2．2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征[目標]1.會求樣本的眾數、中位數、平均數、標準差、方差；2.理解用樣本的數字特征來估計總體數字特征的方法；3.會應用相關知識解決簡單的統計實際問題．[重點]樣本的眾數、中位數、平均數、標準差、方差的求解及應用．[難點]對樣本的眾數、中位數、平均數、標準差、方差意義的理解．知識點一眾數、中位數、平均數[填一填]名稱定義在頻率分布直方圖中的估計方法眾數一組數據中出現次數最多的數稱為這組數據的眾數最高的矩形的中點中位數一組數據按從小到大的順序排成一列，處于中間位置的數稱為這組數據的中位數一組數據中的中位數是唯一的，反映了該組數據的集中趨勢．在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等平均數一組數據的和與這組數據的個數的商稱為這組數據的平均數，數據x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和[答一答]1．一組數據的平均數、中位數、眾數唯一嗎？提示：一組數據的平均數、中位數都是唯一的，眾數不唯一，可以有一個，也可以有多個，還可以沒有．如果有兩個數據出現的次數相同，并且比其他數據出現的次數都多，那么這兩個數據都是這組數據的眾數．2．在一組數據中，共有10個數，其中3出現2次，9出現4次，－3出現1次，5出現3次，則這組數據的平均數為5.4.解析：3出現2次，其和為6,9出現4次，其和為36，－3出現1次，其和為－3,5出現3次，其和為15，則這10個數據之和為6＋36－3＋15＝54，則這組數據的平均數eq\x\to(x)＝eq\f(54,10)＝5.4.知識點二標準差、方差[填一填]1．標準差(1)定義：標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用s表示．(2)計算公式：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).2．方差(1)定義：標準差的平方．(2)計算公式：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．[答一答]3．標準差與方差的作用是什么？提示：(1)標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小．標準差、方差越大，數據的離散程度越大；標準差、方差越小，數據的離散程度越小．(2)因為方差與原始數據的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數據的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差．4．現有10個數，其平均數為3，且這10個數的平方和是100，那么這個數組的標準差是1.解析：由s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)2，得s2＝eq\f(1,10)×100－32＝1，所以s＝1.類型一眾數、中位數、平均數及應用命題視角1：眾數、中位數、平均數的計算[例1]已知一組數據為20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均數、中位數和眾數的大小關系是()A．平均數>中位數>眾數B．平均數<中位數<眾數C．中位數<眾數<平均數D．眾數＝中位數＝平均數[解析]一組數據為20,30,40,50,50,60,70,80，它的平均數為eq\f(1,8)×(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位數為eq\f(1,2)×(50＋50)＝50，眾數為50，∴它們的大小關系是平均數＝中位數＝眾數．故選D.[答案]D平均數、眾數、中位數的計算方法平均數一般是根據公式來計算的；計算眾數、中位數時，可先將這組數據按從小到大或從大到小的順序排列，再根據各自的定義計算．[變式訓練1]已知樣本數據x1，x2，…，xn的均值eq\x\to(x)＝5，則樣本數據2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值為11.解析：由條件知eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝5，則所求均值eq\x\to(x)0＝eq\f(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1,n)＝eq\f(2x1＋x2＋…＋xn＋n,n)＝2eq\x\to(x)＋1＝2×5＋1＝11.命題視角2：直方圖中眾數、中位數、平均數的計算[例2]從高三抽出50名學生參加數學競賽，由成績得到如下的頻率分布直方圖．試利用頻率分布直方圖求：(1)這50名學生成績的眾數與中位數；(2)這50名學生的平均成績．[解](1)由眾數的概念可知，眾數是出現次數最多的數．在頻率分布直方圖中高度最高的小長方形的中間值即為所求，所以眾數應為75分．由于中位數是所有數據中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現的是中位數的左右兩邊頻數應相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對應的成績即為所求．因為0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3.所以前三個小矩形面積的和為0.3.而第四個小矩形面積為0.03×10＝0.3,0.3＋0.3>0.5，所以中位數應位于第四個小矩形內．設其為x，高為0.03，所以令0.03(x－70)＝0.2，得x≈76.7(分)．(2)樣本平均值應是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數據的平均值，取每個小矩形底邊的中點值乘以每個小矩形的面積求和即可．所以平均成績為45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65(分)，所以眾數是75分，中位數約為76.7分，平均成績為73.65分．眾數、中位數、平均數與頻率分布直方圖的關系1眾數：在頻率分布直方圖中，眾數的估計值為最高矩形的底邊中點的橫坐標.2中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等.3平均數：平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點橫坐標之和.[變式訓練2]一組數據的頻率分布直方圖如圖所示，請你在直方圖中標出這組數據的眾數、中位數和平均數對應的位置(用虛線標明)，并根據直方圖讀出其相應的估計值．解：眾數、中位數、平均數對應的位置如圖中虛線所示(眾數：右端虛線，中位數：左端虛線，平均數：左端虛線)．由直方圖觀察可得眾數為2.25，中位數為2.02，平均數為2.02.