2023年湖南省張家界市中考數學試卷

1

C.2023D.-2023

2023

,其主視圖是（

)

A.(x+2產=/+4B.a2-a4=a8

C.(2%3)2=4%6D.2x2+3x2=5x4

4.下列說法正確的是（）

A.扇形統計圖能夠清楚地反映事物的變化趨勢

B.對某型號電子產品的使用壽命采用全面調查的方式

C.有一種游戲的中獎概率是"則做5次這樣的游戲一定會有一次中獎

D.甲、乙兩組數據的平均數相等，它們的方差分別是S懦=02,=0.03,則乙比甲穩定

5.如圖，已知直線EG平分4BEF,41=40°,則42的

度數是（）

A.70°

B.50°

C.40°

D.140°

6.《四元玉鑒》是我國古代的一部數學著作.該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百

一十錢，情人去買幾株椽.每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”，大意是：現請人代買一批椽，

這批椽的總售價為6210文.如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費

恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設6210文購買椽的數量為x株，則符

合題意的方程是（）

A”Y、6210

A.3(x-l)=—B.3(x-1)=6210

c八6210

c.3(x-1)=—D.警=3x

%—1

7.”萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業生產中廣泛使用的一

種圖形.如圖，分別以等邊△ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧,

三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”.若等邊△力BC的邊長為3,

則該“萊洛三角形”的周長等于（）

A.nB.37rC.27rD.271-0

8.如圖，矩形OABC的頂點A,C分別在y軸、x軸的正半

軸上，點。在AB上，且AD=%B,反比例函數y=《（k>0）

的圖象經過點D及矩形OABC的對稱中心M,連接0M,

DM.若AODM的面積為3,則&的值為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

9.“仙境張家界，峰迷全世界”，據統計，2023年“五一”節假日期間，張家界市各大景

區共接待游客約864000人次.將數據864000用科學記數法表示為.

10.因式分解：x2y+2xy+y=.

11.已知關于x的一元二次方程/-2x-a=0有兩個不相等的實數根，則〃的取值范圍是

12.2023年4月24日是我國第八個“中國航天日”，某校開展了一次航天知識競賽，共選

拔8名選手參加總決賽，他們的決賽成績分別是95,92,93,89,94,90,96,88.則這8名

選手決賽成績的中位數是

13.如圖，AO為NB4C的平分線，且4BAC=50。，將四邊

形ABOC繞點、A逆時針方向旋轉后，得到四邊形AB'0'C',

且乙。4（7'=100°,則四邊形ABOC旋轉的角度是.

O

14.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標為(1,1),筋］是以點

3為圓心，8A為半徑的圓?。皇皇且渣c。為圓心，。必為半徑的圓?。徊∈且渣cC為

圓心，。必為半徑的圓弧；幣;是以點A為圓心，為半徑的圓弧，繼續以點從。、C、A

為圓心，按上述作法得到的曲線力44…稱為正方形的“漸開線”，則點々023的坐標

是.

15.計算：|-q|-(4-7r)°-2sin60°+(》T.

16.先化簡(x—i—三)十J三，然后從-1,1,2這三個數中選一個合適的數代入求值.

17.為拓展學生視野，某中學組織八年級師生開展研學活動，原計劃租用45座客車若干輛，

但有15人沒有座位；若租用同樣數量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿.現

有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：

甲型客車乙型客車

載客量(人/輛)4560

租金(元/輛)200300

(1)參加此次研學活動的師生人數是多少？原計劃租用多少輛45座客車？

(2)若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應該怎樣租用才合算？

18.如圖，已知點A,D,C,B在同一條直線上，S.AD=BC,AE=BF,CE=DF.

(1)求證：AE//BF；

(2)若Z)F=FC時，求證：四邊形力ECF是菱形.

19.2022年4月21日新版《義務教育課程方案和課程標準(2022年版)》正式頒布，優化了

課程設置，其中將勞動教育從綜合實踐活動課程中獨立出來.某校為了初步了解學生的勞動教

育情況，對九年級學生“參加家務勞動的時間”進行了抽樣調查，并將勞動時間X分為如下

四組(4：x<70；B：70<x<80；C：80<x<90；D-.x>90,單位：分鐘)進行統計,

繪制了如下不完整的統計圖.

根據以上信息，解答下列問題：

(1)本次抽取的學生人數為人，扇形統計圖中〃?的值為;

(2)補全條形統計圖；

(3)已知該校九年級有600名學生，請估計該校九年級學生中參加家務勞動的時間在80分鐘(

含80分鐘)以上的學生有多少人？

(4)若。組中有3名女生，其余均是男生，從中隨機抽取兩名同學交流勞動感受，請用列表法

或樹狀圖法，求抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的概率.

