5．7三角函數的應用【題型歸納目錄】題型一：三角函數模型在物理學中的應用題型二：三角函數模型的實際應用題型三：數據擬合問題題型四：三角函數在圓周中的應用題型五：幾何中的三角函數模型【知識點梳理】知識點一、函數中，，，的物理意義1、簡諧運動的振幅就是．2、簡諧運動的周期．3、簡諧運動的頻率．4、稱為相位．5、時的相位稱為初相．知識點二、三角函數模型的應用三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規律、預測其未來等方面都發揮著十分重要的作用．實際問題通常涉及復雜的數據，因此往往需要使用信息技術．知識點三、三角函數模型應用的步驟（1）建模問題步驟：審讀題意→建立三角函數式→根據題意求出某點的三角函數值→解決實際問題．（2）建立數學模型的關鍵，先根據題意設出代表函數，再利用數據求出待定系數，然后寫出具體的三角函數式．知識點四、三角函數應用題的三種模式（1）給定呈周期變化規律的三角函數模型，根據所給模型，結合三角函數的性質，解決一些實際問題．（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數法求出函數模型，再解決其他問題．（3）整理一個實際問題的調查數據，根據數據作出散點圖，通過擬合函數圖象，求出可以近似表示變化規律的函數模型，進一步用函數模型來解決問題．知識點五、三角函數模型應用注意點（1）一般地，所求出的函數模型只能近似地刻畫實際情況，因此應特別注意自變量的取值范圍．（2）應用數學知識解決實際問題時，應注意從背景中提取基本的數學關系，并利用相關知識來理解．【典型例題】題型一：三角函數模型在物理學中的應用例1．如圖，一根絕對剛性且長度不變、質量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺動．若線長為lcm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系是，取，如果沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，則線長約為（

）cm．（精確到0.1cm）A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7【答案】B【解析】因為線長為lcm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：cm）與時間（單位：s）的函數關系是，，且取，又因為沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用，所以函數的最小正周期為，即，解得，即線長約為cm.故選：B.例2．聲音是由物體振動產生的聲波．我們聽到的每個音都是由純音合成的，純音的數學模型是函數．音有四要素：音調、響度、音長和音色，它們都與函數及其參數有關，比如：響度與振幅有關，振幅越大響度越大，振幅越小響度越?。阂粽{與頻率有關，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖利．像我們平時聽到樂音不只是一個音在響，而是許多音的結合，稱為復合音．我們聽到的聲音函數是，結合上述材料及所學知識，你認為下列說法中錯誤的有（

）A．函數不具有奇偶性：B．函數在區間上單調遞增：C．若某聲音甲對應函數近似為，則聲音甲的響度一定比純音響度大：D．若某聲音甲對應函數近似為，則聲音甲一定比純音更低沉．【答案】A【解析】對于A，因為，所以函數是奇函數，故A錯誤；對于B，當時，，，，函數、、和都為增函數，所以函數在區間上單調遞增.故B正確；對于C，因為，所以聲音甲的振幅大于，而純音的振幅等于，所以聲音甲的響度一定比純音響度大.故C正確；對于D，因為的最小正周期為，的最小正周期為，所以的最小正周期為，頻率為，的頻率為，，所以聲音甲一定比純音更低沉．故D正確.故選：A例3．如圖，彈簧掛著的小球上下振動，它在t（單位：s）時相對于平衡位置的高度h（單位：cm）由關系式確定，下列結論正確的是（

