2023屆山東省新高考聯合質量測評高三上學期12月聯考數學試題

一、單選題

1.己知集合A=..9、,8={yeZ|y=4-4},則集合(AcB)的子集個數為().

A.1B.2C.4D.8

【答案】D

【分析】解不等式求出A={HX4-2},求出值域得到8={yeZ|yZY},從而求出交集及子集個數.

【詳解】(gjz9=(j,解得:

x<-2,所以厶={中4-2},

其中y=77-42Y,所以8={yeZ|yNT},

所以Ac8={Y,-3,-2}.

所以(A8)的子集個數是23=8.

故選：D.

“人+技1〕

0-099

2.復數z=——V--±-L,則慟=().

1---V3.

-----11

22

A.y/2B.2C.4D.8

【答案】A

【分析】先根據復數的乘除法運算求出復數z,再根據復數的模的計算公式計算即可得解.

兀1

TTtan—+

3.設sin—=帆，則14().

7tan

14

12

A.2mB.—C.—D.m

inm

【答案】C

【分析】根據切化弦公式及逆用二倍角公式求解即可.

兀兀.2兀2兀

sin——cos——sin——+cos——

,JIj141414二2_2

【詳解】M-：tan-+---------—+

14兀71兀71.兀m

tan—COS——sin——cos——sin——sin-

故選：C.

4.在「+丄一1)的展開式中,

含3項的系數為().

A.10B.15C.20D.30

【答案】B

【分析】問題可以看作5個括號中分別選取工,丄,-1的不同選法的組合問題，利用組合知識求解即可.

x

,I

【詳解】根據組合可知，展開式中含V項為：C；-X3(-1)2+C；-X4--=15X\

X

所以含V項的系數為15,

故選：B.

5.已知在三棱錐尸-ABC中，丄平面ABC,為等腰直角三角形，iLAB=AC=2,"=4,

點。為棱PC上一點，且=過點。作平行于底面ABC的截面。所，那么三棱臺

DE尸-C48的體積等于().

1c21c63

A.—B.—C.—D.—

248364

【答案】B

【分析】求出PE=；PA=1,DE=；AC=；=EF,Vfc=；x2x4=|,Vp-D￡f=|x|xl=,相

44幺JJJo24

減后得到三棱臺DEF-C4B的體積.

【詳解】因為PA丄平面A8C,卩。=丄「＜7且平面￡)￡萬//平面厶8(7,AB=AC=2,幺=4,

4

所以尸6=丄尸4=1,DE=-AC=-=EF,

442

。1ccce1111

SABC=-x2x2=2,SWEF=-X-X-=~?

ZZZZo

1c.8〃111

VTZP-ABC=§x2x4=§,Vp_DEF=]X§xl=五,

_81_63_21

所以—3=§-五=五=行

故選：B.

6.^a=e°',h=y/L2,c=-\n().9,則“也c的大小關系為().

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】A

【分析】根據e，>x+l(x>0)與lnx<x-l(x>0)判斷即可.

【詳解】解：令〃x)=e、-x-l(x>()),則,/(x)=e'—1>0,

\/(X)在(0,轉)上單調遞增，

■■./(^)>/(0)=0,0=60-'>0.1+1=1.1>疝=6,

令g(x)=lnx-x+l(x>0),

XX

由g<x)>()得0Vx<1,g(x)遞增；

由g[x)<0得x>l,g(x)遞減，

???g(x)a=g6=。，

:.\nx<x-\.

:.c=-In0.9=In」—<———1=—<1<Z>,

0.90.99

故選：A.

7.若點G是，ABC所在平面上一點，且AG+BG+CG=d,〃是直線5G上一點，AH=xAB+yAC,

則/+4丁的最小值是().

A.2B.1

JC—2uD-4—

【答案】C

【分析】根據向量的運算確定G的位置，可得B、H、。三點共線，利用三點共線得x+2y=l,再

由不等式求最值即可.

