.4第二課時(蔡瓊)工程問題一、教學目標（一）學習目標1.初步感知工程問題中的數(shù)量關系.2.會分析工程問題中的數(shù)量關系，能準確找出相等關系，并能列出方程表示問題中的相等關系.3.體會建立數(shù)學模型的思想.（二）學習重點分析工程問題中的數(shù)量關系，能準確找出相等關系.（三）學習難點如何找等量關系列方程.二、教學設計（一）課前設計1.預習任務（1）工程問題中，通常把總工作量簡單表示為“1”；（2）工作量=工作效率工作時間；（3）總工作量=各階段工作量的和；（4）工作量=人均效率人數(shù)時間.預習自測（1）某項工程，甲單獨做要6天完成，乙單獨做要4天完成，則甲、乙的工作效率分別表示為，兩人合做2天可以完成整個工程的．【知識點】工程問題.【解題過程】解：把總工作量看成1，甲單獨做要6天完成，則甲每天完成總工程的，即甲的工作效率為.乙單獨做要4天完成，則乙每天完成總工程的，即乙的工作效率為，兩人合做2天完成的工作量是.【思路點撥】總工作量看成“1”，再分別運用公式：工作效率=工作量÷工作時間；工作量=工作效率×工作時間計算即可.【答案】，；.（2）限期完成一項工程，甲隊單獨做4天可完成，乙隊則需10天完成，現(xiàn)甲隊工作2天后，余下的由乙對去做，正好按期完成，問原計劃需多少天完成？設原計劃需x天完成，則甲隊完成了_________，乙隊完成__________，由題意列方程得_________________，解得x=_______.【知識點】工程問題．【解題過程】解：設原計劃x天完成，甲的工作效率是，則甲完成了：，乙的工作效率是，則乙完成了：，根據(jù)題意列方程得：，解得：．【思路點撥】分別表示出甲乙的工作效率，再抓等量關系：甲完成的工作量+乙完成的工作量=1．【答案】；；；.（3）某項工作由甲單獨做需3h完成,由乙單獨做需4h完成，現(xiàn)在先由乙做1h后，再由甲、乙合做完成剩下的工作，這項工作共需mh完成,則m的值為（）.A.B.C.D.【知識點】從工程問題中抽象出一元一次方程的模型．【解題過程】解：甲每小時完成工作的，乙每小時完成工作的，由題意列方程得：，解得.【思路點撥】根據(jù)題意，分別求出甲乙兩人的工作效率，再根據(jù)等量關系：“乙獨做1h的工作量+甲乙合做（m-1）h的工作量”=1列出方程即可.【答案】C．（4）一項工程，甲隊單獨做需20天完成，乙隊單獨做需30天完成，丙隊單獨做需40天完成，開始甲、乙、丙三隊合作，后來甲隊另有事離開，由乙、丙繼續(xù)合作，全部工程一共用了12天完成，求甲隊工作了多少天？【知識點】工程問題．【解題過程】解：設甲隊工作了天，根據(jù)題意列出方程為：，解得，答：甲隊工作了6天.本題也可列出方程為：.【思路點撥】本題關鍵便是找出等量關系.“前面甲、乙、丙的工作量”+“后面乙、丙的工作量”=1，從而列出方程.也可以抓“甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量”=1.【答案】甲隊工作了6天.(二)課堂設計1.知識回顧（1）在小學里我們學過有關工程問題的應用題，這類應用題中一般有工作總量、工作時間、工作效率這三個量.這三個量間的關系是：

=1\*GB3①工作總量=工作時間×工作效率；=2\*GB3②

工作時間=工作總量÷工作效率；=3\*GB3③

工作效率=工作總量÷工作時間；人們常規(guī)定工程問題中的工作總量為1

.（2）由以上公式可知：一件工作，甲用a小時完成，則甲的工作量可看成1，工作時間是a小時，工作效率是.若這件工作甲用6小時完成，則甲的工作效率是.2.問題探究探究一工程問題中的基本量●活動①通過引例，回顧舊知問題：整理一塊地，由一個人做要80小時完成.（1）一個人做1小時完成的工作量是

；一個人做4小時完成的工作量是；（3）一個人做x小時完成的工作量是

；（4）工作效率相同的5個人做1小時完成的工作量是；

（5）工作效率相同的m個人做1小時完成的工作量是

；（6）工作效率相同的m個人做x小時完成的工作量是

.師問：你能快速、準確地完成以上問題嗎？學生舉手搶答：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.總結：（1）在工程問題中，通常把全部工作量簡單的表示為1.（2）如果一件工作需要n小時完成，那么平均每小時完成的工作量就是.（3）工程問題中，當人均工作效率相同時：工作量=人均效率×人數(shù)×工作時間