）A．小球的最高點和最低點相距 B．小球在時的高度C．每秒鐘小球往復運動的次數為 D．從到，彈簧長度逐漸變長【答案】D【解析】由題意彈簧掛著的小球上下振動，它相對于平衡位置的高度由關系式確定，則小球的最高點和最低點相距平衡位置都是，故小球的最高點和最低點相距，A錯誤；小球在時的高度，B錯誤；由知，最小正周期，則頻率為，則每秒鐘小球往復運動的次數為，C錯誤；由題意知當時，單調遞減，時，小球在平衡位置，因為且，故，所以即遞減，時，小球在平衡位置以上位置，時，小球在平衡位置以下位置，即小球此時從平衡位置以上位置逐漸向平衡位置以下位置運動，故彈簧長度逐漸變長，D正確，故選：D變式1．我們平時聽到的樂音不只是一個音在響，而是許多個音的結合，稱為復合音.復合音的產生是因為發聲體在全段振動，產生頻率為的基音的同時，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振動，產生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數，如，，等.這些音叫諧音，因為其振幅較小，一般不易單獨聽出來，所以我們聽到的聲音的函數為.則函數的周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由對A：，故A不正確對B：，故B正確；對C：，故C不正確；對D：，故D不正確；故選：B.變式2．智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，則通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為噪音的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，則，周期為，則，初相位為，，所以噪聲的聲波曲線的解析式為，所以通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為．故選：A.變式3．如圖，彈簧掛著一個小球作上下運動，小球在t秒時相對于平衡位置的高度h（厘米）由如下關系式確定：，，.已知當時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，則小球在秒時h的值為（

）A．-2 B．2 C． D．【答案】D【解析】因為當時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，故，即，又，故，故，故當時，故選：D【方法技巧與總結】處理物理學問題的策略（1）常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性．（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題．題型二：三角函數模型的實際應用例4．（2023·江西省萬載中學高一階段練習）如圖所示，一條河寬AC為1km，兩岸各有一座城市A和B，A與B的直線距離是4km，今需鋪設一條電纜連接城市A和B，已知地下電纜的修建費是2萬元/km，水下電纜的修建費是4萬元/km，假設兩岸是平行直線（沒有彎曲），設∠CAD=θ，鋪設電纜總施工費用為y元.(1)求y關于θ的函數關系式.(2)應該鋪設地下電纜BD多長時方可使總施工費用y達到最小.【解析】（1）由題可知，，其中（2）由（1）可得因為，所以，設，則，即，因為，所以，解得，，此時，，滿足，故當時，總施工費用y達到最小，所以例5．（2023·廣東佛山·高一期末）2021年7月20日，佛山正式印發了《城市“暢通工程”兩年行動方案》（以下簡稱《方案》），聚焦人民群眾反映強烈的城市交通擁堵問題，通過微改造、微調整，為市民出行創造更加暢通有序的交通環境．現某醫院附近有條長500米，寬6米的道路（如圖1所示的矩形ABCD），改造前，路的一側劃有100個長5米，寬2.5米的停車位（如矩形AEFG），按《方案》，在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過壓縮道路旁邊綠化帶及改變停車位方向來增加停車位，記綠化帶被壓縮的寬度（米），停車位相對道路傾斜的角度，其中．(1)求d關于的函數表達式；(2)若，求該路段改造后的停車位比改造前增加的個數．【解析】（1）由圖知：，，又，所以；（2）由，得，解得，因為，所以舍去，如圖所示：作，交于，則，，所以，則，所以第一個車位最右邊離EM為，第二個車位最右邊離EM為，第n個車位最右邊離EM為，則，解得，因為n為整數，所以，改造前車位有個，所以改造后增加個.例6．（2023·遼寧丹東·高一期末）如圖，某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足，其中，，.(1)求，，，；(2)求這一天時的最大溫差近似值.參考數據：，.【解析】(1)由圖象可知：，，最小正周期，，，；，，，解得：，又，.(2)由圖象可知：在上單調遞減，在上單調遞增，，，，即這一天時的最大溫差近似值為.【方法技巧與總結】解三角函數應用問題的基本步驟題型三：數據擬合問題例7．某港口水深（米是時間（，單位：小時）的函數，下表是水深數據：（小時）03691215182124（米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據上述數據描成的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數的圖象.

