第四章幾何圖形初步4.3.3余角和補角學習目標1.了解余角、補角的概念．2.掌握余角和補角的性質，能運用余角與補角的性質解決一些簡單的實際問題．3.通過余角、補角性質的推導和應用，初步掌握圖形語言與符號語言之間的相互轉化．4.方位角的定義與應用．如圖所示，打臺球時，選擇適當的方向用白球擊打紅球，反彈后的紅球會直接入袋，此時∠1=∠2，其中∠FDC=90o，那么各個角與∠1有什么關系？問題情境

有的角與∠1的和等于90o，例如（

）；∠ADC

有的角與∠1的和等于180o，例如（）．∠ADFACBEDF12問題情境

在一副三角尺中，每塊都有一個角是90°，而其他兩個角的和是多少呢？30°＋60°＝90°，45°＋45°＝90°.

如果兩個角的和等于90o（直角），就說這兩個角互為余角，即其中每一個角是另一個角的余角.

即：若∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.探究新知余角的定義補角定義

如果兩個角的和等于180o（平角），就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角.

即：若∠3＋∠4＝180°，那么∠3是∠4的補角，∠4也是∠3的補角.定義中的“互為”是什么意思？即每一個角都是另一個角的余角（補角）．探究新知∠1與∠2，∠3都互為補角，∠2和∠3的大小有什么關系？探究余角和補角的性質

因為∠1與∠2和∠3都互為補角，所以∠2＝180o－∠1，∠3＝180o－∠1．

所以∠2＝∠3.探究新知42

已知∠1與∠2互補，∠3與∠4互補．若∠1＝∠3，那么∠2和∠4相等嗎？為什么？由∠1與∠2互補，得∠1＋∠2＝180o，所以∠2＝180o－∠1.由∠3與∠4互補，得∠3＋∠4＝180o，所以∠4=180o－∠3.

又因為∠1＝∠3，所以180o－∠1＝180o－∠3，

所以∠2＝∠4.13探究新知探究新知對于余角是否也有類似性質？∠1與∠2，∠3都互為余角，∠2和∠3的大小有什么關系？

因為∠1與∠2和∠3都互為余角，所以∠2＝90o－∠1，∠3＝90o－∠1．

所以∠2＝∠3.等角的余角相等.歸納：補角的性質：等角的補角相等.余角的性質：（同角）（同角）探究新知

海上緝私艇發現離它500海里處停著一艘可疑船只，你能確定緝私艇的航線，并畫出示意圖嗎？可疑船緝私艇BA探究新知探究新知

在航行、測繪等工作以及生活中，我們經常會碰到用方位角描述一個物體的方位，那么什么叫做方位角？如何用方位角描述方向呢？方位角是表示方向的角，以正北、正南方向為基準來描述物體所處的方向，如北偏西30°，南偏東25°.北東南西A67°北偏東67°可疑船緝私艇BA探究新知

海上緝私艇發現離它500海里處停著一艘可疑船只，你能確定緝私艇的航線嗎？畫出示意圖.

做一做：如圖，貨輪O在航行過程中，發現燈塔A在它南偏東60°的方向上，同時，在它北偏東40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分別發現了客輪B，貨輪C和海島D．仿照表示燈塔方位的方法畫出表示客輪B，貨輪C和海島D方向的射線.60°北西南東OA探究新知O東南西北60°射線OA的方向就是南偏東60°，即燈塔A所在的方向．射線OB的方向就是北偏東40°，即客輪B所在的方向．40°10°射線OC的方向就是南偏西10°，即貨輪C所在的方向．射線OD的方向就是北偏西45°，即海島D所在的方向．45°ABDC探究新知用方位角確定物體的畫法步驟：

①先找出中心點，然后畫出方向指標；②把中心點和目的地用線連接起來；③度量向北的射線和視線（中心點和目的地的連線）夾角.探究新知例1.如圖，A，O，B在同一直線上,射線OD和射線OE分別平分∠AOC和

∠BOC，圖中哪些角互為余角？典型例題解：因為A，O，B在同一直線上，

所以∠AOC和∠BOC互為補角.又因為射線OD和射線OE分別平分∠AOC，∠BOC，＝90°．

所以，∠COD

和∠COE互為余角，同理，∠AOD

和∠BOE，

∠AOD和∠COE

，

∠COD和∠BOE也互為余角．所以∠COD

+∠COE＝∠AOC＋∠BOC

＝(∠AOC＋∠BOC)典型例題

例2．圖中給出的各角中，哪些互為余角？哪些互為補角？10°與80°，30°與60°互為余角；10°與170°，30°與150°，60°與120°，80°與100°互為補角．典型例題例3.一個角是70°39′，求它的余角和補角.解：它的余角是90°－70°39′＝19°21′；它的補角是180°－70°39′＝109°21′.例4.∠α的補角是它的3倍，∠α是多少度？解：由180°－∠α＝3∠α，解得∠α＝45°.典型例題

例5.如果一個角的補角是這個角的余角的3倍，求這個角．解：設這個角為x，則它的補角為180°－x，它的余角為90°－x．于是就有

180°－x=3（90°－x）．

解得：x=45°．典型例題

例

6．（1）如圖，四條表示方向的射線中，表示北偏東30°的是（）D典型例題

（2）如圖所示，射線OA表示

方向，

射線OB表示

方向.北偏西70°南偏東15°70°B15°北西南東OA典型例題課堂練習1．已知∠α的補角是125°，則∠α的度數是（

）．A．55°B．65°C．75°D．85°2．下列說法：①銳角的補角一定是鈍角；②一個角的補角一定大于這個角；③如果兩個角是同一個角的余角，那么它們相等；④銳角和鈍角互補．其中，正確的說法有（

）．A．1個B．2個C．3個D．4個3．一個角為35°39′，則這個角的余角為________，補角為________．A

B

54°21′

144°21′課堂練習4．一個角的補角加上24°，恰好等于這個角的5倍，求這個角的度數．解：設這個角的度數為x°，依題意，得：180－x＋24＝5x．解得：x＝34．所以這個角的度數是34°．課堂練習5．如圖，E，D，F在同一直線上，∠CDE＝90°，∠1＝∠2．（1）∠ADC與∠BDC有什么關系？為什么？（2）∠ADF與∠BDE有什么關系？為什么？解：（1）∠ADC＝∠BDC．理由：因為∠CDF＝∠EDF－∠CDF＝180°－90°＝90°，所以∠2＋∠BDC＝∠CDF＝90°．又因為∠1＋∠ADC＝∠CDE＝90°，且∠1＝∠2，所以∠ADC＝∠BDC．課堂練習（2）∠ADF＝∠BDE．理由：因為∠ADF＝180°－∠1，∠BDE＝180°－∠2，又因為∠1＝∠2，所以∠ADF＝∠BDE．課堂練習6．如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，在哪種擺放方式中∠α與∠β互余？在哪種擺放方式中∠α與∠β互補？在哪種擺放方式中∠α與∠β相等？互余互補相等相等課堂練習7．（1）互余且相等的兩個角，各是多少度？（2）一個銳角的補角比這個角的余角大多少度？45°90°8．如圖，OA是表示北偏東30°方向的一條射線，仿照這條射線畫出表示下列方向的射線：（1）南偏東25°；（2）北偏西60°.解：如圖所示，OB表示南偏東25°，OC表示北偏西60°.CB25°60°30°北西南東OA課堂練習