.【設計意圖】通過類比，讓學生明白“人數(shù)變化”和“時間”的變化以后，工作量的算法及人均工作效率的含義，為新知識的學習作鋪墊.探究二解決生活中工程問題★▲●活動①大膽操作，探究新知整理一批圖書，由一個人做要40小時完成．現(xiàn)在計劃由一部分人先做4小時，然后增加2人與他們一起做8小時，完成這項工作．假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？師問1：“由一個人做要40小時完成”可以得到什么？生答：把總工作量設為1，則一個人1小時完成的工作量即人均效率為.師問2：題目中哪些是已知量？哪些是未知的量？如果設先安排x人工作，則后來有________人一起工作；學生：已知量有：人均效率、總工作量、先后兩個段的工作時間；未知量：前段時間安排的人數(shù)，如果設先安排x人工作，則后來有（x＋2）人一起工作；師問3：這件工作是分哪兩部分完成的？學生：一部分人先做4小時，然后增加2人一起再做8小時，完成這項工作.【設計意圖】通過生活中的實例，用問題串的形式來培養(yǎng)學生仔細審題的習慣.學會抓關鍵信息分析題意，找到等量關系并能列方程求解.●活動②集思廣益，討論交流解決問題人均功效人數(shù)工作時間工作量先x4后x+28師問1：你能找出題目中的等量關系嗎？生答：先、后兩個時段的工作量之和＝總工作量“1”.師問2：請快速完成表格.師問3：你能根據(jù)相等關系列出方程嗎？學生：師問4：你能完整解答本題嗎？學生：解：設先安排x人先做4小時，則后來有（x＋2）人一起做了8小時；由題意可得：，解得：答：應先安排2人先做4小時.【設計意圖】通過提問和學生的回答及填表，引導學生利用表格對信息做出梳理和加工.找出相等關系，列出方程從而解決實際問題.●活動③發(fā)散思維變式1：整理一批圖書，由一個人做要40小時完成．現(xiàn)在計劃由一部分人先做4小時，然后增加2人與他們一起做8小時，完成這項工作的.假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？師問：找出和活動①條件不同的地方，思考哪里發(fā)生了變化？該怎樣解決這個問題？學生：活動①中是“完成了整項工作”而本題是“只完成這項工作的”.∴只需將總工作量1換成即可.∴方程變?yōu)椋海獾茫海鄳劝才?人工作.變式2：整理一批圖書，由一個人做要40小時完成．現(xiàn)在計劃由一部分人先做4小時，然后增加2人與他們一起做8小時，最后再由增加的2人做6小時，完成這項工作.假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？師問：找出和活動①條件不同的地方，思考哪里發(fā)生了變化？該怎樣解決這個問題？學生：與活動①相比，多出了一段時間，即最后再由增加的2人做6小時，才完成這項工作.∴先、后兩個時段的工作量之和＋增加的2人做6小時的工作量＝總工作量“1”∴方程變?yōu)椋海獾茫海鄳劝才?人工作.總結：通過設置“完成的工作量”的改變，進一步感受“完成的總工作量=各部分工作量之和”.明確工程問題的關鍵所在，認真讀題找到有效的等量關系是解決實際問題的關鍵所在。【設計意圖】通過設置活動①的變式練習使學生剛剛獲取的經(jīng)驗得到進一步的鞏固和深化，進一步熟悉解決工程問題的方法和過程，從而提高分析和解決問題的能力.不同的問法體現(xiàn)相同的方法。●活動④反思過程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律▲有關工程問題的應用題中：（1）通常把全部工作量簡單表示為1.（2）計算工作量的基本公式是：工作量=人均效率×人數(shù)×時間，它能對加入“人數(shù)”以后的工程問題更好的求解.（3）用一元一次方程解決實際問題的基本過程：【設計意圖】通過回顧和提煉解決工程問題的方法和過程，獲取到經(jīng)驗，從而提高分析和解決問題的能力，不斷完善自己的認識體系，并且感受數(shù)學與生活的密切聯(lián)系.幫助學生慢慢滲透建立實際問題的方程模型的思想.探究三運用知識解決問題★▲●活動①師問：通過前面的探究，我們知道了利用一元一次方程解決實際問題的基本過程，利用這些步驟和方法可以解決一些怎樣的工程問題呢?