河北省灤南縣2024屆數學高二上期末統考試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知在等比數列｛%｝中，%=1，旬=81,則%=()

A.9或—9B.9

C.27或-27D.27

2.已知公差不為。的等差數列｛4｝中，4=4,且％,%,成等比數列，則其前〃項和S“取得最大值時，〃的值

為()

A.12B.13

C.12或13D.13或14

3.饕饕紋是青銅器上常見的花紋之一，最早見于長江中下游地區的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期.將

青銅器中的饕餐紋的一部分畫到方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為一個單位長度，有一點P從點A出發，每

次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能的，那么點P經過3次跳動后恰好是沿著饕餐紋的路線到達

點3的概率為()

4.若曲線y=ei與曲線)在公共點處有公共切線，則實數。=()

B.

ee

ee

5.今天是星期四，經過81°°天后是星期()

A.三B.四

C.五D.六

6.已知函數/(x)=e'+a,xe(O,+8),當占時，不等式/詈＜/舁恒成立，則實數。的取值范圍為()

A.(-00,-1]B.(TO,-1)

C.[-1,-Hx))D.(-1,-Ko)

7.已知空間A、6、C、。四點共面，且其中任意三點均不共線，設P為空間中任意一點，若=4P8+；IPC，

則4=()

A.2B.-2

C.lD.-1

8.在—ABC中，若Z?sin5+csinC-asinA=Z?sinC,則人=()

A.1500B.120°

C.60°D.30°

9.若傾斜角為鼻的直線過3(2,。)兩點，則實數a=()

A.—B.厲

2

C.273D.36

10.在各項均為正數等比數列｛%｝中，若2%,：%，為成等差數列，則"但=()

2。6+。7

1

A.4B.—

2

1

C.2D.——

2

11.求點42,1,-2)關于“軸的對稱點的坐標為()

A.(—2,1,2)B.(-2,1-2)

C.(2,-1,-2)D.(2,—l,2)

12.等差數列x,x+2,3尤+6,…的第四項為0

A.5B.6

C.7D.8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數〃尤)的導函數為/'(%),且對任意xeR,若/(2)=e2,則f的取值

范圍是.

14.若復數z=丁二7為純虛數(acR),貝收|=___.

3+21

15.牛頓迭代法又稱牛頓一拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數集上近似求解方程根的一種方法.具體

步驟如下：設r是函數y=/(x)的一個零點，任意選取xo作為r的初始近似值，作曲線y=/(x)在點(xo,/(xo))處的切線

h,設與X軸交點的橫坐標為XI,并稱XI為r的1次近似值；作曲線y=/(x)在點(Xi,/(X1))處的切線6,設6與x

軸交點的橫坐標為冷，并稱m為r的2次近似值.一般的，作曲線y=/(x)在點(x“，/(%,))(〃62處的切線/“+1,記

+1與x軸交點的橫坐標為X"+1,并稱X"+1為r的"+1次近似值.設/(x)=x3+x—1的零點為r,取xo=O,則r的2次

近似值為

22

16.設雙曲線C：3一含=1的焦點為耳，鳥，點尸為C上一點，已用=6,則仍閭為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設A,3為雙曲線C：0—4=1(。＞0,匕＞0)的左、右頂點，直線/過右焦點歹且與雙曲線。的

a2b1

右支交于N兩點，當直線/垂直于x軸時，△AAW為等腰直角三角形

(1)求雙曲線C的離心率；

(2)若雙曲線左支上任意一點到右焦點/點距離的最小值為3,

①求雙曲線方程；

②已知直線40,AN分別交直線x==于P,。兩點，當直線/傾斜角變化時，以PQ為直徑的圓是否過x軸上

的定點，若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由

18.(12分)如圖，AbCZ＞是邊長為2的正方形，D￡_L平面AbCD,AF//DE,DE=2AF=2

(1)證明：AC〃平面BEF；

(2)求點C到平面BEF的距離

19.(12分)如圖，AB是半圓。的直徑，C是半圓上一點，M是尸5的中點，/%，平面45(7,且24=2石，AB=4,

NABC=30°.

c

(1)求證:BC_L平面協C；

(2)求三棱錐M—45C體積.

