(新)中考數學常用公式定理梳理詳解匯總

I、整數(包括：正整數、0、負整數)和分數(包括：有限小數和無限環循小數)都是有理數.如：

—3,jj-,0.231,0.737373…，圈，"-8.無限不環循小數叫做無理數.如：“，—岳,

0.1010010001…(兩個1之間依次多1個0).有理數和無理數統稱為實數.

2、絕對值：a'OOIa|=a-,?W0=IaI=—a.如：I一隱I=Q；I3.14—nI=

n-3.14.

3、一個近似數，從左邊笫一個不是0的數字起，到最末一個數字止，所有的數字，都叫做這

個近似數的有效數字.如：0.05972精確至IJ0.001得0.060,結果有兩個有效數字6,0.

4、把一個數寫成±“X10"的形式(其中是整數)，這種記數法叫做科學記數法.如：

—40700=-4.07X1()5,0.000043=4.3x10工

5、乘法公式(反過來就是因式分解的公式)：①(a+8)(a一步二標一〃.@(a+b)2=a2±2ab

+b2.③(a+6)(a?—=〃+爐.@(?—/?)(c^+ab+b2)—a3~b3；a2+b2—(a+b)2—

lab,(a-b)2=(a+h)2—4ab.

b

6、事的運算性質：①型Xa〃=〃〃，+〃.②型③(a)”=〃叫④(他州=〃%〃.⑤(公)〃

=n.

⑥〃一"=4,特別：(!)"=(》"?⑦如：a3Xa2=a5,3+〃2=〃4,(東)2=

a6,(3涼*=27編(一3尸=一5^=S(1)(1)2=|,(―3.14)。=1,(慮

—回。=1.

啟魄(心

7、二次根式：①(M)2=a(a20),②&=IaI,③而3"=石X而，④

0,620).如：①(3近")2=45.②"-6)2=6.③〃V0時，^b=~a^b.④JF4的平方

根=4的平方根=±2.(平方根、立方根、算術平方根的概念)

8、一元二次方程：對于方程：ax2+bx+c=0：

①求根公式是x=-b￡Uac,其中4=02-44c叫做根的判別式.

2a

當△>()時，方程有兩個不相等的實數根；

當△=()時，方程有兩個相等的實數根；

當△<()時，方程沒有實數根.注意：當△》()時，方程有實數根.

②若方程有兩個實數根XI和X2,并且二次三項式"2+foc+c可分解為。(》一為)(X-X2).

③以a和匕為根的一元二次方程是小一(a+b)x+ab=0.

9、一次函數.v=h+從k#0)的圖象是一條直線⑺是直線與y軸的交點的縱坐標即一次函數在

y軸上的截距).當A>0時，y隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；當A<0時，y隨x的增大

而減?。ㄖ本€從左向右下降）.特別：當匕=0時，>=依（%#0）又叫做正比例函數（y與X成正比

例），圖象必過原點.

10、反比例函數y=：（&W0）的圖象叫做雙曲線.當&>0時，雙曲線在一、三象限（在每一象

限內，從左向右降）；當上<0時，雙曲線在二、四象限（在每一象限內，從左向右上升）.因

此，它的增減性與一次函數相反.

11、統計初步：（D概念：①所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一個考察對象叫做

個體.從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數目叫做樣本容量.②

在一組數據中，出現次數最多的數（有時不止一個），叫做這組數據的眾數.③將一組數據按

大小順序排列，把處在最中間的一個數（或兩個數的平均數）叫做這組數據的中位數.

（2）公式：設有〃個數為，及，…，左，那么：

①平均數為：X=玉+*2+....+；

n

②極差：

用一組數據的最大值減去最小值所得的差來反映這組數據的變化范圍，用這種方法得到的差

稱為極差，即：極差=最大值-最小值；

③方差：

數據X］、X2,X“的方差為則S2=

標準差：方差的算術平方根.

數據匹、x2...,X”的標準差S,則$=

一組數據的方差越大，這組數據的波動越大，越不穩定。

12、頻率與概率：

（1）頻率=楚整，各小組的頻數之和等于總數，各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方

總數

圖中各個小長方形的面積為各組頻率。

（2）概率

①如果用P表示一個事件A發生的概率，則OWP（A）<1；

P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發生的

概率。

③大量的重復實驗時頻率可視為事件發生概率的估計值；

13、銳角三角函數：

①設NA是RtAABC的任一銳角，則/A的正弦：sinA=^祟普，NA的余弦：cosA=

N/的鄰邊_44的對邊

NA的正切：tanA并且sirPA+cos2A=1.

斜邊-4的鄰邊.

0<sinA<l,0<cosA<l,tanA>0.乙4越大，乙4的正弦和正切值越大，余弦值反而越小.

②余角公式：sin(90。-A)=cosA,cos(90°—A)=sinA.

③特殊角的三角函數值：sin30°=cos60°=5-,sin45°-cos45°-,

N2

tan30°=,^,tan45o=l,tan60°=追

鉛垂高度h

④斜坡的坡度:設坡角為a,則，=1211<1=7.

水平寬度

14、平面直角坐標系中的有關知識：

(1)對稱性：若直角坐標系內一點P(a,b),則P關于x軸對稱的點為Pi(a,-b),P

關于y軸對稱的點為P2(-a,b),關于原點對稱的點為P3(~a,—/?).

