第2章正弦穩態電路的相量分析法2.1正弦電路的基本概念2.2正弦量的相量表示2.3R、L、C伏安關系的相量形式2.4復阻抗與復導納及正弦電路的相量分析法

2.5正弦交流電路的功率2.6RLC串聯諧振電路2.7三相電路

2.8互感耦合電路

2.1.1正弦量的三要素

正弦量的瞬時值：一個周期內，正弦量在不同瞬間具有不同的值，將此稱為正弦量的瞬時值，一般用小寫字母如i（tk

）、u（tk

）或i、u來表示時刻正弦電流、電壓的瞬時值。

解析式：表示正弦量的瞬時值隨時間變化規律的數學式叫做正弦量的瞬時值表達式，也叫解析式，用i（t），u（t）或i、u表示。正弦曲線：表示正弦量的瞬時值隨時間變化規律的圖像叫正弦量的波形。右圖所示為一個正弦電壓的波形。正弦電壓、電流的解析式可寫為

2.1正弦交流電路的基本概念正弦電壓的波形

一個正弦量是由振幅、角頻率和初相來確定的，稱為正弦量的三要素。它們分別反映了正弦量的大小、變化的快慢及初始值三方面的特征。

1、振幅Um（或Im）正弦量瞬時值中的最大值叫振幅，也叫峰值，振幅用來反映正弦量的幅度大小。有時提及的峰-峰值是指電壓正負變化的最大范圍，即等于2Um。必須注意，振幅總是取絕對值，即正值。

2、角頻率ω

角頻率ω是正弦量在每秒鐘內變化的電角度，單位是弧度/秒（rad/s）。正弦量每變化一個周期T的電角度相當于2π電弧度，因此角頻率ω與周期T及頻率f的關系如下：

周期和頻率：周期是交流電完成一個循環所需要的時間，用字母T表示，電位為秒（s）。單位時間內交流電循環的次數稱為頻率，用f表示，頻率與周期互為倒數關系。頻率的單位為1/秒，又稱赫茲（Hz），工程實際中常用的單位還有kHz、MHz及GHz，等，相鄰兩個單位之間是103進制。

工程實際中，常以頻率區分電路，如高頻電路、低頻電路。我國和世界上大多數國家，“工頻”都是f=50Hz，其周期為0.02s，少數國家（如美國、日本）的工頻為60Hz。在其他技術領域中也用到各種不同的頻率，如聲音信號的頻率為20～20000Hz，廣播中頻段載波頻率為535～1605Hz，電視用的頻率以MHz計，高頻爐的頻率為200～300kHz，目前無線電波中頻率最高的是激光，其頻率可達106MHz（即1GHz）以上。角頻率ω、周期T、頻率f都可用來反映正弦量隨時間變化得快慢。

3、相位和初相

(1)相位在正弦量的解析式中的（ωt+θ）是隨時間變化的電角度，它決定了正弦量每一瞬間的狀態，稱為正弦量的相位，單位是弧度（rad）或度（o）。

(2)初相初相是正弦量在t=0時刻的相位，用θ表示，規定|θ|≤π。初相反映了正弦量在t=0時的狀態。需要注意，初相的大小、正負與計時起點（即t=0時刻）的選擇有關，選擇不同，初相則不同，正弦量的初始值也隨之不同。

初相的確定方法：下圖給出了幾種不同計時起點的正弦電流的波形。由波形可以看出在一個周期內正弦量的瞬時值兩次為零?，F規定：靠近計時起點最近的，并且由負值向正值變化所經過的那個零值叫做正弦量的零值，簡稱正弦零值。正弦量初相的絕對值就是正弦零值到計時起點（坐標原點）之間的電角度。初相的正負這樣判斷：看正弦零值與計時起點的位置，若正弦零值在計時起點之左，則初相為正，如圖（a）所示；若在右邊，則為負值，如圖（b）所示；若正弦零值與計時起點重合，則初相為零，如圖（c）所示。正弦量的初相與波形的對應關系2.1.2相位差