20.(12分)已知首項為1的等比數列｛凡｝,滿足33+。4)=生+。5

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)求數列｛(2〃—1>4｝的前〃項和7“

21.(12分)如圖，三棱柱A3C-A5IG的所有棱長都是2,知上平面ABC,“為A3的中點，N為CQ的中

點

(I)證明：直線〃平面ABG；

(2)求平面ABC與平面夾角的余弦值

22.(10分)甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5題，選擇題

(1)甲、乙兩人中有一個抽到選擇題

(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】根據等比數列的性質可求.

【詳解】因為｛4｝為等比數列，設公比為心

則%2=/%=1x81=81,解得％=±9,又a〕=ad〉。,所以%=9.

故選：B.

2、C

【解析】設等差數列｛%｝的公差為g,根據4,%,%。成等比數列，利用等比中項求得公差，再由等差數列前〃項

和公式求解.

【詳解】設等差數列｛q,｝的公差為必

因為4=4,且%,%，成等比數列，

所以（a1+6d）2二q+9d）,

解得公一，

g、i。1225

所以S=ria,H-------------------d——TIHn,

〃1266

所以當”=12或13時，S”取得最大值，

故選：C

3、B

【解析】利用古典概型的概率求解.

【詳解】解：點P從點A出發，每次向右或向下跳一個單位長度，跳3次，

則樣本空間。=｛（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下,

下，右），（下，下，下）｝,

記“3次跳動后，恰好是沿著饕餐紋的路線到達點5”為事件C,則C={(下，下，右)),由古典概型的概率公式

可知P(C)=g

故選：B

4、A

【解析】設公共點為P(sj),根據導數的幾何意義可得出關于s的方程組，即可解得實數。、s的值.

【詳解】設公共點為P(s/),丁=^7的導數為了=01,曲線y=e*T在P(s/)處的切線斜率k=e~,

y=a4x的導數為y'=5=,曲線y=ayJx在P(s/)處的切線斜率k=(=,

因為兩曲線在公共點P處有公共切線，所以寸「'=晝，且。=0~，t=a4，

所以2?,即解得s=L,所以e5T=44，解得竺,

2廠2&2\2e

e=a7s

故選：A

5、C

【解析】求出二項式定理的通項公式，得到除以7余數是1,然后利用周期性進行計算即可

【詳解】解：一個星期的周期是7,

則81°°=(1+7嚴=1+&0c?7+CQ72+…+喘+C0a-7+C盜刀+…+C黑7°°),

即8必除以7余數是1,

即今天是星期四，經過外00天后是星期五，

故選：C

6、C

【解析】由題意得出^/(^)<x2/(x2),構造函數g(x)=+◎,可知函數y=g(x)在區間(0,+。)上單調遞增,

可得出g'(%)=eT+xev+a>0對任意的尤>0恒成立，利用參變量分離法可得出a>-e'(x+1),利用導數求得函數

A(x)=-e'(x+1)在區間(0,+。)上的最大值，由此可求得實數a的取值范圍.

【詳解】函數/■(力=1+。的定義域為(0,+8),當不<尤2時，-1</應恒成立，

即王/(%)<%/(%2)，構造函數g(x)=V(%)=xe*+ta,則g(xj<g(x2)，

所以，函數g(尤)=在區間(0,+功上為增函數，

則g'⑺=e'+xe*+a之。對任意的尤>0恒成立,:.a>—e'(x+1),

令丸(x)=—e*(x+l),其中尤>0,則a2/i(x)1mx.

“(%)=-ex(x+2)<0,所以函數y=/z(x)在(0,+向上單調遞減;

又/?(())=—e°(0+1)=—1,所以1.

因此，實數。的取值范圍是［-1，+8).

故選：C.

7、B

【解析】根據空間四點共面的充要條件代入即可解決.

【詳解】BD=6PA-4PB+APC>即P。-=4P5+4PC

整理得PD=6PA-3PB+APC

由A、B、C、。四點共面，且其中任意三點均不共線，

可得6—3+4=1,解之得力=—2

故選:B

8、C

【解析】根據正弦定理將〃sinB+csinC—asinA=〃sinC化為邊之間的關系，再結合余弦定理可得答案.

