有理數學問網絡構造圖學問點1：有理數的根本概念中考要求：有理數理解有理數的意義會比較有理數的大小數軸能用數軸上的點表示有理數；知道實數與數軸上的點的對應關系會借助數軸比較有理數的大小相反數會用有理數表示具有相反意義的量，借助數軸理解相反數的意義，會務實數的相反數駕馭相反數的性質肯定值借助數軸理解肯定值的意義，會務實數的肯定值會利用肯定值的學問解決簡潔的化簡問題學問點總結：正數、負數、有理數隨著同學們視野的拓展，小學學過的自然數、分數和小數已經不能滿意認知須要了.譬如一些具有相反意義的量，收入300元和支出200元，向東50米和向西30米，零上和零下等等，它們不但意義相反，而且表示肯定的數量，怎么表示它們呢？我們把一種意義的量規定為正的，把另一種和它意義相反的量規定為負的，這樣就產生了正數和負數.正數：像、、等的數，叫做正數.在小學學過的數，除.負數：像、、、.既不是正數，也不是負數.一個數字前面的“＋〞，“－〞號叫做它的符號.正數前面的“＋〞可以省略，留意與表示是同一個正數.用正、負數表示相反意義的量：假如正數表示某種意義，則負數表示它的相反的意義，反之亦然.譬如：用正數表示向南，則向北可以用負數表示為.“相反意義的量〞包括兩個方面的含意：一是相反意義；二是相反意義的根底上要有量.有理數:按定義整數與分數統稱有理數.注：⑴正數和零統稱為非負數；⑵負數和零統稱為非正數；⑶正整數和零統稱為非負整數；⑷負整數和零統稱為非正整數.板塊一、根本概念例題講解1、選擇下面是關于0的一些說法，其中正確說法的個數是〔〕①0既不是正數也不是負數；②0是最小的自然數；③0是最小的正數；④0是最小的非負數；⑤0既不是奇數也不是偶數.2、下面關于有理數的說法正確的選項是〔〕．A．有理數可分為正有理數和負有理數兩大類.B.正整數集合與負整數集合合在一起就構成整數集合C.整數和分數統稱為有理數D.正數、負數和零的統稱為有理數板塊二、數軸、相反數、倒數、肯定值3、和是滿意≠0的有理數，現有四個命題：①的相反數是；②的相反數是的相反數與的相反數的差；③的相反數是的相反數和的相反數的乘積；④的倒數是的倒數和的倒數的乘積．其中真命題有()A.1個B.2個C.3個D.4個4、一個數的肯定值大于它本身，則這個數是()A、正有理數 B、負有理數 C、零 D、不行能5、數軸上分開原點2個單位長度的點表示的數是____________；6、有理數-3，0，20，-1.25，1.75，-∣-12∣，-〔-5〕中，正整數有________個，非負數有______個；7、肯定值最小的有理數是________；肯定值等于3的數是______；肯定值等于本身的數是_______；肯定值等于相反數的數是_________數；一個數的肯定值肯定是________數。________，肯定值是________，倒數是________。9、平方是它本身的數是；倒數是它本身的數是；相反數是它本身的數是；立方是它本身的數是。肯定值小于4的全部整數的和是________；肯定值大于2且小于5的全部負整數的和是________。10、在數軸上任取一條長度為的線段，則此線段在這條數軸上最多能蓋住的整數點的個數為學問點2：比較大小比較大小的主要方法：代數法：正數大于非正數，零大于負數，對于兩個負數，肯定值大的反而小．數軸法：數軸右邊的數比左邊的數大．作差法：，，．作商法：假設，，，，．取倒法：分子一樣，通過比較分母從而斷定兩數的大小．板塊一、數軸法、為有理數，在數軸上如下圖，則〔〕A.B.C.D.數所對應的點在數軸上的位置如下圖，則與的大小關系假設有理數在數軸上的位置如下圖，則以下各式中錯誤的選項是〔〕A．B．C．D．在數軸上畫出表示各數的點，并按從小到大的依次重新排列，用“〞；連接起來實數在數軸上的對應點如圖，試比較的大小板塊二、代數法比較大小：把四個數和用“＜〞號連接起來比較，，，，的大小．，則，，的大小關系是什么？假設，則的大小關系假如，請用“〞將，，，，，連接起來.假設，，試不用將分數化小數的方法比較，的大小．學問點3：運算與運算法則有理數根本加、減混合運算有理數加法法則：①同號兩數相加，取一樣的符號，并把肯定值相加.②肯定值不相等的異號兩數相加，取肯定值較大的加數符號，并用較大的肯定值減去較小的肯定值.③一個數同0相加，仍得這個數.