(2)坐標平移：若直角坐標系內一點P(a,b)向左平移h個單位，坐標變為P(.a-h,b),

向右平移〃個單位，坐標變為P(a+〃，b)；向上平移防個單位，坐標變為P(a,b+h),

向下平移//個單位，坐標變為P(.a,b—h).如：點A(2,-1)向上平移2個單位，再向

右平移5個單位，則坐標變為A(7,1).

15、二次函數的有關知識：

1.定義：一般地，如果丁=依2+力彳+。3,仇。是常數，。工0),那么y叫做X的二次函數.

2.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①。的符號決定拋物線的開口方向：當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下；

M相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作％=〃.特別地，y軸記作直線x=0.

幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：

函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標

y=ax2x=0(y軸)(0,0)

當a>0時

y=ax2+kx=0(y軸)(0,k)

開口向上

y=a(x-hfx=h(/i,0)

當a<0時

開口向下

y—a(x—h丫+kx=h(h,k)

b

y=ax2+bx+cx=----b4ac-b2

2a(——，--------)

2a4a

4.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

/,、八3?21(b、4ac-b2.e上口/b4ac-b2.

(1)公式法：y=ax~+/zx+c=a%+—+------------一?頂點是(-----，-------------),

2a)4a2a4a

對稱軸是直線%=-二b.

2a

(2)配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為丁=。(》-力)2+上的形式，得到頂

點為(〃/)，對稱軸是直線X=/2.

(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的

交點是頂點。

若已知拋物線上兩點(芯/)、(々。)(及y值相同)，則對稱軸方程可以表示為：

9.拋物線y+6x+c中，。，上c的作用

(1)a決定開口方向及開口大小，這與y=ax?中的a完全一樣.

(2)和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=a/+加+。的對稱軸是直線

h〃

工=一2,故：①人=()時,對稱軸為y軸；②上>0(即。、。同號)時，對稱軸

2aa

在y軸左側；③2<0(即4、異號)時，對稱軸在y軸右側.

a

(3)c的大小決定拋物線y=a/+bx+c與y軸交點的位置.

當x=0時，y=c,.,.拋物線y=+Ox+c與y軸有且只有一個交點(0,c)：

①c=0,拋物線經過原點；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負半

軸.

h

以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則-<0.

a

11.用待定系數法求二次函數的解析式

(1)一般式：y=ax?+bx+c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：y=a(x-/i)2+X已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

(3)交點式：已知圖像與x軸的交點坐標X］、々，通常選用交點式：y=4(%一毛)(%-％2)?

12.直線與拋物線的交點

(1)y軸與拋物線>+bx+c得交點為(0,c).

(2)拋物線與x軸的交點

二次函數丁=。/+歷1+。的圖像與％軸的兩個交點的橫坐標匹、X一是對應一元二次

方程

以2+笈+。=0的兩個實數根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根

的判別式判定：

①有兩個交點0（A>0）。拋物線與X軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）o（A=0）o拋物線與x軸相切；

③沒有交點=（A<0）。拋物線與x軸相離.

（3）平行于x軸的直線與拋物線的交點

同（2）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標

相等，設縱坐

標為則橫坐標是以2+法+。=人的兩個實數根.

（4）一次函數y=kx+n（k豐0）的圖像/與二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖像G

y=kx+n

的4點，由方程組，的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解

_y-ax+bx+c

時o/與G有兩個交點;②方

程組只有一組解時o/與G只有一個交點；③方程組無解時o/與G沒有交點.

（5）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線丁=。/+以+，與％軸兩交點為

則

A（x，0）,B（X2,6）,AB=kf|

1、多邊形內角和公式：〃邊形的內角和等于（〃-2）180。（〃）3,〃是正整數），外角和等于

360°

2,平行線分線段成比例定理：

（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

如圖：a//b//c,直線/i與L分別與直線a、Mc相交與點A、B、C

^ABDEABDEBCEF

D、E、F,則nl有——=——,——=——,——=—

BCEFACDFACDF

（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成

比例。

如圖：△ABC中，DE//BC,DE與AB,AC相交與點D、E,則有：

ADAEADAEDEDBEC八

-麗-------=一—^7.7——尸=一疏.'--罰---=一-花----八AEy-------

*3、直角三角形中的射影定理：如圖：Rt/VIBC中，ZACS=90%CO_L4B于力，則有：C

(1)CD2=ADBD(2)AC2=AD-AB(3)BC?=BDAB

4、圓的有關性質:DB

（1）垂徑定理：如果一條直線具備以下五個性質中的任意兩個性質：①經過圓心；②垂直

弦；③平分弦；④平分弦所對的劣??；⑤平分弦所對的優弧，那么這條直線就具有另外三個

性質.注：具備①，③時，弦不能是直徑.（2）兩條平行弦所夾的弧相等.（3）圓心角的

度數等于它所對的弧的度數.（4）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（5）

圓周角等于它所對的弧的度數的一半.（6）同弧或等弧所對的圓周角相等.（7）在同圓或

等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.（8）90。的圓周角所對的弦是直徑，反之，直徑所對

的圓周角是90。，直徑是最長的弦.（9）圓內接四邊形的對角互補.

5、三角形的內心與外心：三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心.三角形的內心就是三

內角角平分線的交點.三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三邊中

垂線的交點.

常見結論：（1）RtZ^ABC的三條邊分別為：b、c（c為斜邊），則它的內切圓的半徑

a+b-c

r=--------；

2

（2）AABC的周長為人面積為S,其內切圓的半徑為r,則5=，＞