【詳解】設G(x,y),A(x“y),B(x?,%)，C值,%)，

E丄,X+X,+X,M+M+H

因為AG+BG+CG=0，所rri以s*=」~~y=厶奇厶,

所以點G是,ABC的重心,

設點。是AC的中點，則AC=2AO,B、G、。共線，如圖,

又AH=xAB+2），AO.

因為8、H、。三點共線，所以x+2y=l,

所以f+4）,2=/+（2y『2等豈=g，當且僅當x=2y,即x=；,y=；時取等號，即犬+4丁的

最小值是（

故選：C.

8.己知函數f（x）=e2*,g（x）=x-l,對任意石eR,存在X?e（0,+°°），使/（%）=g（%），則%-石的

最小值為（）.

A.1B.72

31

C.2+In2D.—I■—In2

22

【答案】D

【分析】令/（%）=g（W）=機＞0,將不多都用〃?表示，從而可將々-不構造岀關于，”的函數，再利

用導數求出函數的最小值即可.

【詳解】解：由題意，令/（與）=8（電）=帆＞0,則e2*'=機，x2-l=m,

所以X]=_ln〃？，x2=m+\fx2-x1=m+l——Inm,

所以旗⑼=1-

令〃'（加）=0,得〃?=；,

所以當加時，/町mvo,/?（冋單調遞減;

當加￡（；,+Oo］時，廨⑺＞0,//⑹單調遞增，

131

所以當機=5時，力（加）有最小值^+萬山？，

31

即々一再的最小值為］+］ln2.

故選：D.

二、多選題

9.黨的二十大報告從16個方面概括了我國十年來的偉大變革，報告指出，“我們提出并貫徹新發展

理念，著力推進高質量發展，推動構建新發展格局，實施供給側結構性改革，制定一系列具有全局

性意義的區域重大戰略，我國經濟實力實現歷史性躍升，國內生產總值從五十四萬億元增長到一百

一十四萬億元，我國經濟總量占世界經濟的比重達百分之十八點五，提高七點二個百分點，穩居世

界第二位；人均國內生產總值從三萬九千八百元增加到八萬一千元.谷物總產量穩居世界首位，制

造業規模、外匯儲備穩居世界第一.”下圖是某地區2012年—2021年人均國內生產總值（人均GDP）

及同比增長率變化情況，則下列說法正確的是（）.

A.2020年受到疫情影響，該地區人均GDP增長減緩

B.2012年至2021年該地區人均GDP的80%分位數為69901

C.2012年至2021年該地區人均GDP同比增長率的平均值在0.06以上

D.根據圖表和二十大報告可推測該地區十年的人均GDP的極差低于全國

【答案】ACD

【分析】用樣本估計總體思想，結合圖解決.

【詳解】由圖可知2020年該地區人均CDP同比增長率有所下降，但GDP依然增加，所以A正確.

2012年至2021年該地區人均GDP的80%分位數為699°，72151,所以B不正確.

2012年至2021年該地區人均GDP同比增長率的平均值為：

0.098+0.067+0.082+0.054+0.063+0.052+0.055+0.032+0.133……b,、，r,”

-------------------------------------------------------------------------------------a0.07>0.06，所以C正確（也可以

直接觀察判斷）.

2012年至2021年該地區人均GDP極差81727-44348<81000-39800,所以D正確.

故選：ACD.

10.關于函數f（x）=sinx+丄有如下四個命題，則下列選項正確的是（）.

tanx

A.AM的圖象關于y軸對稱

B.Ax）的圖象關于原點對稱

C.7（x）的圖象關于點（兀,0）對稱

D./（x）的周期是3兀

【答案】BC

【分析】選項A和選項B可通過函數/（力的奇偶性進行判斷；選項C可通過將向左平移兀個

單位長度后是否為奇函數進行判斷；選項D可通過周期函數的定義進行判斷.