(1)試根據數據表和曲線，求出的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）【解析】（1）根據數據，，，，，，函數的表達式為；（2）由題意，水深，即，，，，1，或；所以，該船在至或至能安全進港，若欲于當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過16小時.例8．某企業一天中不同時刻的用電量（萬千瓦時）關于時間（小時）的函數近似滿足（，，）．如圖是函數的部分圖象對應凌晨0點）．(1)根據圖象，求，，，的值；(2)由于當地冬季霧霾嚴重，從環保的角度，既要控制火力發電廠的排放量，電力供應有限，又要控制企業的排放量，于是需要對各企業實行分時拉閘限電措施．已知該企業某日前半日能分配到的供電量（萬千瓦時）與時間（小時）的關系可用線性函數模型（）擬合．當供電量小于該企業的用電量時，企業就必須停產．初步預計這一時刻處在中午11點到12點間，為保證該企業即可提前準備應對停產，又可盡量減少停產時間，請從這個初步預計的時間段開始，用二分法將這一時刻所處的時間段精確到15分鐘．【解析】（1）由函數圖象知，∴，，，代入，得，則,又,綜上，,,,.（2）由（1）知,令，設，則為該企業的停產時間．當時，，則在上單調遞增，而（）為減函數，故在上是單調遞增函數．由，又，則，即11點到11點30分之間（大于15分鐘），又，則，即11點15分到1點30分之間（正好15分鐘），故估計在11點15分到11點30分之間的時間段停產．例9．某市某日氣溫()是時間，單位：小時的函數，下面是該天不同時間的氣溫預報數據：（時）03691215182124()15.714.015.720.024.226.024.220.015.7根據上述數據描出的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成函數的圖象．(1)根據以上數據，試求函數的表達式(2)大數據統計顯示，某種特殊商品在室外銷售可獲得3倍于室內銷售的利潤，但對室外溫度的要求是氣溫不能低于，根據（1）中所得模型，一個24小時營業的商家想獲得最大利潤，應在什么時間段（用區間表示）將該種商品放在室外銷售？(忽略商品搬運時間及其他非主要因素)【解析】（1）由的圖象，可得，解得，又由，解得，所以，因為時，可得，即，解得，即，所以，又因為，解得，所以.（2）令，即，可得，解得，解得，又因為，所以當時，可得，所以一個小時營業的商家想獲得最大利潤，應在時間段將該種商品放在室外銷售．變式4．某地農業檢測機構統計發現：該地區近幾年的活雞收購價格（元/斤）每年四個季度會重復出現，但活雞養殖成本（元/斤）逐季遞增.下表是該地區今年四個季度的統計情況：季度第1季度第2季度第3季度第4季度收購價格81086養殖成本34現打算從以下兩個函數模型：①；②中選擇適當的函數模型，分別來擬合今年活雞收購價格與第季度之間的函數關系?養殖成本與第季度之間的函數關系（從今年第1季度為第1個季度開始計算）.（數據參考：取.）(1)請你選擇適當的函數模型，分別求出這兩個函數模型的解析式.(2)若活雞的收購價格高于養殖成本，則該地區活雞養殖戶盈利，若活雞的收購價格低于養殖成本，則該地區活雞養殖戶虧損.按照你選定的函數模型，幫助該機構估計一下，明年四個季度該地區活雞養殖戶是盈利還是虧損？【解析】（1）由表中數據可知，收購價格隨月份變化上下波動，應選擇模型①；由表中數據可知，收養殖成本隨月份緩慢上升，應選擇模型②.對于模型①，由點及可得該函數周期為，則由，可得.又該函數最大值為10以及最小值為6可得，，解得.所以.將代入可得，所以，又，所以，所以模型①為.對于模型②，的圖象過點，.所以，解得.所以模型②為.（2）由（1）設，.若，則盈利，若，則虧損.當時，，，則；當時，，，則；當時，，，則；當時，，，則.這說明明年四個季度的收購價格都高于養殖成本，所以估計明年四個季度該地區活雞養殖戶都會盈利.變式5．“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現了湖水漲落的壯闊畫面，某中學數學興趣小組進行潮水漲落與時間的關系的數學建模活動，通過實地考察某港口水深y（米）與時間（單位：小時）的關系，經過多次測量篩選，最后得到下表數據：t（小時）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現有知識儲備，再依據上述數據描成曲線，經擬合，該曲線可近似地看成函數圖象．(1)試根據數據表和曲線，求出近似函數的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運用上面興趣小組所得數據，結合所學知識，給該船舶公司提供安全進此港時間段的建議．【解析】（1）畫出散點圖，連線如下圖所示：設，根據最大值13，最小值7，可列方程為：，再由，得，；（2）．∵，∴，∴，或解得，或，所以請在1：00至5：00和13：00至17：00進港是安全的．【方法技巧與總結】數據擬合的通法（1）處理的關鍵：數據擬合是一項重要的數據處理能力，解決該類問題的關鍵在于如何把實際問題三角函數模型化，而散點圖在這里起了關鍵作用．（2）一般方法：數據對→作散點圖→確定擬合函數→解決實際問題．題型四：三角函數在圓周中的應用例10．筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖1）.假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2，將筒車抽象為一個半徑為米的圓，筒車按逆時針方向每旋轉一周用時秒，當時，筒車上的某個盛水筒位于點處，經過秒后運動到點，點的縱坐標滿足.已知筒車的軸心距離水面的高度為米，設盛水筒到水面的距離為（單位：米）（盛水筒在水面下時，則為負數）.