有理數加法的運算步驟：法則是運算的根據，根據有理數加法的運算法則，可以得到加法的運算步驟：①確定和的符號；②求和的肯定值，即確定是兩個加數的肯定值的和或差.有理數加法的運算律：①兩個加數相加，交換加數的位置，和不變.(加法交換律)②三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變.(加法結合律)有理數加法的運算技巧：①分數與小數均有時，應先化為統一形式.②帶分數可分為整數與分數兩部分參與運算.③多個加數相加時，假設有互為相反數的兩個數，可先結合相加得零.④假設有可以湊整的數，即相加得整數時，可先結合相加.⑤假設有同分母的分數或易通分的分數，應先結合在一起.⑥符號一樣的數可以先結合在一起.有理數減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數.有理數減法的運算步驟：①把減號變為加號〔變更運算符號〕②把減數變為它的相反數〔變更性質符號〕③把減法轉化為加法，根據加法運算的步驟進展運算.有理數加減混合運算的步驟：①把算式中的減法轉化為加法；②省略加號與括號；③利用運算律與技巧簡便計算，求出結果.留意：根據有理數減法法則，減去一個數等于加上它的相反數，因此加減混合運算可以根據上述法則轉變為只有加法的運算，即為求幾個正數，負數和0的和，這個和稱為代數和.為了書寫簡便，可以把加號與每個加數外的括號均省略，寫成省略加號和的形式.板塊二、有理數根本乘法、除法有理數乘、除法Ⅰ：有理數乘法有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把肯定值相乘.任何數同0相乘，都得0.有理數乘法運算律：①兩個數相乘，交換因數的位置，積相等.(乘法交換律)②三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等.(乘法結合律)③一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加.(乘法安排律)有理數乘法法則的推廣：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數確定，當負因數的個數是偶數時，積為正數；負因數的個數是奇數時，積為負數.②幾個數相乘，假如有一個因數為0，則積為0.③在進展乘法運算時，假設有帶分數，應先化為假分數，便于約分；假設有小數與分數，一般先將小數化為分數，或湊整計算；利用乘法安排律與其逆用，也可簡化計算.在進展有理數運算時，先確定符號，再計算肯定值，有括號的先算括號里的數.Ⅱ：有理數除法有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數.，()兩數相除，同號得正，異號得負，并把肯定值相除；0除以任何一個不等于0的數，都得0.有理數除法的運算步驟：首先確定商的符號，然后再求出商的肯定值.例題講解板塊一、有理數的加減運算1、以下各組數中，數值相等的是〔〕A、－〔－2〕和+〔－2〕；B、－22和〔－2〕2；C、－32和〔－3〕2；D、—23和〔－2〕2、兩數相加，其和小于每一個加數，則〔〕.A、這兩個數相加肯定有一個為零.B、這兩個加數肯定都是負數.C、這兩個加數的符號肯定一樣.D、這兩個加數一正一負且負數的肯定值大3、計算：⑴ ⑵⑶ ⑷⑸⑹⑺ ⑻⑼板塊二、有理數的乘除運算奇數個負數相乘，積的符號為，個負數相乘，積的符號為正.計算以下各題：⑴；⑵⑶⑷⑸⑹⑺3、計算⑴；⑵⑶；⑷⑸；⑹學問點四、字母相關的運算1、假設，則________。2、假設則________。3、假設，則得值是；假設，則得值是.4、的最小值是，此時=。5、假設a,b互為相反數，c,d互為倒數，且，則.6、|a|=5,|b|=2,ab<0.求：3a+2b的值7、x=時，求代數式的值。8、互為相反數，互為負倒數，的肯定值等于，求的值設三個互不相等的有理數，既可分別表示為的形式，又可分別表示為的形式，則10、、互為相反數，、互為負倒數，的肯定值等于它相反數的倍.求的值.11、假如,則的結果是()A、0B、C、D、212、假設│χ∣=5，y2=4,且xy＜0，則x+y=;13、假設a,b互為倒數，m,n互為相反數，則；14、假設則=；15、利用數軸求的最小值，求的最小值16、〔1〕求的值；〔2〕當時，求的值。學問點五、字母性質的推理1、假如，則肯定成立的是()A．