20.“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色.某數學興趣小組用無人機測量奇

樓AB的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面225根的尸點，測得奇樓頂

端A的俯角為15。,再將無人機沿水平方向飛行200,”到達點Q,測得奇樓底端B的俯角為45。，

求奇樓AB的高度.(結果精確到1m,參考數據：sinl5°?0.26,cosl5°工0.97,tanl5°?0.27)

21.閱讀下面材料:

將邊長分別為a,a+yf~b<a+2，F，a+石的正方形面積分別記為S?,S3,S4.

則S2-Si=(a+S)2-a2

=[(a+V-T)+a]-[(a+b)—a]

=(2a+yT~b)-y/~~b

=b+2a\/-b

例如：當a=l,b=3時，S2~S1=3+2>/~1

根據以上材料解答下列問題：

(1)當a=1,b=3時，S3—S2-，S4—S3-；

(2)當a=1,6=3時，把邊長為a+肛門的正方形面積記作%+i，其中〃是正整數，從(1)中

的計算結果，你能猜出Sn+i-Sn等于多少嗎？并證明你的猜想；

(3)當a=l,b=3時，令ti=S2-S],t2=S3-S2>t3=S4—S3,??-,tn=Sn+1—Sn,且

T=tr+t2+t3+—+t50,求T的值.

22.如圖，。。是△力BC的外接圓，A￡>是。。的直徑，尸是AO延長線上一點，連接CD,

CF,JELZDCF=Z.CAD.

(1)求證：CF是。。的切線；

(2)若4D=10,cosB=|,求FQ的長.

23.如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點做一2,0)

和點8(6,0)兩點，與>軸交于點C(0,6).點。為線段8C上的一動點.

(1)求二次函數的表達式；

(2)如圖1,求△4。。周長的最小值：

(3)如圖2,過動點。作。P〃4C交拋物線第一象限部分于點P,連接PA,PB,記AP4。與仆PBD

的面積和為S,當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值.

（圖1）（圖2）

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：藕的相反數是一康，

故選：B.

只有符號不同的兩個數，我們稱這兩個數互為相反數.

本題主要考查的是相反數的定義，屬于基礎題型.解決這個問題只要明確相反數的定義即可.

2.【答案】D

【解析】解：從正面看，一共有兩列，從左到右小正方形的個數分別為3、1.

故選：D.

找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中.

本題考查了簡單組合體的三視圖，解題時注意從正面看得到的圖形是主視圖.

3.【答案】C

【解析】解：4(x+2)2=/+4%+4,故該選項不符合題意：

B.a2-a4=a6,故該選項不符合題意；

C.(2x3)2=4x6,故該選項符合題意；

D.2x2+3x2=5x2,故該選項不符合題意；

故選：C.

根據完全平方公式，同底數幕的乘法，幕的乘方與積的乘方以及合并同類項法則，逐項分析判斷

即可求解.

本題考查了完全平方公式，同底數幕的乘法，累的乘方與積的乘方以及合并同類項法則，熟練掌

握以上運算法則以及乘法公式是解題的關鍵.

4.【答案】D

【解析】解：4折線統計圖能夠清楚地反映事物的變化趨勢，故不符合題意；

8.對某型號電子產品的使用壽命采用抽樣調查的方式，故不符合題意；

C.有一種游戲的中獎概率是4，則做5次這樣的游戲不一定會有一次中獎，故不符合題意；

D甲、乙兩組數據的平均數相等，它們的方差分別是51=02,S1=0.03,則乙比甲穩定，故符

合題意.

故選：D.

分別根據扇形統計圖的特點，全面調查和抽樣調查，概率的意義和方差的意義判斷即可.

本題考查了扇形統計圖的特點，全面調查和抽樣調查，概率的意義和方差的意義，熟練掌握這些

定義是關鍵.

5.【答案】A

【解析】解：???41=40°,

4BEF=180°-Z1=180°-40°=140°,

vEG平分4BEF,

4BEG=乙FEG=70°,

AB//CD,

Z2=4BEG=70°.

故選：A.

由平角的定義可得NBEF=140。，由角平分線的定義可得NBEG=乙FEG=70。，再利用兩直線平

行，內錯角相等即可求解.