命題視角3：眾數、中位數、平均數的應用[例3]據報道，某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下：職務董事長副董事長董事總經理經理管理員職員人數11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司職工月工資的平均數、中位數、眾數；(2)假設副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數、中位數、眾數又是什么？(精確到元)(3)你認為哪個統計量更能反映這個公司員工的工資水平？結合此問題談一談你的看法．[解](1)平均數是eq\x\to(x)＝1500＋eq\f(4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091(元)．中位數是1500元，眾數是1500元．(2)平均數是eq\x\to(x′)＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋1788＝3288(元)．中位數是1500元，眾數是1500元．(3)在這個問題中，中位數或眾數均能反映該公司員工的工資水平，因為公司中少數人的工資額與大多數人的工資額差別較大，這樣導致平均數與中位數偏差較大，所以平均數不能反映這個公司員工的工資水平．當數據較大時，求平均數時通常先減去某一個常數如本例中可先減一個1500，而后再求較為簡單，由于平均數受極端值影響很大，故有時平均數不一定能客觀地反映總體情況，深刻理解平均數、眾數、中位數的特點，結合實際情況靈活運用.[變式訓練3]高一(3)班有男同學27名，女同學21名，在一次語文測驗中，男同學的平均分是82分，中位數是75分，女同學的平均分是80分，中位數是80分．(1)求這次測驗全班的平均分(精確到0.01分)；(2)估計全班成績在80分以下(含80分)的同學至少有多少人？(3)分析男同學的平均分與中位數相差較大的主要原因．解：(1)利用平均數計算公式得eq\x\to(x)＝eq\f(1,48)×(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)∵男同學成績的中位數是75分，∴至少有14人得分不超過75分．又女同學成績的中位數是80分，∴至少有11人得分不超過80分．所以估計全班至少有25人得分低于80分(含80分)．(3)男同學的平均分與中位數的差別較大，說明男同學的成績中兩極分化現象嚴重，分數高的和低的相差較大．類型二方差、標準差及應用命題視角1：方差、標準差的計算[例4]一組數據：10,11,12,11,14,8的方差是________，標準差是________．[解析]方法1：eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(10＋11＋12＋11＋14＋8)＝11，所以s2＝eq\f(1,6)×[(10－11)2＋(11－11)2＋(12－11)2＋(11－11)2＋(14－11)2＋(8－11)2]＝eq\f(1,6)×(1＋0＋1＋0＋9＋9)＝eq\f(10,3)，s＝eq\r(\f(10,3))＝eq\f(\r(30),3).方法2：由于該組數據都集中在11附近，故每一個數據都減去11得到一組新數據：－1,0,1,0,3，－3，該組數據的方差與原數據組方差相等.eq\x\to(x)1＝0，∴s2＝eq\f(1,6)[(－1)2＋02＋12＋02＋32＋(－3)2]＝eq\f(10,3)，s＝eq\f(\r(30),3).[答案]eq\f(10,3)eq\f(\r(30),3)方法2適用于每個數據都比較接近同一個數的問題，當數據又大又多時，更能體現方法2的優越性.[變式訓練4]一組數據：3,4,6,7,10，其標準差是eq\r(6).解析：∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(3＋4＋6＋7＋10)＝6，∴s2＝eq\f(1,5)×[(3－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(10－6)2]＝eq\f(1,5)×(9＋4＋0＋1＋16)＝6.∴s＝eq\r(6).命題視角2：方差、標準差的實際應用[例5]甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質量，各從中抽取6件測量，數據為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數據的平均數及方差；(2)根據計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩定．[分析]先計算平均數和方差，再由方差大小判斷質量穩定情況．[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同．又seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙機床加工零件的質量更穩定．用樣本估計總體時，樣本的平均數、標準差只是總體的平均數、標準差的近似.實際應用中，當所得數據的平均數不相等時，需先分析平均水平，再計算標準差方差分析穩定情況.[變式訓練5]某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓，他們在培訓期間參加的8次測試成績記錄如下：甲9582888193798478乙8392809590808575試比較哪個工人的成績較好．解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲的成績較穩定．綜上可知，甲的成績較好．1．下列各數字特征中，能反映一組數據離散程度的是(C)A．眾數 B．平均數C．標準差 D．中位數解析：反映數據離散程度的量是方差和標準差．故選C.2．10名工人某天生產同一零件，生產的件數是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設其平均數為a，中位數為b，眾數為c，則有(D)A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a解析：眾數c＝17，中位數b＝15，平均數a＝14.7，即a<b<c.故選D.3．在某次測量中得到的A樣本數據如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數據恰好是A樣本數據每個都加2后所得數據，則A，B兩樣本的下列數字特征對應相同的是(D)A．眾數 B．平均數C．中位數 D．標準差解析：根據標準差的性質，易知答案為D.4．甲、乙兩種水稻，經統計甲水稻的株高方差是2.0，乙水稻的株高標準差是1.8，可估計甲水稻比乙水稻長得整齊．解析：因方差、標準差都衡量數據的波動性，2<(1.8)2.5.某市有210名初中生參加數學競賽預賽，隨機調閱了60名學生的答卷，成績如