例1某項工作，甲單獨做需要4小時，乙單獨做需要6小時，甲先做30分鐘，然后甲乙合作，問：甲乙合作還需要多少小時才能完成全部工作？【知識點】工程問題.【解題過程】解：設甲乙合作還需要x小時才能完成全部工作，根據(jù)題意得：或，解得：.答：甲乙合作還需要2.1小時才能完成全部工作.【思路點撥】抓工程問題中的基本量：工作量=工作時間×工作效率.從題中找出等量關系：甲工作量+乙工作量=總工作量1，注意要化單位.【答案】甲乙合作還需要2.1小時才能完成全部工作.練習：一條地下管線由甲工程隊單獨鋪設需要12天，由乙工程隊單獨鋪設需要24天，如果由這兩個工程隊從兩端同時施工，要多少天可以鋪設好這條管線？【知識點】工程問題.【解題過程】解：設要x天可以鋪設好這條管線，根據(jù)題意得：，解得：.答：要8天可以鋪設好這條管線.【思路點撥】把總工作量看作1.抓等量關系：甲工作量+乙工作量=總工作量1【答案】要8天可以鋪設好這條管線.【設計意圖】通過一組基礎的例題和練習，使學生掌握列一元一次方程解決工程問題.●活動2例2一水池,單開進水管3小時可將水池注滿,單開出水管4小時可將滿池水放完,現(xiàn)對空水池先打開進水管2小時,然后打開出水管,使進水管、出水管一起開放,問再過幾小時可將水池注滿?【知識點】工程問題.【解題過程】解：設經(jīng)再過x小時可以將水池注滿，根據(jù)題意得：，解得：答：再過4小時可將水池注滿.【思路點撥】注意進水管和出水管同時打開，要將水池注滿，則需抓等量關系：“進水管的進水量—出水管的出水量”=1.【答案】再過4小時可將水池注滿.練習：一件工作，由2個人做要6個月完成，現(xiàn)計劃由一部分人先做1個月,然后再增加4個人和他們一起做1個月，完成這件工作的,假設這些人的工作效率相同,問：應先安排多少人工作?【知識點】工程問題.【解題過程】解：設應先安排x個人工作，根據(jù)題意得：，解得：.答：應先安排3個人工作.【思路點撥】本題先要求出的是每個人的人均工作效率，然后再根據(jù)“先做的工作量+后做的工作量=”這一等量關系列方程.【答案】應先安排的3個人工作.【設計意圖】通過第二組例題和練習，進一步鞏固用一元一次方程解決工程問題.●活動3例3有一份文件需要錄入電腦，由甲單獨錄入需12小時可以完成，由乙單獨錄入需8小時可以完成．（1）這份文件由甲、乙兩個共同錄入，則需要多少小時完成？（2）這份文件由甲、乙兩個共同錄入，如果中間乙休息1小時，那么錄完這份文件共需多少小時？（3）如果這份文件由甲乙輪流打字，每輪中甲先錄1小時，再由乙錄1小時，那么錄完這份文件需要多少小時？【知識點】工程問題.【解題過程】解：（1）設需x小時才能完成，根據(jù)題意，列方程得：，解得：.答：需4.8小時才能完成.（2）需y小時才能完成，根據(jù)題意，列方程得：，解得：.答：需5.4小時才能完成.（3）甲乙每一輪打完這份文件的，因為，所以打完這份文件需4輪以上，但不到5輪.打4輪以后還剩下的打字任務為：，甲打一小時的工效為，故甲打字一小時后剩下的任務為，所以乙還需小時，因此完成任務共需小時.【思路點撥】弄清每一問中這項工作是怎么完成的？抓等量關系：總工作量=各階段工作量的和．【答案】4.8小時;5.4小時；小時.練習：安裝某小區(qū)的自來水管，甲單獨完成需要14天，乙單獨完成需要18天，丙單獨完成需要12天，前7天由甲、乙兩人合作，但乙中途離開一段時間，后2天由乙、丙合作完成任務，問乙中途離開了幾天？【知識點】工程問題.【解題過程】解：設乙中途離開了x天，根據(jù)題意，列方程得：.解得：答：乙中途離開了3天.【思路點撥】把總工作量看作1.抓等量關系：甲工作量+乙工作量+丙工作量=總工作量1，關鍵是表示乙的工作時間.【答案】乙中途離開了3天.【設計意圖】通過這一組提升型例習題，強化正確分析工程問題中的等量關系.3.課堂總結知識梳理（1）列一元一次方程解決實際問題的一般步驟：審、設、列、解、檢、答.（2）在工程問題中，通常把全部工作量簡單的表示為1.（3）如果一件工作需要n小時完成，那么平均每小時完成的工作量就是（4）工程問題中，當人均工作效率相同時：工作量=人均效率×人數(shù)×工作時間