(1)將距離表示成旋轉時間的函數；(2)求筒車在秒的旋轉運動過程中，盛水筒位于水面以下的時間有多長？【解析】（1）由題意可知,由于,所以得.

因為時,,所以.由，可求得，從而.

所以，其中.（2）當盛水筒位于水面以下時，應滿足，即.可列不等式，解得.

因為，所以當時，；當時，；當時，.由，可得盛水筒位于水面以下的時間有80秒鐘.例11．已知質點從開始，沿以原點為圓心，2為半徑的圓作勻速圓周運動，質點運動的角速度為ω弧度/秒()，經過x秒，質點運動到點P，設點P的縱坐標為y，令，將的圖象向左平移2個單位長度后圖象關于y軸對稱．(1)求函數的解析式；(2)求函數的單調遞減區間及上的最值．【解析】（1）設，由知，．因為，所以．又，所以．將的圖象向左平移2個單位長度后所得函數．因為的圖象關于y軸對稱，所以，解得．又，所以當時，，所以．（2）由（1）得，令，解得，所以函數的單調遞減區間為．當時，，當時，；當時，．例12．筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到應用.假定在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4，筒車轉輪的中心O到水面的距離為2，筒車每分鐘沿逆時針方向轉動4圈.規定：盛水筒M對應的點P從水中浮現（即P0時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系.設盛水筒M從點P0運動到點P時所經過的時間為t（單位：），且此時點P距離水面的高度為h（單位：）（在水面下則h為負數）.(1)求點P距離水面的高度為h關于時間為t的函數解析式；(2)求點P第一次到達最高點需要的時間（單位：）.【解析】（1）盛水筒M從點P0運動到點P時所經過的時間為t，則以Ox為始邊，OP為終邊的角為，故P點的縱坐標為，則點離水面的高度，（t≥0).（2）令，得，得，，得，，因為點P第一次到達最高點，所以，所以.變式6．筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用，現有一個筒車按逆時針方向勻速轉動．每分鐘轉動5圈，如圖，將該筒車抽象為圓O，筒車上的盛水桶抽象為圓O上的點P，已知圓O的半徑為，圓心O距離水面，且當圓O上點P從水中浮現時（圖中點）開始計算時間．(1)根據如圖所示的直角坐標系，將點P到水面的距離h（單位：m，在水面下，h為負數）表示為時間t（單位：s）的函數，并求時，點P到水面的距離；(2)在點P從開始轉動的一圈內，點P到水面的距離不低于的時間有多長？【解析】（1）筒車按逆時針方向勻速轉動．每分鐘轉動5圈，故筒車每秒轉動的角速度為，故，當時，，故點P到水面的距離為m（2）點P從開始轉動的一圈，所用時間，令，其中，解得：，則，故點P到水面的距離不低于的時間為4s.變式7．如圖為一個觀覽車示意圖.該觀覽車圓半徑為米，圓上最低點與地面距離為米，秒轉動一圈，圖中與地面垂直.設從開始轉動，逆時針轉動角到，設點與地面距離為.(1)當時，求的值；(2)若經過秒到達，求與的函數解析式.【解析】（1）以圓心為原點，建立平面直角坐標系（如圖所示），則以為始邊、為終邊的角為，故點的坐標為，所以，當時，（米）.（2）點在圓上轉動的周期為60秒，所以角速度為，故秒轉過的弧度數為，所以與的函數解析式為：（）.變式8．