兩個同頻率正弦量的相位之差，稱為相位差，用

表示。同樣規定|

|≤π?，F有兩個同頻率的正弦電流

它們的相位差為

【表明】:兩個同頻率正弦量的相位之差等于它們的初相之差。相位差不隨時間變化，與計時起點也沒有關系。通常用相位差

的量值來反映兩同頻率正弦量在時間上的“超前”和“滯后”關系。用相位差判斷相位關系的方法：①若

=θ1

-θ2

＞0，表明i1（t）超前i2（t），超前的角度為

；②若

=θ1

-θ2

＜0，表明i1（t）滯后i2（t），滯后的角度為|

|。

同頻率正弦量的相位差有3種特殊的情況。（1）

=θ1

-θ2

=0，稱電流i1（t）與i2（t）同相；（2）

=θ1

-θ2

=±π/2，稱電流i1（t）與i2（t）正交；（3）

=θ1

-θ2

=±π，稱電流i1（t）與i2（t）反相。

【補充例題】已知正弦電壓、電流的解析式為

u（t）=311sin（70t-180o

）V

i1（t）=5sin（70t-45o

）A

i2（t）=10sin（70t+60o

）A試求電壓u（t）與電流i1（t）和i2（t）的相位差并確定其超前滯后關系。

圖2-1同頻率正弦電流的相位差

解：電壓u（t）與電流i1（t）的相位差為

=（-180o）-（-45o

）=

-135o＜0所以u（t）滯后i1（t）135o。電壓u（t）與電流i2（t）的相位差為

=-180o-60o=

-240o由于規定|

|≤π，所以u（t）與i2（t）的相位差應為

=

-240o+360o=120o＞0，因此u（t）超前i2（t）120o

。

參考正弦量：同頻率正弦量的相位差不隨時間變化，即與計時起點的選擇無關。在同一電路中有多個同頻率正弦量時，彼此間有一定的相位差。為了分析方便起見，通常將計時起點選得使其中一個正弦量的初相為零，這個被選初相為零的正弦量稱為參考正弦量。其它正弦量的初相就等于它們與參考正弦量的相位差。同一電路中的正弦量必須以同一瞬間為計時起點才能比較相位差，因此一個電路中只能選一個正弦量為參考正弦量。這與在電路中只能選一點為電位參考點是同一道理。*有效值

正弦量的有效值是根據它的熱效應確定的。以正弦電壓u（t）為例，它加在電阻R兩端，如果在一個周期T內產生的熱量與一個直流電壓U加在同一電阻上產生的熱量相同，則定義該直流電壓值為正弦電壓u（t）的有效值。據此定義有：

如果正弦電壓u（t）的解析式為u（t）=Umsin（ωt+θu

），則其有效值U為：

同理，正弦電流i（t）=Imsin（ωt+θi）的有效值I為:

正弦量的有效值為其振幅值的=0.707倍。應該注意，此關系只適用于正弦量。非正弦周期量的有效值與最大值之間不存在這個關系，要按有效值的定義進行計算。通常習慣上用正弦量的有效值表示正弦量大小即幅度，因此有效值可代替振幅作為正弦量的一個要素。有效值的廣泛應用：常用的交流儀表所指示的數字均為有效值。交流電機和交流電器銘牌上標的電壓或電流也都是有效值。當交流電壓表測量出電網電壓的讀數值（有效值）為220V時，用峰值電壓表測出的讀數值應為Um=311V。交流電路中使用電容器、二極管或交流電器設備時，電容器的耐壓、二極管的反向擊穿電壓、交流設備的絕緣耐壓等級等，都要根據交流電壓的最大值來考慮。

【補充例題】一個正弦電流的初相為，在

時電流的值為8.66A，試求該電流的有效值。

解：設此正弦電流的解析式為

i（t）=Imsin（ωt+θi）A已知θi

=，時，i=8.66A，所以可得

求得電流振幅為所以此正弦電流的有效值為

相量表示法的引入：解析式和正弦曲線，這兩種表示方法都能反映正弦量的瞬時值隨時間變化的關系，但是用這兩種方法去分析和計算正弦電路就比較繁瑣。為了便于正弦量之間的計算，引入了正弦量的第三種表示方法——相量表示法。相量表示法，實際上采用的是復數表示形式，因此，為了更好地掌握相量表示法，首先復習復數的有關知識。2.2.1復數的表示形式及運算規則

復數與復平面上的點一一對應，此時復數可用點的橫縱坐標，即復數的實部、虛部來描述；復數與復平面上有向線段（復矢量）也具有一一對應關系，此時復數可用該線段的長度和方向角，即復數的模和輻角來描述。圖2-2所示直角坐標系中，實軸（+1）和虛軸（+j）組成一個復平面，該復平面內，點A的坐標為（a，b），復矢量的長度、方向角分別為r、θ，則它們之間的關系為：2.2正弦量的相量表示圖2-2復平面1.復數的表示形式（1）代數形式其中j叫做虛數單位，且

j2

=-1，。（2）三角函數形式（3）指數形式

指數形式是根據歐拉公式“”得到的。（4）極坐標形式

2．復數的運算規則

復數相加或相減時，一般采用代數形式，實部、虛部分別相加減。復數相加或相減后，與復數相對應的矢量也相加或相減。在復平面上進行加減時，其矢量滿足“平行四邊形”或“三角形”法則。復數相乘或相除時，以指數形式和極坐標形式進行較為方便。兩復數相乘時，模相乘，輻角相加；復數相除時，模相除，輻角相減。2.2.2正弦量的相量表示及相量圖