重難點歸納（1）工作量=工作效率工作時間；（2）總工作量=各階段工作量的和；（3）工作量=人均效率人數(shù)時間.（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1.一蓄水池有甲、乙兩個進水管，單開甲管20小時可注滿水池，兩管齊開只需12小時，那么單開乙管需（）小時．A．32 B．30C．8 D．以上答案均不對【知識點】工程問題．【解題過程】解：設單開乙管需要x小時，則：，解得：=30，∴單開乙管需30小時，故選B．【思路點撥】等量關系式為：單開乙管需要的時間×乙管的工作效率=1，把相關數(shù)值代入即可求解．【答案】B．2.一條公路甲隊獨修需24天，乙隊需40天，若甲、乙兩隊同時分別從兩端開始修，（）天后可將全部修完．A．24 B．40 C．15 D．16【知識點】工程問題．【解題過程】解：設甲、乙兩隊同時分別從兩端開始修，需x天全部修完．根據(jù)題意列方程：，解得，故選C．【思路點撥】把工程看作單位1，甲隊獨修需24天則每天修，乙隊需40天，則每天修，就要先設出未知數(shù)，然后根據(jù)題中的等量關系列方程求解．【答案】C．3.某工程要求按期完成，甲隊單獨完成需40天，乙隊單獨完成需50天，現(xiàn)甲隊單獨做4天，后兩隊合作，則正好按期完工．問該工程的工期是幾天？設該工程的工期為x天．則方程為（）A． ；B．；C．；D．.【知識點】由實際問題抽象出一元一次方程.【解題過程】解：甲4天的工作量為：；甲乙合作其余天數(shù)的工作量為：，∴可列方程為：，故選D．【思路點撥】等量關系式為：甲4天的工作量+甲乙合作（x﹣40）天的工作量=1，把相關數(shù)值代入即可求解．【答案】D.4.某班組每天需生產(chǎn)50個零件才能在規(guī)定的時間內完成一批零件任務，實際上該班組每天比計劃多生產(chǎn)了6個零件，結果比規(guī)定的時間提前3天并超額生產(chǎn)120個零件，若設該班組要完成的零件任務為x個，則可列方程為（）A．； B．；C．；D．.【知識點】工程問題.【解題過程】解：實際完成的零件的個數(shù)為x+120，實際每天生產(chǎn)的零件個數(shù)為50+6，所以根據(jù)時間列的方程為：，故選C．【思路點撥】關系式為：零件任務÷原計劃每天生產(chǎn)的零件個數(shù)﹣（零件任務+120）÷實際每天生產(chǎn)的零件個數(shù)=3，把相關數(shù)值代入即可求解．【答案】C．5.整理一批圖書，由一個人做要40小時完成．現(xiàn)計劃由一部分人先做4小時，再增加2人和他們一起做8小時，完成這項工作．假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？【知識點】工程問題.【解題過程】解：設應先安排x人工作，根據(jù)題意得：，化簡可得：，即：，解可得：，答：應先安排2人工作．【思路點撥】由一個人做要40小時完成，即一個人一小時能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本題中存在的相等關系是：這部分人4小時的工作+增加2人后8小時的工作=全部工作．設全部工作是1，這部分共有x人，就可以列出方程．【答案】應先安排2人工作．6.為了確保汶川災區(qū)唐家山“堰塞湖”下游群眾的安全，需開挖一條泄洪槽，經(jīng)專家測算，搶險部隊計劃用10天時間開挖土石13.55萬方，施工一天后，考慮天氣等不可測因素，為保萬無一失，增加了大量設備以提高開挖效率，結果提前4天完成任務．問：提高效率后，平均每天比原計劃多開挖土石多少萬方？【知識點】工程問題.【解題過程】解：設提高效率后，平均每天比原計劃多開挖土石x萬方，根據(jù)題意得：原計劃每天挖運（萬方），則提高效率后每天開挖（x+1.355）萬方，∴1.355+5（x+1.355）=13.55，解得：x=1.084.答：提高效率后，平均每天比原計劃多開挖土石1.084萬方．【思路點撥】要注意計劃每天的工作量是挖土石13.55÷10=1.355（萬方），提高效率后每天多開挖土石x萬方，即提高效率后每天開挖土石（1.355+x）萬方，等量關系為：計劃1天的工作量+提高效率后（10﹣4﹣1）天的工作量=13.55萬方，據(jù)題意列方程即可解得．【答案】提高效率后，平均每天比原計劃多開挖土石1.084萬方．能力型師生共研1.甲、乙兩人完成一項工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，設工作總量為1，工作進度如下表：天數(shù)第3天第5天工作進度則完成這項工作共需天．【知識點】工程問題.