如圖，一只螞蟻繞一個豎直放置的圓逆時針勻速爬行，已知圓的半徑為8m，圓的圓心O距離地面的高度為10m，螞蟻每12min爬行一圈，若螞蟻的起始位置在最低點處．(1)將螞蟻距離地面的高度表示為時間的函數；(2)在螞蟻繞圓爬行的一圈內，有多長時間螞蟻距離地面不低于14m?【解析】（1）設在時螞蟻到達點P，則以Ox為始邊，OP為終邊的角為，故P點的縱坐標為，則，所以所求函數關系式為；（2）由（1）知．令，可得，所以，解得，又，所以．即在螞蟻繞圓爬行的一圈內，有螞蟻距離地面不低于．題型五：幾何中的三角函數模型例13．如圖所示，是一塊邊長為200米的正方形地皮，其中是一半徑為180米的扇形草地，是弧上一點，其余部分都是空地，現開發商想在空地上建造一個有兩邊分別落在和上的長方形停車場，設，長方形的面積為.(1)試建立S關于的函數關系式；(2)當為多少時，S最大，并求最大值.【解析】（1）延長交于，設，則，，.（2）設，則，由，可得，故，，該函數圖像的對稱軸為，當，即時，有最大值平方米.例14．在校園美化、改造活動中，要在半徑為、圓心角為的扇形空地的內部修建一矩形觀賽場地，如圖所示．取的中點M，記．(1)寫出矩形的面積S與角的函數關系式；(2)求當角為何值時，矩形的面積最大？并求出最大面積．【解析】（1）由題可知，，在中，，，，在中，，，，．（2），，當，即時，，故當時，矩形的面積最大，最大值為．例15．如圖，有一塊以點O為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內接矩形ABCD開辟為綠地，使其一邊AD落在半圓的直徑上，另兩點B，C落在半圓的圓周上．已知半圓的半徑長為20m.(1)如何選擇關于點O對稱的點A，D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大，最大值是多少？(2)沿著AB，BC，CD修一條步行小路從A到D，如何選擇A，D位置，使步行小路的距離最遠？【解析】（1）連接OB，如圖所示，設，則，且.因為A，D關于原點對稱，所以.設矩形ABCD的面積為S，則.因為，所以當，即時，（m2）．此時（m）．故當A，D距離圓心O為m時，矩形ABCD的面積最大，其最大面積是400m2.（2）由（1）知，所以.又，所以，當，即時，，此時，即當A，D距離圓心O為m時，步行小路的距離最遠．變式9．某小區要在一塊扇形區域中修建一個矩形的游泳池．如圖，在扇形OPQ中，半徑，圓心角，C是扇形弧上的動點，矩形ABCD內接于扇形．記，矩形ABCD的面積為．(1)將面積S表示為角的函數；(2)當角取何值時，S最大？并求出這個最大值．【解析】（1）依題意，在中，，則，，在中，，則，因此，，所以面積S表示為角的函數是.（2）由（1）知，當時，，則當，即時，，所以當時，.變式10．在校園美化?改造活動中，要在半徑為，圓心角為的扇形空地的內部修建一矩形觀賽場地，如圖所示.取的中點，記.(1)寫出矩形的面積與角的函數關系式；(2)求當角為何值時，矩形的面積最大？并求出最大面積.【解析】（1）由題可知，在中，，，在中，，（2）當，即時，故當時，矩形的面積最大，最大值為變式11．某地為慶祝中華人民共和國成立七十周年，在一個半徑為米、圓心角為60°的扇形草坪上，由數千人的表演團隊手持光影屏組成紅旗圖案，已知紅旗圖案為矩形，其四個頂點中有兩個頂點、在線段上，另兩個頂點、分別在弧、線段上.

