部分信息未給出）．請你根據以上信息解決下列問題：（1）參加問卷調查的學生人數為50名，補全條形統計圖（畫圖并標注相應數據）；（2）在扇形統計圖中，選擇“創客”課程的學生占40%，所對應的圓心角度數為144°；（3）若該校八年級一共有1000名學生，試估計選擇“航模”課程的學生有多少名？【解答】解：（1）由題知，因為參加問卷調查的學生人數為50名，所以50﹣（15+10+5）＝20（名），即參加人工智能的學生人數為20名．條形統計圖，如圖所示，（2）因為20÷50＝40%，所以選擇“創客”課程的學生占40%．因為40%×360°＝144°，所以扇形統計圖中選擇“創客”課程的學生部分所對的圓心角的度數為144°．故答案為：40，144°．（3）（名），答：估計選擇“航模”課程的學生有100名．19．（8分）某社區采購春節慰問禮品，購買了甲、乙兩種類型的糧油套裝．甲種糧油套裝單價比乙種糧油套裝單價多30元，用1200元購買甲種糧油套裝和用900元購買乙種糧油套裝的數量相同．（1）求甲、乙兩種糧油套裝的單價分別是多少元？（2）社區準備再次購買甲種和乙種糧油套裝共40件，購買乙種糧油套裝不超過甲種糧油套裝的3倍，且商家給出了兩種糧油套裝均打八折的優惠．問購買甲種和乙種糧油套裝各多少件時花費最少？最少花費是多少元？【解答】解：（1）設甲種糧油套裝的單價為x元，則乙種糧油套裝的單價為（x﹣30）元，根據題直：，解得：x＝120，經檢驗，x＝120是原方程的根，∴x﹣30＝90，答：甲、乙兩種糧油套裝的單價分別是120元和90元；（2）設購買甲種糧油套裝m件，購買乙種糧油套裝（40﹣m）件，由題意得：40﹣m≤3m，解得：m≥10，w＝120×0.7m+90×0.8（40﹣m）＝24m+2880，∵24＞6，∴w隨m的減小而減小．當m＝10時，w取得最小值3120，∴40﹣m＝30，答：購買甲種糧油套裝10件和乙種糧油套裝30件時花費最少，最少花費是3120元．20．（8分）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點D、E（1）下列條件：①D是AC邊的中點；②D是的中點；③BA＝BC．請從中選擇一個能證明直線HG是⊙O的切線的條件，并寫出證明過程；（2）若直線HG是⊙O的切線，且HA＝2，HD＝4【解答】解：（1）選擇條件為：①D是AC邊的中點；證明：連接OD，∵D是AC邊的中點，∴AD＝DC，∵AO＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，OD＝，∵DG⊥BC，∴OD⊥HG，∵OD是⊙O的半徑，∴直線HG是⊙O的切線；（2）解：設OA＝OD＝r，則OH＝r+3，在Rt△HOD中，∠ODH＝90°2+DH2＝OH2，∴r2+47＝（r+2）2，解得：r＝6，∴OA＝OD＝3，OH＝5，∴BH＝4，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝∠OAD，∴BC＝BA＝6，∵OD∥BC，∴△HOD∽△HBG，∴＝，∴＝，∴BG＝，∴CG＝7﹣＝．21．（9分）科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機測量小鋼球豎直向上運動的相關數據．在地面用彈射器（高度不計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽略空氣阻力）（米）與其運動時間t（秒）的幾組數據如表：運動時間t（秒）0123456…高地面高度h（米）0356075807560…（1）在如圖平面直角坐標系中，描出表中各組對應值為坐標的點，并用平滑的曲線連接，小鋼球離地面高度h（米）與其運動時間t（秒），請求出h關于t的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）．（2）在彈射小鋼球的同一時刻，無人機開始保持勻速豎直上升，無人機離地面高度h（米）（秒）之間的函數關系式為h1＝5t+30．①在小鋼球運動過程中，當無人機高度不大于小鋼球高度時，無人機可以采集到某項相關性能數據5秒；②彈射器間隔3秒彈射第二枚小鋼球，其飛行路徑視為同一條拋物線．當兩枚小鋼球處于同一高度時，求此時無人機離地面的高度．【解答】解：（1）畫函數圖象，由函數圖象可知，設h＝at2+b，將（1，35），60）分別代入h＝at6+b中，∴h關于t的函數關系式為：h＝﹣5t2+40t；（2）①由題意得：8t+30≤﹣5t2+40t，解得6≤t≤6，故所求時長為6﹣8＝5秒，故答案為：5．②∵彈射小鋼球的飛行路徑為同一條拋物線h＝﹣5t2+40t＝﹣5（t﹣6）2+80，∴第二枚小鋼球的函數表達式為：h＝﹣5（t﹣8﹣3）2+80，當兩枚小鋼球處于同一高度時，即﹣8（t﹣4）2+80＝﹣8（t﹣4﹣3）2+80，解得，將代入h8＝5t+30中，得h1＝57.5米．故此時無人機離地面的高度為57.5米．22．（10分）如圖1，菱形ABCD中，∠B＝α，E是邊BC上一動點（不與點B，C重合），連接DE，連結AC′并延長交直線DE于點P，F是AC的中點，DF．（1）填空：DC′＝2，∠APD＝90°﹣（用含α的代數式表示）；（2）如圖2，當α＝90°，題干中其余條