正弦量的相量表示：一個正弦電壓u（t），電流i（t）的解析式與其對應的相量形式有以下關系：

關于正弦量的相量表示，需注意以下幾點：（1）正弦量的相量形式一般采用的是復數的極坐標表示形式，正弦量與其相量形式是“相互對應”關系（即符號“”的含義），不是相等關系。（2）若已知一個正弦量的解析式，可以由有效值及初相寫出其相量形式，這時角頻率ω是一個已知的要素，但ω不直接出現在相量表達式中。（3）后面關于正弦電路的分析均采用相量分析法。所謂相量分析法，就是把正弦電路中的電壓、電流先表示成相量形式，然后用相量形式進行運算的方法。由前面分析可知，相量分析法實際上利用了復數的四則運算。

相量圖：和復數一樣，正弦量的相量也可以用復平面上一條帶方向的線段（復矢量）來表示。我們把畫在同一復平面上表示正弦量相量的圖稱為相量圖。只有同頻率的正弦量，其相量圖才能畫在同一復平面上。在相量圖上，能夠非常直觀地表示出各相量對應的正弦量的大小及相互之間的相位關系。為使圖面清晰，有時畫相量圖時，可以不畫出復平面的坐標軸，但相位的幅角應以逆時針方向的角度為正，順時針方向的角度為負。

【例2-1】寫出下列各正弦量的相量形式，并畫出相量圖。

u1（t）=10sin（100πt+60o

）V

u2（t）=-6sin（100πt+135o

）V

u3（t）=5cos（100πt+60o

）V

解：因為

u2（t）=-6sin（100πt+135o

）=6sin（100πt+135o

–180o）=6sin（100πt-45o

）V

u3（t）=5cos（100πt+60o

）=5sin（100πt+60o+90o

）=5sin（100πt+150o

）V所以其相量圖如圖2-3所示。圖2-3例2-1圖2.3.1電阻元件2.3R、L、C各元件伏安關系的相量形式

圖2-4電阻元件正弦電路

圖2-4（a）所示為一純電阻電路，選取電阻元件的電壓、電流為關聯方向，根據歐姆定律不難推出電阻元件電壓u與電流i的關系如下：（1）電壓與電流的頻率關系：同頻率。（2）電壓與電流的大小關系：U?=?RI。（3）電壓與電流的相位關系：（電壓與電流同相）。由以上結論可以推出電阻元件電壓與電流的相量關系式為2.3.2電感元件圖2-5電感元件正弦電路1.電壓、電流關系（1）電壓與電流的頻率關系：同頻率。（2）電壓與電流的大小關系：。（3）電壓與電流的相位關系：（電壓超前電流90°或電流滯后電壓90°）。2．感抗

電感元件上電壓與電流的有效值之比為ωL，ωL稱為電感元件的感抗，用XL表示。感抗的表達式為

感抗的單位是歐姆（Ω），用來表征電感元件對正弦電流阻礙作用的大小。在L確定的條件下，XL與ω成正比，由此可知，電感具有“通低頻、阻高頻”的特點。3．電壓、電流的相量關系式根據正弦電路中電感元件電壓與電流的關系（大小和相位關系），可以推出電感元件電壓與電流的相量關系式： 2.3.3電容元件1．電壓、電流關系圖2-6（a）選取電容元件的電壓、電流為關聯方向，根據電容元件電壓、電流的瞬時值關系式，不難推出電容元件u與i之間存在如下關系：（1）電壓與電流的頻率關系：同頻率。（2）電壓與電流的大小關系：。（3）電壓與電流的相位關系：（電壓滯后電流90°或電流超前電壓90°）。圖2-6電容元件正弦電路2．容抗

電容元件上電壓與電流的有效值之比稱為電容元件的容抗，用XC表示。容抗的表達式為

容抗的單位是歐姆（Ω），用來表征電容元件對正弦電流阻礙作用的大小。在電容C確定的條件下，XC與ω成反比，據此可知電容具有“通高頻、阻低頻”以及“通交隔直”的特點。3．電壓、電流的相量關系式據正弦電路中電容元件電壓、電流的關系（大小和相位關系），可以推出電容元件電壓與電流相量關系式： 2.4.1復阻抗