(1)若，求此紅旗圖案的面積；（精確到）(2)求組成的紅旗圖案的最大面積.（精確到）【解析】（1）由題意，則，，，，；（2）設，則，，，，，故當時，即時，取得最大值．變式12．如圖所示，是一聲邊長為米的正方形地皮，其中是一半徑為米的扇形草地，是弧上一點，其余部分都是空地，現開發商想在空地上建造一個有兩邊分別落在和上的長方形停車場．(1)設，長方形的面積為S，試建立S關于的函數關系式；(2)當為多少時，S最大，并求最大值．【解析】（1）延長交于，設，則，，，．，．（2）設，，知，，，．當，即時，有最大值．答：長方形停車場面積的最大值為平方米．【過關測試】一、單選題1．健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為90~139mmhg和60~89mmhg，心臟跳動時，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數為120/80mmhg為標準值．設某人的血壓滿足函數式，其中為血壓（mmhg），為時間（min）．給出以下結論：①此人的血壓在血壓計上的讀數為140/90mmhg

②此人的血壓在健康范圍內③此人的血壓已超過標準值

④此人的心跳為80次/分其中正確結論的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為某人的血壓滿足函數式，又因為，所以，即，即此人的血壓在血壓計上的讀數為140/90mmhg，故①正確；因為收縮壓為mmhg，舒張壓為mmhg，均超過健康范圍，即此人的血壓不在健康范圍內，故②錯誤，③正確；對于函數，其最小正周期（min），則此人的心跳為次/分，故④正確；故選：C2．如圖是清代的時鐘，以中國傳統的一日十二個時辰為表盤顯示，其內部結構與普通機械鐘表的內部結構相似．內部表盤為圓形，外部環形裝飾部分寬度為，此表掛在墻上，最高點距離地面的高度為，最低點距離地面的高度為，以子時為正向上方向，一官員去上早朝時，看到家中時鐘的指針指向寅時（指針尖的軌跡為表盤邊沿），若4個半時辰后回到家中，此時指針尖到地面的高度約為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：由題意得：外圓的半徑為cm，內圓的半徑為cm，，所以，則此時指針尖到地面的高度約為：cm，故選：C3．時鐘花原產于南美洲熱帶，我國云南部分地區有引進栽培．時鐘花的花開花謝非常有規律，其開花時間與氣溫密切相關，開花時所需氣溫約為20℃，氣溫上升到約30℃開始閉合，在花期內，時鐘花每天開閉一次．某景區種有時鐘花，該景區6時～16時的氣溫（℃）隨時間（時）的變化趨勢近似滿足函數，則在6時～16時中，賞花的最佳時段大致為（

）A．7.3時～11.3時 B．8.7時～11.3時C．7.3時～12.7時 D．8.7時～12.7時【答案】B【解析】當時，，由，得，所以(時)；由，得，所以(時).故在6時時中，觀花的最佳時段約為時時.故選：B4．如圖，某港口某天從到的水深（單位：m）與時間（單位：h）之間的關系可用函數近似刻畫，據此可估計當天的水深為（