【詳解】對于選項A和選項B,

由己知，f（x）=sinx+丄的定義域為/=ez],

tanx2

Vxe/,都有—xw/,

Hf(-x)=sin(-x)^7~-=-sinx----5—=-1

sinx+---=--一-/(%)，

耳八丿(丿tan(-x)tanxtanx

.?./(x)=sinx+丄為奇函數，〃x)的圖象關于原點對稱，

tanx

，選項A錯誤，選項B正確；

對于選項C,

將“X)的圖象向左平移兀個單位長度，得到g(力的圖象，

則g(x)=/(工+兀)=sin(x+7t)+——------=-sinx+—!—

tan(x+7r)tanx

g(x)的定義域與“力定義域相同,均為/，

Vxe/,都有-xw/,

且g(r)=Tin(r)+&=sinx-高1

-sinx+---二--—-g(x)，

tanx

；.g(x)為奇函數，圖象關于原點對稱，

即將f(x)的圖象向左平移兀個單位長度后關于原點對稱，

.../(X)的圖象關于點(兀,0)對稱，故選項C正確；

對于選項D,

/(x+3兀)=sin(x+3兀)+---r=-sinx+―--f(x)

''、'tan(x+3K)tanx、八

???3兀不是/(X)的周期,選項D錯誤.

故選：BC.

11.在棱長為2的正方體中，點。為線段AR(包含端點)上一動點，則下列選項

正確的是().

A.三棱錐的體積為定值

B.在。點運動過程中，存在某個位置使得AR丄平面BQC

C.截面三角形8QC面積的最大值為2夜

D.當三棱錐B-BCQ為正三棱錐時，其內切球半徑為6-6

【答案】AC

【分析】對于A,證明平面BCC，從而可得AR上所有點到平面BC>G的距離不變，即可判

斷;

對于B,假設A。丄平面BQC,從而可得A。丄BC,AD,1AD,即可判斷；

對于C,要使截面三角形8QC面積的最大，只要。到8C的距離最大，過Q作。尸丄于F,過F

作FG丄3c于G,連接。G,求出2G的最大值即可；

對于D,利用等體積法求解即可.

【詳解】解：A.%-/）頃,而ksg=3C：=8=為定值.

連接BC-因為AB〃CQ且AB=G。，

所以四邊形ABGR是平行四邊形，所以AR〃B￡,

因為ADt<z平面BDCt,BJu平面BDQ,

所以AQ〃平面8￡（G，所以厶4上所有點到平面8OG的距離不變，

所以三棱錐Q-BDG的高不變，所以為定值，故A正確；

B.若AR丄平面BQC,BCu平面BQC,

則丄8C,又AD〃BC,

所以丄A。，不正確，故B錯誤；

C.因為8c為定值，所以只要。到8c的距離最長，

過Q作。/丄A。于F,過F作FG丄于G,連接QG,

因為AP〃BC,所以。尸丄BC,

又。尸門只7=尸,?！闞7<=平面。尸6,所以8C丄平面QFG,

又QGu平面。FG,則QG丄BC,

要使QG最長，只需QF最長，即。點在R時，QG=2應最長，

此時2c=gx2x20=2收，故C正確，

D.當。在A點時，8-BCQ為正三棱錐，

設三棱錐B-4CQ的內切球的半徑為『，

由等體積法+S“8C+S^Abc）"=VB,-A8C,

所以42+2+2+@x8]r=1x2x2,

343

所以,.=三3，故D錯誤.

3

故選：AC.

12.己知奇函數/")在R上可導，其導函數為r(x),且/(2-X)-/(x)+2x-2=0恒成立，則下列選

項正確的是().

A.g(x)=f(x)-x為非奇非偶函數

B.f⑵=2

C./(2022)=2022

D.#2023)=1

【答案】BCD

【分析】由函數的奇偶性定義判斷出g(x)=/(x)-x為奇函數,A錯誤;賦值法得到/⑼-〃2)+2=0,

結合奇偶性得到/(2)+/(0)-2=0,聯立后求出"2)=2,B正確；將“2-力-/(力+2%-2=0變

形為f(2-x)-(2-x)=/(x)-x,令g(x)=/(x)-x,則g(2-x)=g(x),結合g(x)是奇函數，得

到g(x)是一個周期為4的周期函數,得至”g(2022)=g(2)=/(2)-2=0,求岀/(2022)=2022,C

正確；

對/(2—x)—/(x)+2x—2=0求導，得至lJ/'(2—x)+r(x)=2,賦值法得至U/'(l)=l,

/(1)=/(1)-1=0,結合g(x)=/(x)—x的周期性與奇偶性得到g'(x)的周期性和奇偶性，得到

/'(2023)=g'(2023)+l=g'(—1)+1=1.