【解題過程】解：由題意可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設這項工作共需x天，則可得方程：，解得：，∴完成這項工作共需9天【思路點撥】本題首先依據(jù)題意找出等量關系即工作總量為1，列出方程并解答．【答案】9天.2.《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作之一，其中記載的“蕩杯問題”很有趣．《孫子算經(jīng)》記載“今有婦人河上蕩杯．津吏問曰：‘杯何以多？’婦人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客幾何？’婦人曰：‘二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客幾何？”譯文：“2人同吃一碗飯，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65個碗，問有多少客人？”設共有客人x人，可列方程為．【知識點】由實際問題抽象出一元一次方程．【解題過程】解：設共有客人x人，根據(jù)題意得：．故答案為：．【思路點撥】解答本題的關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)“2人同吃一碗飯，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65個碗”列出方程即可．【答案】．探究型多維突破1.某中學舉行數(shù)學競賽，計劃用A、B兩臺復印機復印試卷．如果單獨用A機器需要90分鐘印完，如果單獨用B機器需要60分鐘印完，為了保密的需要，不能過早復印試卷，學校決定在考試前由兩臺復印機同時復印．（1）兩臺復印機同時復印，共需多少分鐘才能印完？（2）若兩臺復印機同時復印30分鐘后，B機出了故障，暫時不能復印，此時離發(fā)卷還有13分鐘．請你算一下，如果由A機單獨完成剩下的復印任務，會不會影響按時發(fā)卷考試？（3）在（2）的問題中，B機經(jīng)過緊急搶修，9分鐘后修好恢復正常使用，請你再計算一下，學校能否按時發(fā)卷考試？【知識點】一元一次方程的應用.【解題過程】解：（1）設共需x分鐘才能印完，，解得x=36.答：兩臺復印機同時復印，共需36分鐘才能印完.（2）設由A機單獨完成剩下的復印任務需要y分鐘才能印完，，解得y=15＞13答：會影響學校按時發(fā)卷考試；（3）當B機恢復使用時，兩機又共同復印了z分鐘印完試卷，解得z=2.4，則有9+2.4=11.4＜13．答：學校可以按時發(fā)卷考試．【思路點撥】掌握工作量的有關公式：工作總量=工作時間×工作效率（1）設共需x分鐘才能印完，依題意得，解方程即可；（2）設由A機單獨完成剩下的復印任務需要y分鐘才能印完，依題意得，求解與13分進行比較即可；（3）當B機恢復使用時，兩機又共同復印了z分鐘印完試卷，依題意得，求解后加9再與13進行比較.【答案】（1）兩臺復印機同時復印，共需36分鐘才能印完；（2）會影響學校按時發(fā)卷考試；（3）學校可以按時發(fā)卷考試．2.一張矩形紙片，剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第一次操作，在剩下的矩形紙片中再剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第二次操作…若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形．如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形．已知矩形ABCD的一邊長為20，另一邊長為a（a＜20），且它是3階奇異矩形，試通過畫圖探索出所有a可能的值為．【知識點】一元一次方程的應用.【解題過程】解：第一次操作后剩下的矩形的兩邊長度為a、，第二次操作后剩下的矩形的兩邊長度為、a或，，∵矩形ABCD是3階奇異矩形，∴有①，②，③，④，解得：，，，．故答案為：5或8或12或15．【思路點撥】找出第一、二次操作后剩下矩形的兩邊長度，令其一邊為另一邊的二倍，解關于a的一元一次方程即可得出結論．【答案】5或8或12或15．自助餐1．某項工作甲單獨做4天完成，乙單獨做6天完成，若甲先做1天然后甲乙合作完成整項工作，設甲做了x天，所列方程為（）A．；B．；C．；D．.【知識點】列一元一次方程解決工程問題.【解題過程】解：設甲做了x天，則乙做了（x-1）天，根據(jù)題意，列方程得：.【思路點撥】關鍵確定甲、乙的工作時間及等量關系：甲工作量+乙工作量=總工作量1.【答案】選C.2.某工廠若每小時生產(chǎn)38個零件，在規(guī)定時