本題主要考查平角的定義、角平分線的定義、平行線的性質，熟練掌握角平分線的定義和平行線

的性質是解題關鍵.

6.【答案】C

【解析】解：設6210元購買椽的數量為x株，則一株椽的價錢為必竺，

X

由題意得：3(%-1)=67。,

故選：C.

設6210元購買椽的數量為五株，根據單價=總價+數量，求出一株椽的價錢為必把，再根據少拿一

x

株椽后剩下的椽的運費恰好等于i株椽的價錢，即可列出分式方程，得到答案.

本題考查了從實際問題中抽象出分式方程，正確理解題意找出等量關系是解題關鍵.

7.【答案】B

【解析】解：???AABC是等邊三角形,

:.AB=BC=AC=3,Z-A=乙B=Z.C=60°,

:.AB=BC=AC?

6

v&的長=篙3=n,

1OU

該“萊洛三角形”的周長是37r.

故選：B.

由等邊三角形的性質得到觸=BC=AC，由弧長公式求出筋的長=兀，即可求出“萊洛三角形”

的周長.

本題考查弧長的計算，等邊三角形的性質，關鍵是由弧長公式求出?的長.

8.【答案】C

【解析】解：???四邊形OCBA是矩形，

AB=OC,OA=BC,設8點的坐標為(a,b),

?.■矩形0ABe的對稱中心M,

???延長OM恰好經過點8,“(碧)，

?:點D在AB上,HAD=\AB,

4

0(

3

n=a

o4-

:,SABDM=lBD1/l=X(*-2)=^6ab,

在反比例函數的圖象上，

1,,

??-ab=

4

113

VS〉ODM=S&AOB-S&AOD-S&BDM=2^-16^^=

???ab=16,

,1,.

1,k=二ab=4,

4

故選：c.

設B點的坐標為(a,b),根據矩形對稱中心的性質得出延長0M恰好經過點確定D(%b),

然后結合圖形及反比例函數的意義，得出SA。?！?SMOB-SMOD-SABDM=3,代入求解即可.

本題考查了矩形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識，熟練掌握和靈

活運用相關知識是解題的關鍵.

9.【答案】8.64x105

【解析】解:864000=8.64x10s.

故答案為：8.64x105.

科學記數法的表示形式為ax10"的形式，其中lW|a|<10,"為整數.確定"的值時，要看把原

數變成a時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，

〃是正整數；當原數的絕對值<1時，〃是負整數.

此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10九的形式，其中1<\a\<10,n,

〃為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及〃的值.

10.【答案】y(x+l)2

【解析】解：x2y+2xy+y

=y(x2+2x+1)

=y(x+I)2.

故答案為：y(x+l)2.

此多項式有公因式，應先提取公因式，再對余下的多項式進行觀察，有3項，可采用完全平方公

式繼續分解.

本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般

來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解.

11.【答案】。>一1

【解析】解：根據題意得A=(―2y一4x1x(-a)>0,

解得a>-1.

故答案為：a>—1.

根據判別式的意義得到4=(一27-4x1x(-a)>0,然后解不等式即可.

本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+汝+c=0(a清0)的根與/=b2-4ac有如下關系：

當4>0時，方程有兩個不相等的實數根；當4=0時，方程有兩個相等的實數根；當A<。時，方

程無實數根.

12.【答案】92.5

【解析】解:把數據95,92,93,89,94,90,96,88按照從小到大排列是：88,89,90,92,

93,94,95,96,

二這組數據的中位數是(92+93)+2=92.5,

故答案為：92.5.

把題目中的數據按照從小到大排列，然后即可計算出相應的中位數.

本題考查中位數，解答本題的關鍵是明確中位數的定義，會算一組數據的中位數.

13.【答案】750

【解析】解：???4。為血C的平分線,LBAC=50",

Z.BAO=Z.CAO=^LBAC=25°,

依據旋轉的性質可知NC'4。'=ACAO=25。，旋轉角為〃MO',

A^OAO'=Z.OAC-NC'AO'=100°-25°=75°.

故答案為：75。.

依據AO為/BAC的平分線可知，/.BAO=^CAO=^BAC=25°,依據旋轉的性質可知NC'40'=

Z.CAO=25°,旋轉角為NOAO',N04。'=^OAC'-4C'4O'代入數據即可得解.

本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定，菱形的判定，熟練運用旋轉的性質

是本題的關鍵.