【詳解】由已知有“力為R上的奇函數，所以/(r)=—/(x),

故g(x)=/(x)-x的定義域為R,且g(—x)=f(T)+X=-[/(X)-x]=-g(x),

故&a)=/(x)-x為奇函數，故A選項錯誤；

由已知有：/(2—x)-/(x)+2x—2=0恒成立，

令x=2時，〃0)-〃2)+2=0①，

因為/(x)為奇函數，故/(2-x)+/(-x)+2x-2=0,

令x=0時，〃2)+〃())-2=0②，

由①②解得:/(0)=0,〃2)=2,故B選項正確；

由已知有:"2-x)-/(x)+2x—2=0恒成立，

即2T=/(x)r恒成立，

令g(x)=/(x)-x,則g(2-x)=g(x)恒成立，

由A選項知g(x)是奇函數，故g(2-x)=g(x)=-g(-x),

故g[2—(x+2)]=_g(—x—2),即g(-x)=-g(—x-2),

所以g(2-x)=g(-x-2),

所以g(x)是一個周期為4的周期函數，

則g(2022)=g⑵=/(2)-2=0,

所以/(2022)=g(2022)+2022=2022,故C選項正確；

由己知有：/(x)在R上可導，

對“2-x)-/(x)+2x-2=0求導有：/((2-x)(2-x)，-/((x)+2=0.

即r(2r)+r(x)=2,

令了句時，r(i)+r⑴=2,則/'⑴=1,

因為g'(x)=r(x)-i,所以《⑴=r(i)-i=o.

又因為g(x)是奇函數，故g'(x)是偶函數，所以g'(_l)=g'(l)=0,

因為g(x)是一個周期為4的周期函數，所以g'(x)也是一個周期為4的周期函數,

以下是證明過程：假設k(x)為周期為T的函數，則

/(*)=lim&…屮⑴=lim3+7+A)-F+T).，@+7),

AX右T°AX

所以k'(x)為周期為T的函數，

故/'(2023)=/(2023)+1=g'(2023—2024)+l=g'(—1)+1=1,故D選項正確.

故選：BCD

【點睛】結論點睛：設函數y=/(x),xeR,a>0,a'b.

(1)^f(x+a)=f(x-a),則函數/(x)的周期為2a；

(2)若〃x+a)=-/(x),則函數的周期為2a；

f(XCl\=-----7~~

(3)右八)〃x).則函數“X)的周期為2”；

(4)右/(工'+〃})=-/-73~'7則函數〃x)的周期為2”；

(5)若〃x+a)=/(x+b),則函數“力的周期為卜-小

(6)若函數“X)的圖象關于直線x=。與x=b對稱，則函數f(x)的周期為2物-血

(7)若函數“X)的圖象既關于點(〃,0)對稱，又關于點(40)對稱，則函數“X)的周期為2|6-a|；

(8)若函數〃x)的圖象既關于直線x=a對稱，又關于點色,0)對稱，則函數〃x)的周期為屮-小

(9)若函數"X)是偶函數，且其圖象關于直線x=〃對稱，則f(x)的周期為2”；

(10)若函數/(x)是奇函數，且其圖象關于直線x=。對稱，則f(x)的周期為4a.

三、填空題

13.E^Ilsinx-cosx=^^,則cos[2x+g)=.

【答案】=4

【分析】對sinx-cosx=@兩邊平方求出sin2x=g,結合誘導公式求出答案.

【詳解】因為sinx-cosx=@,兩邊平方得：l-2sinxcosx=l-sin2x=!