）

A． B．4mC． D．【答案】A【解析】由題圖可得，，則，當時，取得最小值，即，解得，∵函數的圖象過點，∴，又，則，所以，∴，∴．當時，，即估計當天的水深為．故選：A.5．彈簧振子的振動是簡諧振動.下表給出了振子在完成一次全振動的過程中的事件t與位移s之間的測量數據，那么能與這些數據擬合的振動函數的解析式為（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【答案】D【解析】設簡諧振動的解析式為，其中由表格可知：振幅，周期，過點，由周期，且，可得，由過點，可得，即，則，可得，所以簡諧振動的解析式為.故選：D.6．為了研究鐘表秒針針尖的運動變化規律，建立如圖所示的平面直角坐標系，設秒針針尖位置為點．若初始位置為點，秒針從（規定此時）開始沿順時針方向轉動，點P的縱坐標y與時間t的函數關系式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數的周期為，所以，由于秒針順時針旋轉，所以可設函數解析式為，因為初始位置為點，所以當時，，所以，所以可能取，所以，故選：D7．阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數關系為，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續三次到達同一位置的時間分別為，，，且，，則在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（

）

A． B． C．1s D．【答案】C【解析】因為，，，所以，又，所以，則，由可得，所以，，所以，，故，所以在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為1s.故選：C.8．古代數學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了數學基礎，現根據劉徽的《重差》測景一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在一條直線上，且在點A的同側，若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和30°，且，則該球體建筑物的高度約為（）

A．100m B． C． D．【答案】A【解析】設球的截面圓心為O，連接OB，OC，設球的截面圓的半徑為R，由圓的切線的性質可得：，，則，，所以，可得，即，又因為，，所以，所以，所以球的直徑.故選：A.二、多選題9．如圖（1），筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今在農業生產中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為(單位：m)(在水下則為負數)、與時間(單位：s)之間的關系是，則下列說法正確的是（

）

A．筒車的半徑為3m，旋轉一周用時60sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．盛水筒出水后至少經過20s才可以達到最高點D．時，盛水筒處于向上運動狀態【答案】AC【解析】對于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉一周用時，A正確；對于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B錯誤；對于C，令，，，解得：，又，當時，，即盛水筒出水后至少經過才可以達到最高點，C正確.對于D，當時，，此時單調遞減，盛水筒處于處于向下運動的狀態，D錯誤.故選：AC.10．關于函數，下列選項正確的是（

）A．的最小正周期是 B．在區間單調遞減C．在有4個零點 D．的最大值為2【答案】BD【解析】選項A：令，，選項錯誤；選項B：，，所以在區間單調遞減，選項正確；選項C：當，令得解得：當，令得解得：或所以函數在有3個零點，選項錯誤；選項D：因為所以又所以的最大值為2,選項正確；故選：BD.11．摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如武漢東湖的“東湖之眼”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點離地面高度55米，轉盤直徑為50米，設置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉分鐘，當時，游客隨艙旋轉至距離地面最遠處.以下關于摩天輪的說法中，正確的為（

）

A．摩天輪離地面最近的距離為5米B．若旋轉分鐘后，游客距離地面的高度為米，則C．存在，，使得游客在該時刻距離地面的高度均為20米D．若在，時刻游客距離地面的高度相等，則的最小值為20【答案】ABD【解析】對于A，由題意知，摩天輪離地面最近的距離為米，故A正確；對于B，設，當時，游客從離地面最近的位置進艙，當時，游客隨艙旋轉至距離地面最遠處.所以，，，，又當時，，所以，所以，故B正確；對于C，因為，，又高度相等，函數的對稱軸為，則關于對稱，則，則；令，解得，令，解得，則在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，當時，；當時，，所以在只有一個解，故C錯誤；對于D，周期，由余弦型函數的性質可知，令，則，，函數關于對稱，若在，時刻游客距離地面的高度相等，則當時，的最小值為10，的最小值為20.故D正確.故選：ABD.12．水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據史料記載，水車發明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的特征.如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時120秒.經過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足（，，），則下列敘述正確的是（