是的相反數 B．是的相反數C．是的倒數 D．是的倒數2、、、為非零有理數，它們的積必為正數的是〔〕A．，、同號B．，、異號C．，、異號D．、、同號3、假設三個數互不相等，則在中，正數肯定有()A．個 B．個 C．個 D．個4、用“＞〞或“＜〞填空⑴假如，則0；⑵假如，則0.5、假如，，且，試確定、、的符號.6、,以下說法中，正確的選項是〔〕；A、假設│a∣＞│b∣,則a＞b;B、假設│a∣=│b∣，則a=b;C、假設，則a＞b;D、假設0＜a＜1，則a＜。7、假如a、b兩有理數滿意a>0，b<0，<，則下面關系式中正確的選項是()A、－a<b<a<－b B、b<－a<a<－bC、－a<－b<b<a D、b<－a<－b<a8、假設x＜0，則等于〔〕A、－xB、0C、2xD、－2x9、對隨意實數a，以下各式肯定不成立的是〔〕A、B、C、D、10、a＜0，且，則的值是〔〕A、等于1B、小于零C、等于D、大于零11、化簡：12、有理數a,b,c在數軸上的位置如下圖，，試化簡baba0c學問點六：應用1、某班抽查了10名同學的期末成果，以80分為基準，超出的記為正數，缺乏的記為負數，記錄的結果如下：+8，-3，+12，-7，-10，-4，-8，+1，0，+10；①，這10名同學的中最高分是多少？最低分是多少？②，10名同學的平均成果是多少？2、小李上周末買進股票1000股,每股20元,下表為本周每股票的漲跌狀況:星期一二三四五每股漲跌＋4＋5－1－3－6周三收盤時,小李所持股票每股多少元本周內,股票最高價出如今星期幾是多少元‰‰的手續費和3‰的交易稅,假設小李在本周末賣出全部股票,他的收益如何一輛貨車從超市動身，向東走了到達小彬家，接著向前走了到達小穎家，然后向西走了到達小明家，最終回到超市⑴以超市為原點，向東作為正方向，用個單位長度表示，在數軸上表示出小明，小彬，小穎家的位置⑵小明家間隔小彬家多遠？⑶貨車一共行駛了多少千米？4、初一〔4〕班在一次聯歡活動中，把全班分成5個隊參與活動，嬉戲完畢后，5個隊的得分如下：隊：-50分；隊：150分；隊：-300分；隊：0分；隊：100分．⑴將5個隊按由低分到高分的依次排序；⑵把每個隊的得分標在數軸上，并將代表該隊的字母標上；⑶從數軸上看隊與隊相差多少分？隊與隊呢？5、“十·一〞黃金周期間，西樵山風景區在7天假期中每天旅游的人數變更如下表〔正數表示比前一天多的人數，負數表示比前一天少的人數〕：日期1日2日3日4日5日6日7日人數變更單位：萬人假設9月30日的游客人數記為5萬人，則10月2日的游客人數：萬人。請推斷七天內游客人數最多的是日，最少的是日。以9月30日的游客人數為0點，用折線統計圖表示這7天的游客人數狀況：學問點七、科學計數法與有效數字學問點總結科學記數法：把一個大于10的數表示成的形式〔其中，是整數〕，此種記法叫做科學記數法．例如：就是科學記數法表示數的形式．也是科學記數法表示數的形式．有效數字：從一個數的左邊第一個非0數字起，到末位數字止，全部數字都是這個數的有效數字．如：有兩個有效數字：2，7；有5個有效數字：1，2，0，2，留意：萬，億常考點與易錯點：科學計數法中的單位轉換，精確到什么位與保存有效數字的差異．記憶方法：挪動幾位小數點問題．比方：要科學記數法，實際就是小數點向左挪動到和之間，挪動了位，故記為．例題講解1、上海世博會的開幕式中，煙花的燃放是美景之一，而我們是先看到煙花，再聽見聲音，其緣由是光的傳播速度大于聲音的傳播速度.在常溫下光的傳播速度約為300000000m/s，聲音的傳播速度約為340m/s.將300000000用科學記數法表示為〔〕A． B． C． D．2、全球可被人類利用的淡水總量僅占地球上總水量的0.00003，因此珍惜水、愛護水，是我們每一位公民義不容辭的責任〔〕A．B．C．D．3、2021年北京市高考人數約8萬人，其中統考生僅7.4萬人，創六年來人數最低.請將74000用科學記數法表示為〔〕A．B．C．D．4、某種感冒病毒的直徑為0.0000000031米，將0.0000000031用科學記數法表示為〔〕×109×10-8×109×10-95、〔〕A． B． C． D．