2.4復阻抗與復導納及正弦電路的相量分析法

圖2-7正弦電路（1）復阻抗的定義式：R、L、C各元件的復阻抗分別為：，

（2）復阻抗的代數式：（3）復阻抗的極坐標形式：

阻抗：∣Z∣為復數阻抗Z的模，也稱電路的阻抗。它反映了正弦電路對電流的阻礙作用大小。∣Z∣只與元件參數及頻率有關，與電壓、電流無關。阻抗角：

為復阻抗的輻角，又稱電路的阻抗角。它是在關聯參考方向下，端電壓與端電流的相位差，即

=θu-θi。當XL＞XC即X＞0時，

＞0，端電壓超前端電流

的電角度，此時電路呈干感性；當XL＜XC即X＜0時，

＜0，端電壓滯后端電流∣

∣的電角度，此時電路呈容性；當XL

=XC即X=0時，

=0，端電壓與端電流同相，此時電路呈電阻性。阻抗：阻抗角：2.4.2復導納

復阻抗Z的倒數稱為復導納，用字母Y表示，單位是西門子（S）。有以下關系式：

對于有多個（兩個以上）復阻抗并聯的電路，用復導納分析較為方便。根據復導納與復阻抗的關系，可以得到得到關于復導納的相關結論，此處不再贅述。

相量法分析正弦電路的具體步驟如下：

（1）畫出與電路的時域模型相對應的相量模型。在電路的時域模型中，電路元件一般用R、L、C等參數來表征，u、i是正弦時間函數。而相量模型中，各元件要用其復阻抗（或復導納）表示；電路中u、i用相量表示，參考方向不變；電路的拓撲結構不變。（2）寫出已知正弦電壓、電流對應的相量。（3）根據畫出的相量模型，利用分析直流電阻電路方法，列出電路復數代數方程進行求解。最后，根據題目的需要，將求出的電壓、電流相量轉換成對應隨時間變化的解析式。

【說明】：直流電阻電路的分析方法同樣適用于正弦穩態電路，其公式在形式上是相同的。不同之處在于，直流電阻電路的分析是純實數的運算，相對比較簡單；而正弦電路的分析采用的是相量分析法，是相量的運算，要用到復數的運算規則，相對比較繁瑣。

2.4.3正弦電路的相量分析法

【例2-2】圖2-9（a）RLC串聯電路中，已知電源電壓uS（t）=10sin（2t）V，R=2Ω，L=2H，C=0.25F。試用相量法計算電路的等效復阻抗Z、電流i（t）和電壓uR（t）、uL（t）、uC（t），作出相量圖，并討論該電路的性質。

解：作出與圖（a）所示時域模型相對應的相量模型，如圖（b）所示。寫出已知正弦電壓源uS的相量為：圖2-9計算電路的等效復阻抗

求得端電流

由R、L、C各元件電壓、電流的相量關系式得

根據以上電壓、電流的相量得到相應的解析式

作出相量圖如圖2-8（c）所示。由于本例題中復阻抗的阻抗角

＞0，故電路的性質為感性。

【例2-3】圖2-10（a）所示為正弦電源作用的有源二端網絡，求其戴維南等效電路。圖2-10

解：首先將

、-j1Ω、1Ω的并聯組合等效變換為電壓源模型，如圖2-10（b）所示?？汕蟮?/p>

由圖2-10（b）求ab端開路電壓為

求等效復阻抗Zeq，圖（a）中電流源均用開路代替，如圖（c）所示。則

求得戴維南等效電路如圖2-10（d）所示。【補充例題】電路如下圖（a）所示，已知uS（t）=4sin（3t+45o）V，R1=R2=2Ω，L=1/3H，C=1/6F。試求電路中的電流i（t）、iC（t）和iL（t），并作出相量圖。

解：作出與圖（a）所示時域模型相對應的相量模型，如圖（b）所示。寫出已知正弦電壓源uS的相量為等效復阻抗為：則端電流為利用分流公式可得將求出的各電流相量寫成解析式的形式為作出相量圖如圖2-9（c）所示。【補充例題】電路如圖所示，端口電壓為，試求各支路電流及電壓。

解：圖中注明的各段電路的復阻抗為電路的等效復阻抗為電路的總電流為

各支路電流為

各支路電壓

2.5正弦交流電路的功率2.5.1瞬時功率和平均功率圖2-11正弦二端網絡

如圖2-11所示二端網絡的端電壓、端電流為同頻率正弦量，其解析式為

當u、i為關聯方向時，可推出該二端網絡的瞬時功率

其中是二端網絡端電壓與端電流的相位差。

平均功率是指周期性變化的瞬時功率在一個周期內的平均值，用P表示，單位瓦特（W），其表達式為

平均功率（又稱有功功率）是一個重要的概念，實際中得到廣泛使用。通常所說某個家用電器消耗多少瓦的功率，就是指它的平均功率，簡稱功率。根據平均功率表達式，，可求得電阻、電感、電容元件的平均功率分別為