【詳解】若〃sin6+csinC-asinA=〃sinC,

序42_21

則根據正弦定理得：b2+c2-a2^bc，gPcosA=°+t=-,

2bc2

而0<A<180，故A=60，

故選：C.

9、C

【解析】根據直線的傾斜角和斜率的關系得到直線的斜率為百，再根據兩點的斜率公式計算可得；

【詳解】解：因為直線的傾斜角為￡,所以直線的斜率為tan￡=g,所以1二@=G，解得。=2療；

331-2

故選：C

10、A

【解析】利用等差中項的定義以及等比數列的通項公式即可求解.

【詳解】設等比數列的公比為q(q>0),

?.?2%,^生，2成等差數列，

a5=2a3+a4,即2=0,解得q=2或q=-1(舍去),

.1+為_ai/+?i48_%/(i+q)_2_4

,?,一5-6―577~.~\一q-4，

a6+a-j%q+axq0Aq口+q)

故選：A.

11、D

【解析】根據點關于坐標軸的對稱點特征，直接寫出即可.

【詳解】4點關于x軸對稱點，橫坐標不變，縱坐標與豎坐標為原坐標的相反數，

故點的坐標為(2,—1,2),

故選：D

12、A

【解析】根據等差數列的定義求出X,求出公差，即可求出第四項.

【詳解】由題可知，等差數列公差d=(x+2)—x=2,

故3x+6=x+2+2,故x=-1,

故第四項為-1+(4—1)X2=5.

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(2,+8)

【解析】構造函數g(x)=與，利用導數分析函數g(x)的單調性，將所求不等式變形為g⑺<g(2),結合函數

g(x)的單調性可得解.

【詳解】構造函數g(x)=/學，則g，(x)J叫"“VO,故函數g(x)在R上單調遞減，

ee

由已知可得g(2)=/^=1,

e

由/(/)<e'可得g(0=*<l=g(2),可得f>2.

故答案為：(2,+8).

1

14、-

3

a—I

【解析】利用復數片不二7為純虛數求出”，即可求出國.

3+21

r注解】a-i(a-i)(3-2i)_(3a-2)-(2a+3)i=3a-22a+3

【詳解】“一3+2「(3+2譏3-公廠131313,

^-^=0

132

由純虛數的定義知，C。，解得

2。+3八3

----HO

113

所以z=—；i.故團=g.

故答案為：—.

3

3

15、-##0.75

4

【解析】利用導數的幾何意義根據r的2次近似值的定義求解即可

【詳解】由/(%)=三+十—1,得;?'(刈=3/+1,取/=0,/(0)=—1,尸(0)=1,

所以過點(0,-1)作曲線y=于(x)的切線4的斜率為1,

所以直線4的方程為>=尤-1,其與左軸交點的橫坐標為1,即西=1,

因為/⑴=1"'⑴=4,所以過點(1,1)作曲線y=/(x)的切線I2的斜率為4,

33

所以直線4的方程為y=4x-3,其與x軸交點的橫坐標為:，即々=:，

44

3

故答案為：4

4

16、14

【解析】利用雙曲線的定義求解即可

22

【詳解】由匕—L=l,得力=16,貝!Ja=4,

1664

因為點尸為。上一點，

所以歸41Tp司=2a=8,

因為|P周=6,所以|6—|「司=2a=8,

解得|尸閭=14或|尸用=-2(舍去),

故答案為：14

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)e=2；

2

⑵①山―q=i；②定點有兩個(2,0),(-1,0)

【解析】(1)由雙曲線方程有"(c,—貴)、N(c,三)、A(-a,0),根據已知條件有。+。=匕，即可求離心率.

aaa

(2)①由題設有a+c=3,結合(1)求雙曲線參數，寫出雙曲線方程即可；

②由題設可設/為％=切+2,服(%,%),"區,為)，聯立雙曲線方程結合韋達定理求%+%，%%，%+/，X1X2>

再由AM、4V的方程求P,。坐標，若〃(x,y)在P。為直徑的圓上點，由PH.QH=0結合向量垂直的坐標表示

列方程，進而求出定點坐標.