）

A．B．當時，函數單調遞增C．當時，的最大值為D．當時，【答案】AD【解析】由題意，，，所以，則，又點，此時代入可得，解得，又，所以，故A正確；因為，當時，，所以函數先增后減，故B錯誤；當時，所以，則，則，故C錯誤；當時，，的縱坐標為，橫坐標為，所以，故D正確；故選：AD三、填空題13．若以函數圖像上相鄰的四個最值所在的點為頂點恰好構成一個菱形，則．【答案】【解析】令，，則，，不妨取相鄰四個最值所在的點分別為，，，，如圖所示，因為以為頂點的四邊形恰好構成一個菱形，所以，所以，所以，即.故答案為：14．如圖1，筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，如圖2，將筒車簡化為圓，以為原點，以與水平平行的直線為軸建立直角坐標系，設時，盛水筒位于，以為始邊，以為終邊的角為，動點每秒鐘逆時針轉過，則盛水筒的高度與時間的關系是.

【答案】.【解析】因為時，盛水筒位于，以為始邊，以為終邊的角為，所以,又因為動點每秒鐘逆時針轉過，所以t秒后，則，所以則盛水筒的高度與時間的關系是，故答案為：15．如圖，一根絕對剛性且長度不變?質量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺動，沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數關系，若函數在區間上的最大值為，最小值為，則的最小值為.

【答案】【解析】由函數的圖象，可得，解得，所以，又由，可得，解得因為，所以，所以，由區間的區間長度為，即區間長度為個周期，當區間在同一個單調區間時，不妨設，可得則，因為，可得，當或時，取最小值；當區間在不同一個單調區間時，不妨設，可得，此時函數在上先增后減，此時，不妨設，則，.綜上可得，最小值為.故答案為：.16．已知某彈簧振子的位移（單位：cm）與時間（單位：s）滿足，初始時將彈簧振子下壓至后松開，經過測量發現彈簧振子每10s往復振動5次，則在第45s時，彈簧振子的位移是cm.【答案】【解析】由題意，且最小正周期，即，故，所以，且，即，不妨令，故，當，則.故答案為：四、解答題17．一個單擺如圖所示，小球偏離鉛垂線方向的角為，α與擺動時間t（單位：s）之間的函數解析式為．求：(1)最初時α的值；(2)單擺擺動的頻率；(3)經過多長時間單擺完成5次完整擺動？【解析】（1）代入得；（2）由解析式可知其周期；（3）由（2）知該函數的周期為，故完成5次完整擺動需要s.18．如圖，掛在彈簧下方的小球做上下振動，小球在時間t（單位：s）時相對于平衡位置（即靜止的位置）的高度為h（單位：cm），由下列關系式決定：，以橫軸表示時間，縱軸表示高度，畫出這個函數在一個周期的閉區間上的簡圖，并回答下列問題

(1)小球開始振動時的位置在哪里？(2)小球位于最高、最低位置時h的值是多少？(3)經過多長時間小球振動一次（即周期是多少）？(4)小球每1s能往復振動多少次（即頻率是多少）？【解析】（1）作出函數在一個周期的閉區間上的圖象如圖，當時，，即小球在開始振動（即）時的位置在處，即平衡位置上方處；（2）的最大值為2，最小值為，則小球的最高、最低位置時的分別為2，；（3）由于，故經過小球振動一次；（4）每秒鐘小球能往復振動次.19．已知摩天輪的半徑為60m，其中心距離地面70m，摩天輪做勻速轉動，每30min轉一圈，摩天輪上點的起始位置在最低點處．

(1)試確定在時刻時，點離地面的高度；(2)在摩天輪轉動的一圈內，點距離地面超過100m的時間有多長？【解析】（1）如圖所示，以摩天輪所在面為坐標平面，以摩天輪的中心點為原點，軸和軸分別平行和垂直于地平面，建立直角坐標系，點的初始位置在