上兩式表明，在正弦穩態中，儲能元件電感或電容的平均功率等于零，不消耗能量，與電源之間只是存在能量的交換作用，即在前半個周期吸收電源的功率并儲存起來，后半個周期又將其全部釋放，這種能量交換的速率用另外一種功率——無功功率來描述（見2.5.2節）。

2.5.2復功率、視在功率和無功功率二端網絡吸收的復功率為電壓相量與電流相量共軛復數的乘積.假設正弦電壓、電流的相量表達式分別為：

復功率的實部正是有功功率，復功率的虛部稱為無功功率，它反映了電源與單口網絡內儲能元件之間能量交換的速率，為與平均功率相區別，單位為乏（Var）。復功率的模||=UI稱為視在功率，用S表示，即它表征一個電氣設備的功率容量，為與其他功率相區別，用伏安（V???A）作為單位。例如，我們說某個發電機的容量為100kV???A，而不說其容量為100kW。顯然，視在功率是二端網絡所吸收平均功率的最大值。則電流相量的共軛復數為：則復功率為;2.5.3功率因數的提高

在交流電路中，負載多為感性負載，如常用的感應電動機、日光燈等。感性負載在工作時，接上電源后，要建立磁場，所以除了需要從電源取得有功功率外，還要從電源取得建立磁場的能量，并與電源做周期性的能量交換，這從前面的理論分析中可以得知。在二端網絡電壓、電流有效值乘積UI一定的情況下，二端網絡吸收的平均功率P與的大小密切相關，表示功率的利用程度，稱為功率因數，記為

，其表達式為

功率因數介于0和1之間，當功率因數不等于1時，電路中發生能量交換，出現無功功率，

角越大，功率因數越低，發電機發出的有功功率就越小，而無功功率就越大。無功功率越大，即電路中能量交換的規模越大，發電機發出的能量就不能充分為負載所吸收，其中一部分，在發電機與負載之間進行交換，這樣，發電設備的容量就不能充分利用。例如，一臺容量為100kVA的變壓器，若負載的功率因數

=0.9，變壓器能輸出90kW的有功功率（即平均功率）；若功率因數

=0.6，變壓器就只能輸出60kW的有功功率。可見負載的功率因數低，電源設備的容量就不能得到充分利用。因此提高功率因數有很大的經濟意義。常用的交流感應電動機在額定負載時，功率因數約在0.8～0.85，輕載時只有0.4～0.5，而在空載時僅為0.2～0.3，因此選擇與機械配套的電機容量時，不宜選得過大，并且應在額定情況下工作，避免或盡量減少電機的輕載或空載。不裝電容器的日光燈，功率因數約為0.45～0.6。提高電路的功率因數的方法：常用的方法是用電容器與感性負載并聯，這樣可使電感的磁場能量與電容的電場能量進行部分交換，從而減少了電源與負載間能量的交換，即減少了電源提供給負載的無功功率，進而提高功率因數。但是用電容來提高功率因數時，一般補償到

=0.9左右，而不能補償到更高，因為補償到功率因數接近1時，所需的電容量大，反而不經濟了。2.6.1諧振的概念及諧振條件

圖2-11電路中，R、L和C組成串聯電路，電路的等效阻抗為：

由上式可知，當正弦電壓的頻率ω變化時，電路的等效復阻抗Z隨之變化。當時，復阻抗Z=R，串聯電路的等效復阻抗變成了純電阻，端電壓與端電流同相，這時就稱電路發生了串聯諧振?？梢?，串聯電路的諧振條件是：

或

2.6RLC串聯諧振電路圖2-11RLC串聯諧振電路2.6.2串聯諧振的基本特征根據諧振條件可得：諧振角頻率：諧振頻率：特性阻抗：（1）諧振時，復阻抗Z?=?R，呈現純電阻，阻抗∣Z∣達到最小值。（2）諧振時，電路中電流最大，且與電壓源電壓同相。諧振時的電流為

（3）諧振時，電感和電容上的電壓大小相等，相位相反，其大小都等于電源電壓的Q倍，即其中：

品質因數：Q稱為串聯諧振電路的品質因數，它是衡量電路特性的一個重要物理量，它取決于電路的參數。諧振電路的Q值一般在50～200之間，因此外加電源電壓即使不很高，諧振時電感和電容上的電壓仍可能很大。

在無線電技術方面，正是利用串聯諧振的這一特點，將微弱的信號電壓輸入到串聯諧振回路后，在電感或電容兩端可以得到一個比輸入信號電壓大許多倍的電壓，這是十分有利的。但在電力系統中，由于電源電壓比較高，如果電路在接近串聯諧振的情況下工作，在電感或電容兩端將出現過電壓，引起電氣設備的損壞。所以在電力系統中必須適當選擇電路參數L和C，以避免發生諧振現象。