55

4

所以sin2x=g.

所以cos(2x+5]=_sin2x=-1.

4

故答案為：-w

14.有形狀完全相同的4個白球和4個紅球，若一個袋中放有3個白球和2個紅球，另一個袋中放

有1個白球和2個紅球，任選一個袋子取出一球，則恰好取出的是白球的概率為.

7

【答案徐

【分析】根據互斥事件和的概率等于互斥事件概率的和求解即可.

【詳解】解：設A表示選擇其中有3白球、2紅球的袋子，B表示取出白球，

/一\1

則P(A)=P(A)=5，

/.P(B)=P(A)x-+P(A)x-=—X-+—x-=—.

'丿'丿5'丿3252315

7

故答案為：—

15.在數列｛a｝中，%「(-1產a=2〃+1,則數列｛〃｝的前20項和為.

【答案】230

【分析】根據遞推公式得到從第一項起，依次相鄰兩奇數項的和為2,從第二項起，依次相鄰兩偶

數項的和組成以12為首項，16為公差的等差數列，進而分組求和即可.

【詳解】因為%-(-1廣％=2〃+1,

所以有：歷一4=2xl+l=3,by+b^=2x2+l=5,

b4—b3=2x3+l=7,b5+b4=2x4+l=9,

々-々=2x5+1=11,4+4=2x6+1=13,

-2x7+1=15,...

由此可得出：々+4=2,4+仇=12,仇+4=2,%+4=28,一，

所以從第一項起，依次相鄰兩奇數項的和為2,

從第二項起，依次相鄰兩偶數項的和組成以12為首項，16為公差的等差數列，

所以數列出｝的前20項和為：2x5+(12x5+gx5x4xl6)=230.

故答案為:230

16.若存在xe(0,yo),使得不等式e-alnx<alna成立，則實數”的取值范圍為.

【答案】(e,+8)

【分析】原不等式轉化為存在xe(O,M),xe'vln(6)e'M)成立，令〃(x)=m',由導數可知函數為

增函數，據此可得xvlnor,轉化為e,vox成立，分離參數求/(x)=￡的最小值即可.

【詳解】由題意：存在%￡(。,+°°),使得不等式e'-41nxvalna成立，

即ev<a\na+alnx=aIn(辦)成立，即心"<ln(ar)eln^成立，

令〃(x)=xe*,xe(O,+oo),則(x)=(x+1)，>0恒成立，

所以〃(力在(0,+8)上單調遞增，

所以只需xw((),啓)時，有x<ln(方)成立，即成立，

令/(x)=5,則/(x)=ye',

所以當x?0,l)時,r(x)<0；當時，制x)>0.

所以f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,3)上單調遞增.

所以f(x)的最小值為e.所以〃的取值范圍是(e,+8).

故答案為：(e,+8)

四、解答題

17.在銳角ABC中，角AB,C的對邊分別為。力,c,且滿足加inCcosC+csinCcosB=?/cosC.

⑴求角C的大小；

(2)求?的取值范圍.

b

【答案】(1)C=T

⑵加

【分析】(1)利用正弦定理化邊為角，結合兩角和的正弦公式及三角形內角關系即可得出答案；

(2)利用正弦定理將所求邊為角的形式，再結合三角函數的性質即可得出答案.

【詳解】(1)解：因為》sinCcosC+c、sinCcos8=G〃cosC,

所以sin8sinCcosC+sinCsinCcos8=百sinAcosC,

即sinC(sinBcosC+sinCcosB)=gsinAcosC,

即sinCsin(8+C)=sinCsinA二百sinAcosC,

又sinAw0,

所以tanC=G，

TV

因為0<。<兀，所以c=§；

73

(2)tz_sinA_sin(B+C)_sinBcosC+cosB-sinC_12

bsin3sinBsin82tan3

因為MC為銳角三角形，

0<B<-

2

所以解得

八.271_71o2

0<A=------B<一

32

所以—vtanB,所以11E

3一<—I--------<2

22tanB

即1的取值范圍為(；，2).