14.【答案】(—2023,1)

【解析】解：:A點坐標為(L1)，且4為A點繞8點順時針旋轉90。所得，

二公點坐標為(2,0),

又???冬為4點繞。點順時針旋轉90。所得，

出點坐標為(。，-2)，

又?.?久為42點繞C點順時針旋轉90°所得，

???①點坐標為(-3,1),

又???人4為人3點繞A點順時針旋轉90°所得，

???44點坐標為(1,5)，

由此可得出規律:An為繞8、0、C、A四點作為圓心依次循環順時針旋轉90。,且半徑為1、2、3、……、

n,每次增加1.

?.....??2023+5=505.3,

故42023為以點C為圓心，半徑為2022的42022順時針旋轉90°所得，

故4023點坐標為(-2023,1).

故答案為：(-2023,1).

將四分之一圓弧對應的A點坐標看作順時針旋轉90。，再根據A、A1、人2、人3、4的坐標找到規

律即可.

本題考查了點坐標規律探索，通過點的變化探索出坐標變化的規律是解題的關鍵.

15.【答案】解：|一二|一(4一兀)°一2sin60°+(尸

=7^-1-2X^+5

=V^-l-<3+5

=4.

【解析】本題涉及零指數幕、負整數指數累、絕對值、特殊角的三角函數值、二次根式化簡5個

知識點.在計算時，需要針對每個知識點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果.

本題主要考查了實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題目的關鍵是

熟練掌握零指數基、負整數指數累、絕對值、特殊角的三角函數值、二次根式等知識點的運算.

16.【答案】解：（x—i一2）一1之

Ix+VX2+2X+1

=1）0+1）_30+1）2

-x+1%+1%2—4

%2—4（%+I）2

~x+1%2-4

=x+1,

???x+10,%2+2%+10,

二xH-1）

將x=l代入上式，得：原式=1+1=2.

【解析】先根據整式的運算法則進行運算，再化簡結果，注意代入的值不可令分母為0,求解即

可.

本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式，注意分母不能為零.

17.【答案】解：（1）設參加此次研學活動的師生人數是x人，原計劃租用y輛45座客車.

根據題意,得｛懿二歌:,

解得｛aU°

答：參加此次研學活動的師生人數是600人，原計劃租用13輛45座客車；

（2）租45座客車：600+45=14（輛），所以需租14輛，租金為200x14=2800（元），

租60座客車：600+60=10（輛），所以需租10輛，租金為300x10=3000（元），

???2800<3000,

???租用14輛45座客車更合算.

【解析】（1）本題中的等量關系為：45x45座客車輛數+15=學生總數，60x（45座客車輛數一1）=

學生總數，據此可列方程組求出第一小題的解；

（2）需要分別計算45座客車和60座客車各自的租金，比較后再取舍.

本題考查二元一次方程的應用，注意租車時最后一輛不管幾個人都要用一輛，所以在計算車的輛

數時用“收尾法”，而不是“四舍五入”.

18.【答案】證明：(1)?.?4。=BC,

*'?AD+CD=BC+CD,

:.AC=BD,

vAE=BF,CE=DF,

：?AAECHBFD(SSS),

???乙4=乙B,

AAE//BF；

(2)VAAEC^LBFD(SSS),

???Z.ECA=乙FDB,

???ECIIDF,

???EC=DF,

.??四邊形力EC尸是平行四邊形，

vDF=FC,

二四邊形QECF是菱形.

【解析】(1)由SSS證明△AECgABFO(SSS),得到乙4=/B,即可證明4E〃BF；

(2)由△AEC絲ABFC,得到ZECA=4FDB,推出EC〃CF,又EC=DF,得到四邊形。EC尸是平

行四邊形，而DF=FC,推出四邊形。ECF是菱形.

本題考查菱形的判定，全等三角形的判定和性質，關鍵是證明aAEC絲ABF/SSS).

19.【答案】5030

【解析】解：(1)本次抽取的學生人數為5+10%=50(人),

m%=154-50x100%=30%,

:.m=30.

故答案為：50,30；

(2)C組的人數為：50-10-15-5=20(人)，

答：估計該校九年級學生中參加家務勞動的時間在80分鐘(含80分鐘)以上的學生約有300人;

(4)若。組中有3名女生，則有2名男生，

畫樹狀圖如下：

開始

男男女女女

男女女女男/女T女V女弱男女女男/男A女x女男/男y女V女

共有20種等可能的結果，其中抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的結果有12種，

.??抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的概率是算=|.