【補充例題】電路如圖所示。已知uS（t）=10sin（w

t）V。求：（1）頻率ω為何值時，電路發生諧振。（2）電路諧振時，UL和UC為何值。解：（1）電壓源的角頻率應為（2）電路的品質因數為

則

UL=UC=QUS=100×10=1000V

關于相制：每個正弦電源只有兩個輸出端子，輸出一個電流或電壓，習慣上稱這種電路為單相交流電路。工農業生產中常會遇到“多相制”的交流電路，多相制電路是由多相電源供電的電路。多相電路以相的數目來分，可分為兩相、三相、六相等。在多相制中，三相制有很多優點，所以它的應用最為廣泛。目前世界上工農業和民用電力系統的電能幾乎都是由三相電源提供的，日常生活中所用的單相交流電，也是取自三相交流電的一相。2.7.1三相電源三相發電機：概括地說，三相交流電源是三個單相交流電源按一定方式進行的組合。三相供電系統的三相電源是三相發電機。圖2-12所示是三相發電機的結構示意圖，它有定子和轉子兩大部分。定子鐵心的內圓周的槽中對稱地安放著三個繞組（線圈）AX、BY和CZ。A、B、C為始端；X、Y、Z為末端。三繞組在空間上彼此間隔120o。2.7三相電路圖2-12三相發電機

轉子是旋轉的電磁鐵。當轉子恒速旋轉時，AX、BY、CZ三繞組的兩端將分別感應出振幅相等、頻率相同的三個正弦電壓uA（t）、uB（t）、uC（t）。如果指定它們的參考方向都由首端指向末端，則它們的初相彼此相差120o。若以作為參考相量，這三個電壓相量為：

圖2-13對稱三相電源的相量圖和波形圖

對稱三相電源：像這樣由三個振幅相等、頻率相同、相位彼此相差120o的三個單相正弦電源組合而成的電源稱為對稱三相正弦電源，簡稱對稱三相電源。其中的每個單相正弦電源分別稱為A相電、B相電和C相電，在工廠，通常在發電機的三相引出線及變、配電所中的三相母線上涂以黃、綠、紅三種顏色，分別表示A、B、C三相。相序：三相電源的各相電壓經過正峰值的先后次序，稱為三相電壓的相序。若上述三相電壓的順序是A-B-C-A時，稱為正序，若為A-C-B-A時，稱為負序。式（3.66）就是正序時三相電壓的相量表達式。工程上通用的相序是正序，如果不加說明，都是指的這種相序。用戶可以改變三相電源與三相電動機的連接方式來改變相序，從而改變三相電動機的旋轉方向。2.7.2三相電源的連接

三相發電機的繞組共有6個端子，在實際應用中并不是分別引出和負載相連接的，而是連接成兩種最基本的形式，即星形聯接和三角形聯接。1.星形聯接將三相電源的每一個繞組的末端X、Y、Z連在一起，組成一個公共點N，對外形成A、B、C、N四個端子，這種聯接形式稱為三相電源的星形聯接（也叫Y形聯接），如圖2-14（a）所示。圖2-14三相電源的星形連接

端線：從三相電源的始端A、B、C引出的導線稱為端線或火線。

中線：從中點N引出的導線稱為中線或零線。

線電流：流出端線的電流稱為線電流，表示為：。

相電流：每一相繞組中的電流稱為相電流，表示為：。

線電壓：端線與端線間的電壓稱為線電壓，表示為：。

相電壓：每相繞組兩端的電壓稱為相電壓，表示為：。星形聯接時，線電流與相電流相等，線電壓是相電壓的倍，相位超前對應的相電壓30o。

【應用】：因為三相電源的相電壓對稱，所以在三相四線制的低壓配電系統中，可以得到兩種不同數值的電壓，即相電壓220V與線電壓380V。一般家用電器及電子儀器用220V，動力及三相負載用380V。

【注意】：由于發電機每組繞組本身的阻抗較小，所以當三相電源接成三角形時，其閉合回路內的阻抗并不大。通常因回路內uA+uB+uC=0，所以在負載斷開時電源繞組內并無電流。如果三相電壓不對稱，或者雖然對稱，但有一相接反，則uA+uB+uC≠0，即使外部沒有負載，閉合回路內仍有很大的電流，這將使繞組過熱，甚至燒毀。所以三相電源作三角形連接時必須嚴格按照每一相的末端與次一相的始端連接。2.三角形連接

對稱三相電源可以采用三角形連接（又稱△連接），它是將三相電源各相的始端和末端依次相連，再由A、B、C引出三根端線與負載相連，如圖2-15所示。三相電源作三角形連接時，其線電壓和相電壓相等，線電流等于相電流的倍，相位滯后對應的相電流30o。圖2-15三相電源的三角形連接2.7.3三相電源和負載的連接1.單相負載