18.己知函數/。)=6'"*-0+1).

⑴求函數y=f(x)在點J(jyj處的切線方程；

(2)證明：函數y=f(x)在(-1,0］上有且僅有一個零點.

【答案】(l)x+y-e+l=0；

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據導數幾何意義求解.

(2)判斷函數y=f(x)在(-1,0］上單調性，然后觀察零點.

【詳解】⑴因為ra)=e%osxT,且佃=e_/l,=

所以切線方程為y-卜_］_1)=_卜_￡|,

即所求切線方程為x+y-e+1=0.

(2)/,(x)=esinx-cosx-l.

因為xe(-l,0］,所以sinxMO,esinx<1,0<cosx<l.

所以esMJcosxVl,所以/'(x)40,當且僅當x=0時取等號，

所以“力在(TO］上是減函數,且/⑼=0,

所以f(x)在(-1,0］上僅有一個零點.

19.已知數列｛2｝滿足4=2,且2《川+?！啊碧?24=0,數列｛〃,｝滿足"=a"q”，設也｝的前”項

和為S..

(1)求數列｛%｝的通項公式；求數列｛b,,｝的前，項和5?；

2"a

⑵設C〃二丁」，記數列｛C,,｝的前〃項和為卻7>公-24_1對〃￡N*恒成立，求尤的取值范圍.

bn

〃

【答案】(1)4=±2,5.=4-

⑵丸￡(-1,3)

【分析】(1)對2%”+““4+「2%=0變形得到丄-丄=:，得到［丄］是等差數列，求出通項公

%2a..

式，利用裂項相消法求和;

(2)得到C,=(〃+1)-2"T,利用錯位相減法求出判斷出刀,在〃eN*上單調遞增，求出

T“2T、=2,得到不等式，求出力的取值范圍.

【詳解】(1)因為2。用+?！?--2%=0,

2,2八111

所以一+1-------=0,所以-------=T(常數),

4a“+iq+ian2

故數列，丄|是以;為公差的等差數列，且首項為丄=1,

[a?]2q2

111,，、“

歷3“22(丿2'

一22

因為〃.----—=

n〃+1

所以S“=4°

出口上=2宀=(〃+1)”

(2)Q

b“4,%+i4川2

所以7；=1X2+2X3+22X4+23X5+L+2'"2-n+2"-'\n+\),

所以27；=2x2+2?X3+23X4+2，X5+L+2”T-1)+2",7+2".(”+1),

兩式相減得，-7；,=2+2+22+23+L+2”-1一2”?(〃+1)=2+---------2%(〃+1)=-小2〃,

1—2

所以4=小2”.

由H=(〃+1>2向_*2"=(〃+2)-2">0,

知7；在“eN.上單調遞增,

所以(*7；=2,所以萬一22-1<2,解得4e(-l,3).

20.已知直三棱柱ABC-A￡G中，側面為正方形，ABC為等腰直角三角形，且

A8=5C=2,E,尸分別為AC和CG的中點，。為棱厶￡上的點.

(1)證明：BFl^E；

(2)當片。為何值時，直線OE與平面BBCC所成線面角的正弦值為等.

【答案】(1)證明見解析

13

(2)與0=］或=/

【分析】（1）根據4旦BE=0證明即可.

（2）根據線面角的正弦等于線法角的余弦絕對值列式計算求解即可.

【詳解】（1）解：ABC為等腰直角三角形，且Afi=8C=2,

:.ZABC=90°.

又?.?三棱柱"aA4G為直三棱柱，

:.BB、丄平面ABC.

分別以向量34，BC，84的正方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系,

G為8c中點，連接EG,

則A(2,0,2),8(0,0,0),￡(1,1,0),尸(0,2,1),

.?.AE=(T,l,-2),BF=(0,2,l),

:.AiEBF=0+2-2=0,

BFLA.E.

(2)解：設4O=r(fe[0,2]),

則。(f,0,2),DF=(l-/,l,-2).