(1)由。組的人數除以所占百分比得出本次抽取的學生人數，即可解決問題：

(2)求出C組的人數，補全條形統計圖即可；

(3)由該校九年級學生人數乘以參加家務勞動的時間在80分鐘(含80分鐘)以上的學生所占的比例

即可；

(4)畫樹狀圖，共有20種等可能的結果，其中抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的結

果有12種，再由概率公式求解即可.

此題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統計圖和扇形統計圖等知識.樹狀圖法可以不重復不遺

漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還

是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

20.【答案】解：延長BA交PQ的延長線于C,匕Rc

則二90。，-~；

由題意得，BC=225m,PQ=200m,飛二不巳、

在Rt△BCQ中，4BQC=45°,_____________________/

；.CQ=BC=225m,B

PC=PQ+CQ=425(m),

在Rt△PC4中，tan乙4PC=tanl5°=那=急=0.27,

.-.AC=114.75m,

???ABBC-AC=225-114.75=110.25“110(m),

答：奇樓AB的高度約為110m.

【解析】延長BA交P。的延長線于C,則N4CQ=90。，根據題意得到BC=225m,PQ=200m,

解直角三角形即可得到結論.

本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

21.【答案】9+2「15+20

［解析］解：S3-52=(a+2'J-b')2—(a+V-F)2

a2+4ay/~~b+4b—a2—2aVT-b

2ay/~b+36,

當a=l,b=3時，S3-52=9+2A/~3;

54—S3=(a+3/3)2—(口+2，T)2=a2+6a\Tb+9b—a2—4a?F—4b

=2a\T~b+5b>

當a=l,b=3時，S4-S3=15+2<3;

故答案為：9+2/3;15+2，？；

(2)5n+1—Sn—6n—3+2yl~3i

證明：Sn+i-Sn

=(1+y/-3ny—[1+(n-1)V-3]2

=[2+(2n-1)C]xV-3

=3(2n-1)+2y/~3

=6n—3+2A/-3;

(3)當a=1,b=3時，T=tr+t2+t3A-----Ft50

=S2—S]+S3—S2+S4—S3...+S51-S50

=S51—S、

=(1+50/3)2_1

=7500+100A/-3.

(1)把a=l,8=3代入53-52,S4-S3,計算即可得到結論；

(2)根據(1)的結論化簡的+1-S.即可；

(3)化簡7=tr+t2+t3+-+t50fS,代入數值計算即可.

本題考查了二次根式的化簡，正確地計算出結果是解題的關鍵.

22.【答案】（1）證明：連接OC,

???4D是。。的直徑，

乙ACD=90°,

???AADC+ACAD=90",

又???OC=OD,

???Z.ADC=Z.OCD,

又；/.DCF=“AD.

???乙DCF+4OCD=90",

即。C1FC,

FC是。。的切線；

(2)解：?；乙B=/.ADC,cosB=|,

3

???cosZ-ADC=

在Rt△/CD中，

Vcos^ADC=w3=*rn，AD=10,

5AD

:.CD=AD?cosz.ADC=10x|=6,

:.AC=VAD2-CD2=8，

CD3

AC4

■:乙FCD=CFAC,Z.F=ZF,

???△FCDs〉FAC,

.CD_FC_FD_3

ACFAFC4

設FD=3x,則FC=4x,AF=3x+10,

又FC2=FD-FA,

叩(4x)2=3%(3%+io),

解得“真取正值)，

FD=3Cx=—90.

【解析】(1)根據切線的判定，連接OC,證明出OC1FC即可，利用直徑所得的圓周角為直角，

三角形的內角和以及等腰三角形的性質可得答案：

(2)由cos8=|,根據銳角三角函數的意義和勾股定理可得8：AC：AD=3：4：5,再根據相似

三角形的性質可求出答案.

本題考查切線的判定和性質，圓周角定理，直角三角形的邊角關系以及相似三角形，掌握切線的

判定方法，直角三角形的邊角關系以及相似三角形的性質是正確解答的前提.

23.【答案】解：(1)由題意可知，設拋物線的表達式為y=a(x+2)(x—6),

將(0,6)代入上式得：6=a(0+2)(0-6),

解得a=_5

二拋物線的表達式為y=-1(x+2)(%-6)=—1x2+2x+6；

(2)作點。關于直線3c的對稱點E,連接EC、EB,

V6(6,0),C(0,6),/-BOC=90°,

??.OB=OC=6,

???0、E關于直線BC對稱，

四邊形OBEC為正方形，

???E(6,6),

連接AE,交BC于點￡>,由對稱性|DE|=|。0|,

此時|。。|+川有最小值為AE的長，

AE=VAB2