單相負載主要包括照明負載、生活用電負載及一些單相設備。單相負載常采用三相中引出一相的供電方式。為保證各個單相負載電壓穩定，各單相負載均以并聯形式接入電路。在單相負荷較大時，如大型居民樓供電，可將所有單相負載平分為三組，分別接入A、B、C三相電路，如圖2-16所示，以保證三相負載盡可能平衡，提高安全供電質量及供電效率。圖2-16單相負載的連接2.三相負載三相負載主要是一些電力負載及工業負載。三相負載的聯接方式有Y形聯接和△形。當三相負載中各相負載都相同，即ZA=ZB=ZC=|Z|時，稱為三相對稱負載，否則，即為不對稱負載。因為三相電源也有兩種聯接方式，所以它們可以組成以下幾種三相電路，如下圖所示。2.7.4三相電路的計算

【例2-4】今有三相對稱負載作星形聯接，設每相負載的電阻為R=12Ω，感抗為XL

=16Ω，電源線電壓，試求各相電流。

解：由已知條件可以畫出對稱三相電路如圖2-18所示，是三相四線制的Y-Y連接。根據Y形連接的對稱三相電源的線、相電壓關系可得相電壓

為：所以由此可推出其余兩相電流為：圖2-18

【補充例題】三相四線制中的負載為純電阻，RA=10Ω，RB=5Ω，RC=2Ω，負載的相電壓為220V，中線阻抗ZN=0，試求各相負載上和中線上的電流。

解：設以相電壓為參考正弦量，則各相電壓為

則各相負載上的電流為

根據相量形式的KCL得中線電流為2.8互感耦合電路2.8.1互感現象及同名端1．互感現象

所謂互感現象，是指載流線圈之間通過彼此的磁場相互聯系的物理現象，也叫磁耦合。如圖2-18（a）所示為兩個有互感的載流線圈，載流線圈中的電流i1和i2稱為施感電流，線圈的匝數分別為N1和N2。

圖2-18兩個線圈的互感

圖2-18兩個線圈的互感線圈1中的電流i1產生的磁通設為Φ11，在穿越自身的線圈時，所產生的磁通鏈（簡稱磁鏈）設為Ψ11，稱為自感磁鏈；Ψ11中的一部分或全部交鏈線圈2時產生的磁鏈設為Ψ21，稱為互感磁鏈。同樣，線圈2中的電流i2也產生自感磁鏈Ψ22和互感磁鏈Ψ12（圖中未畫出），這就是兩線圈彼此耦合的情況。2．互感線圈的同名端互感線圈的同名端是這樣規定的：當電流從兩線圈各自的某端子同時流入（或流出）時，若兩線圈產生的磁通方向相同而“相助”，則這兩個端子稱為互感線圈的同名端，并記為“·”或“*”。例如，圖2-18（a）中端子1和端子2為一對同名端（同樣端子和端子為另一對同名端）；反之，當電流從兩線圈各自的某端子同時流入（或流出）時，若兩線圈產生的磁通方向相反而“相消”，則這兩個端子稱為互感線圈的異名端。

圖2-18兩個線圈的互感2.互感線圈的同名端

（1）定義:互感線圈的同名端是這樣規定的：當電流從兩線圈各自的某端子同時流入（或流出）時，若兩線圈產生的磁通方向相同而“相助”，則這兩個端子稱為互感線圈的同名端，并記為“·”或“*”。例如，圖2-18（a）中端子1和端子2為一對同名端（同樣端子和端子為另一對同名端）；反之，當電流從兩線圈各自的某端子同時流入（或流出）時，若兩線圈產生的磁通方向相反而“相消”，則這兩個端子稱為互感線圈的異名端。（2）同名端的判斷:

（A）已知繞向：對于相對位置和線圈繞向確定的互感線圈的同名端，可以借助右手螺旋法則來判斷，即假定給互感線圈同時通以電流。且電流與磁通的方向符合右手螺旋定則，當各電流產生的磁通是相互加強時（即方向相同時），則電流流進或流出的端子為同名端。舉例說明：下圖畫出了幾組實際繞向和相對位置不同的互感線圈。利用上述方法可以判斷出各組互感線圈的同名端。

右圖所示電路中，由于三個線圈沒有一條磁感應線可以同時穿過它們，因此它們沒有共同的一組同名端，只能每兩個線圈之間具有同名端。利用上述定義可以得出，對線圈Ⅰ、Ⅱ來說，1、4端是同名端，線圈Ⅱ、Ⅲ的同名端為3端和5端，線圈Ⅰ、Ⅲ的同名端為1端和5端，分別用“·”、“△”和“*”標記。