學問點八：找規律1、找規律計算：2、先閱讀第〔1〕小題的計算過程，再計算第〔2〕小題；計算：解：原式=〔2〕計算：〔3〕3、視察以下圖形：它們是按肯定規律排列的，按照此規律，第16個圖形共有個★，第n個圖形共有個★4、視察以下等式：根據你發覺的規律，解答以下問題：〔1〕寫出第5個等式；〔2〕第10個等式；〔3〕第n個等式；5、視察下面的式子：⑴小明歸納了上面各式得出一個揣測：兩個有理數的積等于這兩個有理數的和，小明的揣測正確嗎？為什么？⑵請你視察上面各式的構造特點，歸納出一個揣測，并證明你的揣測6、用※代表一種運算，假設，試求值：〔1〕5※6，〔2〕2※〔3※4〕重點題型總結與應用題型一肯定值理解肯定值的意義與性質是難點，由于|a|表示的是表示數a的點到原點的間隔，因此|a|≥0．可運用|a|的非負性進展求解或推斷某些字母的取值．例1假如a與3互為相反數，則|a+2|等于()A．5B．1C．-1D．-5例2假設(a-1)2+|b+2|＝0，則a+b＝.規律假設幾個非負數的和為0，則這幾個數分別為0．題型二有理數的運算有理數的運算包括加減法、乘除法與乘方，是初中數學運算的根底．要熟記法則，敏捷運算，進展混合運算時，還要留意運算依次與運算律的應用．例3(-1)2011的相反數是()A．1B．-1C．2011D．-2011例4計算：(1)；(2)．題型三運用運算律簡化運算過程運用加法的交換律、結合律，把某些具有一樣屬性的數(如正數、負數、分數中的分母具有倍數關系、相反數等)分別結合在一起相加，可以簡化運算過程．例5計算以下各題．(1)21-49．5+10．2-2-3．5+19；(2)；(3)；(4)．點撥(1)正、負數分別結合相加；(2)分數中，同分母或分母有倍數關系的分數結合相加；(3)除法轉化為乘法，正向應用乘法安排律；(4)逆向應用安排律a(b+c)＝ab+ac，即ab+ac＝a(b+c)．題型四利用特別規律解有關分數的計算題根據題目特點，敏捷將算式變形，對不同算式實行運算依次重新組合、因數分解、裂項等不同的方法，到達優化解題過程、簡化計算、解決問題的目的．例6計算以下各題．(1)；(2)；(3)(4).點撥利用規律特點，敏捷解分數計算題，須要仔細視察，留意常常訓練，進步思維的敏捷性．題型五有理數運算的應用用正負數可以表示相反意義的量，有理數的運算在生活中的應用非常廣泛，其中，有理數的加法、減法與乘法運用較多．做題時，要仔細分析，列出算式，并精確計算．例7有8箱橘子，以每箱15千克為標準，超過的千克數記為正數，缺乏的千克數記為負數，現記錄如下(單位：千克)：1．2，-0．8，2．3，1．7，-1．5，-2．7，2，-0．2，則這8箱橘子的總重量是多少例8一貨車為一家摩托車配件批發部送貨，先向南走了8千米，到達“華能〞修理部，又向北走了3．5千米，到達“捷達〞修理部，接著向北走了7．5千米，到達“志遠〞修理部，最終又回到批發部．(1)以批發部為原點，以向南方向為正方向，用1個單位長度表示1千米，你能夠在數軸上表示出“華能〞“捷達〞“志遠〞三家修理部的位置嗎(2)“志遠〞修理部距“捷達〞修理部多遠(3)貨車一共行駛了多少千米題型六探究數字規律找數字規律的題目成為近幾年中考的熱點問題，這類題目敏捷多變．解題時要仔細視察、分析思索，找出規律，并運用規律解決問題．例9某種細菌在繁殖過程中，每半小時分裂一次，由一個分裂成兩個，2．5小時后，這種細菌可分裂為()A．8個B．16個C．32個D.64個例10視察圖1-6-2，找尋規律，在“〞處應填上的數字是()A．128B．136C．162D．188解析：視察圖個數字特點可發覺：8＝4+2+2；14＝8+4+2；26＝14+8+4；…．所以“〞＝88+48+26＝162．答案：C思想方法歸納本章中所表達的數學思想方法主要有：1．數形結合思想：在本章中，自始至終利用數軸來定義或描繪有理數的概念和運算，數軸成為理解有理數與其運算的重要工具．這種把數與形(圖形或數軸)結合起來進展探討的思想方法，是學習數學的重要思想方法．2．分類探討思想：a與-a哪個大呢a的肯定值等于什么在本章中，我們都是通過分類探討解決問題，分類探討可以把一個困難的問題分成假設干個較簡潔的問題來處理，這是數學中處理問題的一種重要思想方法．不重復、不遺漏是對分類探討提出的根本要求．例如，我們常把有理數分成正有理數、負有理數和零三類，假如遺漏了零，只考慮正有理數和負有理數兩種狀況，就會犯錯誤．3．轉化思想：有理數的加法是通過符號法則轉化為肯定值(小學所學的數)的加減法進展的；有理數的減法是通過轉化