第七節拋物線方程與性質知識框架知識點歸納1.拋物線的定義(1)平面內到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫作拋物線的準線.(2)其數學表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離).2.拋物線的標準方程與幾何性質圖形標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離性質頂點O(0，0)對稱軸y＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝eq\f(p,2)范圍x≤0，y∈R開口方向向左[常用結論]1.通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑.題型歸類題型一拋物線的定義和標準方程例1(1)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，M，N是拋物線上兩個不同的點.若|MF|＋|NF|＝5，則線段MN的中點到y軸的距離為________.(2)(2022·全國乙卷)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B(3，0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|＝________.(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為________.感悟提升求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.題型二拋物線的幾何性質及應用角度1焦半徑和焦點弦例2(1)已知點F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝teq\o(FB,\s\up6(→))(t＞1)，|AB|＝eq\f(16,3)，則t＝________.(2)過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________.角度2與拋物線有關的最值問題例3(1)若在拋物線y2＝－4x上存在一點P，使其到焦點F的距離與到A(－2，1)的距離之和最小，則該點的坐標為________.(2)已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為________.感悟提升與拋物線有關的最值問題的兩個轉化策略轉化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.轉化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.題型三拋物線的綜合問題例4已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直線l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.感悟提升1.有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.2.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用“設而不求”、“整體代入”等解法.提醒涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解.題型四拋物線中的二級結論拋物線焦點弦的有關性質是高中數學的重要部分，了解和掌握相關結論，在解題時可迅速打開思路，拋物線焦點弦的常見結論如下：設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切；(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(6)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上；(7)通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.例1過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于()A.4 B.eq\f(9,2)C.5 D.6例2(2023·福州聯考)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過F且傾斜角為eq\f(π,3)的直線交C于A，B兩點，線段AB中點的縱坐標為eq\r(3)，則|AB|＝()A.eq\f(8,3) B.4C.8 D.24訓練(1)設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)(2)(2023·廣州模擬)已知拋物線C1：y2＝4x，圓C2：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝k(x－1)與C1交于A，B兩點，與C2交于M，N兩點，若|AB|＝8，則|MN|＝________________.課時訓練一、單選題1．已知拋物線C：的焦點為F，點在拋物線C上，則（

）A．4 B． C．8 D．2．已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，是拋物線上的點，且軸，若以為直徑的圓截直線所得的弦長為2，則A．2 B． C．4 D．3．設斜率為1的直線過拋物線的焦點，且和軸交于點，若（為坐標原點）的面積為2，則（

）．A．4 B．8 C． D．4．直線：與拋物線：交于不同兩點、，是的焦點，若，則的面積為（

）A． B． C． D．5．已知拋物線：的焦點為，點為上一點，若，則的準線方程為（

）A． B． C． D．6．已知拋物線，過其焦點的直線與拋物線分別交于、兩點(點在第一象限)，且則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．二、多選題7．已知拋物線的焦點為、準線為，過點的直線與拋物線交于兩點，，點在上的射影為，則（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準線相切C．為定值D．過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多有條8．（多選）已知拋物線：的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于點，，點，在上的射影為，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．以為直徑的圓與準線相切C．若，則 D．三、填空題9．拋物線的焦點到準線的距離為______.10．已知拋物線：的焦點為，過且垂直于軸的直線與交于?兩點，則以線段為直徑的圓被軸所截得的弦長為___________.11．已知拋物線的焦點為F，圓為拋物線上一點，且，過M作圓F的兩條切線，切點分別為A，B，則的取值范圍為____________．12．已知拋物線與點，過的焦點，且斜率為的直線與交于A，B兩點，若，則___________．四、解答題13．已知拋物線上的一點M的縱坐標為1，求點M到焦點的距離.14．如圖，已知定點軸于點，是線段上任意一點，軸于點，于點，相交于點P，求P點的軌跡方程.15．已知拋物線的方程為x2