（B）繞向不可知：這種情況下，可以采用實驗的方法來測定兩線圈的同名端。在圖2-19電路中，直流電壓源正負極通過開關S與線圈Ⅰ的1、2端連接，直流電壓表（或電流表）接到線圈Ⅱ的3、4端。在開關S閉合瞬間，電流由電源正極流入線圈Ⅰ的1端且正在增大，即電流的變化率＞0，則與電源正極相連的1端為高電位端，2端為低電位端。此時若電壓表指針正向偏轉，則與電壓表正接線端相連的線圈Ⅱ的3端為高電位端，4端為低電位端，因為同名端的感應電壓的實際極性始終一致，由此可判斷出，端鈕1、3是同名端。如果電壓表指針反偏，端鈕1、4是同名端。

圖2-19

【說明】：在繪電路圖時，為了簡便起見，常常不繪出線圈的繞向，而用電感元件的符號代替，同時在相應端鈕上標出同名端的標記即可，如下圖所示。

圖中M稱為互感系數，簡稱互感，單位為亨利（H）。M僅決定于兩互感線圈的結構、幾何尺寸、匝數和相互位置。3.耦合系數

兩個耦合線圈的電流所產生的磁通，一般情況下，只有部分磁通相互交鏈，彼此不交鏈的那部分磁通稱為漏磁通。兩耦合線圈相互交鏈的磁通越大，說明兩個線圈耦合得越緊密。為了表示兩個線圈耦合得緊密程度，通常用耦合系數k來表示。耦合系數k表達式為：

由于漏磁通，耦合系數k總是小于1。k值大小取決于兩個線圈的相對位置及磁介質的性質。k值越大，表明漏磁通越小，兩線圈之間的耦合越緊密。k=1時，稱為全耦合。

【說明】：在電力變壓器中，為了有效地傳輸功率，采用緊密耦合，k值接近于1，而在無線電和通信方面，要求適當的、較松的耦合時，就需要調節兩個線圈的相互位置。有的時候為了避免耦合作用，就應合理布置線圈的位置，使之遠離，或使兩線圈的軸線相互垂直，或采用磁屏蔽方法等。（0≤

k

≤1）2.8.2互感電壓

符號判斷：自感電壓前的“+”、“-”號可直接根據自感電壓與產生它的電流是否為關聯方向確定，關聯時取“+”號，非關聯時取“-”號。互感電壓前的“+”、“-”號的正確選取原則可簡明地表述如下：如果互感電壓的“+”極端子與產生它的電流流進的端子為一對同名端，則互感電壓前取“+”號，反之取“-”號。請看下例：

【補充例題】下圖（a）、（b）所示的電路中，同名端標記，端電壓u1、u2及電流i1、i2的參考方向均已標在圖上，試寫出線圈端電壓u1、u2的表達式。

解：圖（a）中兩線圈中均通有電流，所以端電壓u1、u2各是由自感電壓和互感電壓組成。圖中，電流i1、i2從同名端流入，選取u11、u22、u12、u21參考方向如圖所示。則端電壓為（a）（b）

同理，可寫出圖（b）中端電壓表達式

2.8.3互感線圈的串聯與并聯1.互感線圈的串聯

在兩個互感線圈串聯的電路中，因同名端位置不同可將電路分為順接串聯（簡稱順接）和反接串聯（簡稱反接）兩種類型，順接是兩互感線圈的異名端相連，反接是同名端相連，分別如圖（a）、（b）所示。

首先以圖（a）順接串聯為例，依據圖中各電壓、電流參考方向和同名端位置，由KVL得端電壓

圖2-22互感線圈的串聯【說明】：（1）（2）可知，順接時的等效電感大于反接時的等效電感，當外加相同正弦電壓時，順接時的電流小于反接時的電流。這一結論可以幫助我們判斷同名端。（3）

同理可以推得圖（b）所示反接串聯的等效電感為

L反

=L1+L2

-2M

【例2-5】圖2-23所示互感電路中，已知R1=4Ω，R2=6Ω，自感抗ωL1=5Ω，ωL2=9Ω，互感抗ωM=3Ω，輸入電壓U=50V，求電路中電流I及輸出電壓U2。

解：選定電壓電流參考方向如圖所示。本題電路中為兩個線圈的順接串聯電路，故

ωL順

=ω（L1+L2+2M）=5+9+2×3=20Ω

R=R1+R2=4+6=10Ω

Z=R+j

ωL順=10+j20=Ω

所以電路電流I及輸出電壓U2為

I=2.236AU

2=30V

圖2-232.互感線圈的并聯

兩個有互感的線圈并聯時，也有兩種接法。一種是兩線圈的同名端相連，如圖2-24（a）所示。另一種是兩線圈的異名端相連，如圖2-24（b）所示。