ABVBC,ABIBBt,BCBB,=B,BC,BB,c平面BCCtB1,

.:厶5丄平面3（76刀,

BA是平面BBCC的一個法向量且84=（2,0,0）.

直線OE與平面BB?C所成的線面角的正弦值為粵,

:.\cos(DE,BA

21

化簡得：（-）2=：且rw[0,2],

1T3

?或f=x，

22

13

即用。=5或=[

21.某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發投入，其研發的檢驗試劑品a分為兩類不同

33

劑型囚和現對其進行兩次檢測，第一次檢測時兩類試劑必和％合格的概率分別為嗎，第

二次檢測時兩類試劑必和%合格的概率分別為三4和彳2.已知兩次檢測過程相互獨立，兩次檢測均合

格，試劑品a才算合格.

(1)設經過兩次檢測后兩類試劑四和%合格的種類數為X,求X的分布列和數學期望;

(2)若地區排查期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫護人員要對

其家庭成員逐一使用試劑品a進行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結束，并確定該家庭為“感

染高危戶設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為。且相互獨立，該家庭至少檢測了3

個人才確定為“感染高危戶”的概率為f(P),若當夕=%時，八。)最大，求力的值.

【答案】⑴分布列見解析，1

Q)Po="*

【分析】(1)先得到劑型/與a?合格的概率，求出X的所有可能取值及相應的概率，得到分布列,

求出期望值;

(2)求出+0=(l_p)2p(2-p),令X=l-p,得到

22

g(x)=x(l-x)(0<x<l),利用基本不等式求出最值，得到答案.

343

【詳解】(1)劑型/合格的概率為：=|

322

劑型%合格的概率為：=

由題意知X的所有可能取值為0,1,2.

則p(x=o)=H、「一1

尸(X=l)=(l-|12、13

551525,

_z__326

P(X=2)=-x-=-)

則X的分布列為

X012

6136

P

252525

數學期望E(X)=0x卷+lx導2x桜=1.

(2)檢測3人確定“感染高危戶”的概率為(1-,

檢測4人確定“感染高危戶”的概率為(1-p)3p,

令x=l-p,因為。<pvl,所以Ovxvl,

原函數可化為g(x)=Y(l-x2)(O<x<l).

當且僅當戸=1一/,即》=正時，等號成立.

2

此時夕=1一,，所以為=1一字.

22.已知函數/OOngV+axa-inx,-inx.

⑴當。=1時，求函數/*)的極值.

⑵右/(X)有二個極值點X|,X2,Xj,且X]<X2<Xj,

①求實數a的取值范圍；

②證明：x1+x3+4xlx3>3a.

3

【答案】(I)極小值為5,無極大值

(2)①a>2；②證明見解析

【分析】(1)求出函數的導數，判斷其正負，確定函數單調性，進而求得函數f(x)的最小值；

(2)①當時，判斷函數的單調性，說明不合題意，當。>2時，根據導數判斷函數的單調情況,

結合零點存在定理，判斷函數有三個零點，符合題意；

②由題意可判斷三個零點的范圍且滿足占毛=1,因為要證明%+三+4%巧>3a,即％+4+丄>3a,

X3

也即工：+4七+1>3%，又因為鼻一丄=。応3,故只要證明ah%>,故構造函數

X3X3+4七+1

S(R=hu=,(MT,利用其單調性證明]舊>3(.7)即可證明結論成立.

'丿x2+4x+ix2+4x+l

【詳解】(1)解：當a=l時，/z(x)=x---lnx,

if3

令g(x)=/'(x)=x—丄一Inx,則x2-x+\

xg(x)=-^22丿4>°，

X

所以函數g(x)在(0,+00)上單調遞增,

由g(l)=o，所以x?0,l)時，r(x)=g(x)<0；

當xe(i,+oo)時，r(x)=g(x)>o.

所以f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,內)上單調遞增，

所以函數“X)有極小值為〃1)=T，無極大值；

(2)①解：由g(x)=r(x)=x-g-alnx(x>0),

所以￡1kq