【小問1詳解】

22

由題設，若“(C,-幺h)，N(c,h幺)且4-4，0)，又△AAW為等腰直角三角形，

aa

A2°.

a+c=一，即2〃+QC-C=0,則2+e—/=0又e>l,可得e=2.

a

【小問2詳解】

由題設，〃+c=3,由(1)有紜=3,貝!|〃=1,。=2,即人2=/一4=3,

2

①由上可知：雙曲線方程為必—匕=1.

3

②由①知：砥2,0),A(T,0)且直線/的斜率不為0,設/為x=/ny+2,M(xl,yl),N(x2,y2),

聯立直線與雙曲線得：(3相2-1)/+12沖+9=0,

12m9n,...4

??2+%=」「yiy2=2_>則=m(％+%)+4=2,

J.J”cJrrIA.11L

.2c/、(3m2+4

??玉Z=加X%+2加(X+%)+4=2，

l-3m

二直線AM為丁="7(%+1)；直線AN為V=上7(%+1)；

玉+1x2+1

永'）,°。可備）'若在加為直徑的圓上點，

肅匕）,即二04?一5）且「"6=°'

:.(x--)2+ly——[y--=0,

22(%1+1)2(X2+1)

令y=0,貝!I。」?+——-----——=0,

q"22(X]+1)2(々+1)

二5f,+4(;俄+D=("T+4(玉々：；[+D=°'BP(x4)2=r

.?.x=2或x=-l,即過定點(2,0),(-1,0).

【點睛】關鍵點點睛：第二問的②，設直線為工=沖+2,聯立直線與雙曲線，應用韋達定理求%+%，%%，%+々，

%了2,進而根據A"、4V的方程求P,。坐標，再由圓的性質及向量垂直的坐標表示求定點坐標.

18、（1）證明見解析

⑵逅

3

【解析】（1）建立空間直角坐標系，進而求出平面5E尸的法向量;，然后證明線面平行；

（2）算出a=（2,0,0）在向量；方向上的投影，進而求得答案.

【小問1詳解】

因為OE_L平面ABC。，DA.OCu平面ABC。，所以OEJ_ZM,DE±DC,因為ABC。是正方形，所以ZMJ_OC.以

。為坐標原點，日4,所,金所在方向分別為x，%z軸的正方向建立空間直角坐標系，則AQ,0,0）,C（0,2,0）,

H

所以彘=(—2,—2,2)，晶=(O,—2,1)，設平面8EF的法向量：=(x,y,z),因為晶=0,；.赤=0，所以一2工

-2j+2z=0,-2y+z=0,令y=L則;=(1，1,2),又因為就=(-2,2,0),所以:/=1x(—2)+lx2+2義0=0，

即Ad，而4。仁平面3岳下，所以AC〃平面3EF.

【小問2詳解】

-2一遍[7

設點C到平面BE尸的距離為d,而。3=(2,0,0)，所以"曰[1=需=彳，所以點C到平面5E歹的距離為牛

19、(1)證明見解析(2)2

【解析】(1)依題意可得ACL3C,再由平面ABC,得到即可證明平面PAC；

(2)連接。0,可證創"/B4,即可得到平面ABC,為三棱錐M-ABC的高，再根據錐體的體積公

式計算可得；

【詳解】(1)證明:因為A3是半圓。的直徑，所以ACLBC.

因為出，平面ABC,BCu平面ABC,所以

又因為ACu平面PAC,PAu平面PAC,且ACcK4=A

所以BC,平面尸AC.

(2)解:因為NABC=3O°,AB=4,所以3c=2百，S謝=gABICsinSO。=2百.連接.因為。、M

分別是AB,P3的中點，所以〃44,。加=工24=百.又？平面ABC.所以平面ABC.因此ON為

2

C

【點睛】本題考查線面垂直的證明，錐體的體積的計算，屬于中檔題.

20、(1)4=3"T

(2)7；=(〃—l)x3"+l

【解析】(D根據已知條件求得數列｛4｝的公比彘由此求得為.

(2)利用錯位相減求和法求得T?.

【小問1詳解】

設等比數列的公比為心

由3(/+%)=%+%，可得4=3.

故數列｛為｝是以1為首項，3為公比的等比數列，

所以4=3力

【小問2詳解】

由(1)得(2"—l)q=(2〃—1>