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文檔簡介

四面體的性質不在一直線上的三點可以連成一個三角形，不共面的四點可以連成四個三角形，這四個三角形圍成的幾何體叫做四面體（如圖1）.它有四個頂點，六條棱，四個面.研究四面體的有關性質可以加深對四面體，空間四邊形的知識的理解，有利于提高熟練運用知識的能力.性質1：四面體中相對的棱所在的直線是異面直線.如圖1中AB和CD，BC和AD，AC和BD都是異面直線.性質2：四面體中，若一個頂點在對面內射影是這個三角形的垂心，則四面體的三組對棱分別互相垂直.證明：如圖2的四面體中，設頂點A在面BCD內的射影H是的垂心..連結BH，CH，DH，則，，.根據三垂線定理得，，.性質3：四面體中，若有兩組對棱互相垂直，則第三組對棱也互相垂直.證明：設四面體中，，，過A作，H為垂足（如圖2）.連結BH，CH，則BH為AB在平面BCD內的射影，根據三垂線定理的逆定理，；同理，所以H是的垂心.由性質2知.根據性質2,3立即可以得到：性質4：四面體中，若一個頂點在它對面內的射影是這個面的中心，則其余各頂點在其對面內的射影也分別是這些面的中心.利用全等三角形的判定和性質，可以證明下面兩條性質：性質5：四面體中，若交于同一頂點的三條棱相等，則這個頂點在對面內的射影是這個三角形的外心，且這三條棱和頂點所對面所成的角相等.反之也真.特別地，若這個頂點所對的面是一個直角三角形，則這頂點的射影是直角三角形斜邊的中點.性質6：四面體中，若一個頂點在對面內的射影是這個三角形的內心，則頂點到對面三角形三條邊的距離相等，且以這三角形三角形三條邊為棱的三個二面角相等.性質7：四面體中，若交于同一點的三條棱兩兩互相垂直，則這個頂點所對面是一個銳角三角形.證明：如圖3，設，，，，不妨設，則，，.顯然BC是的最大邊，是中最大內角.根據余弦定理，有.所以，是銳角三角形.性質8：四面體中，若交于同一頂點的三條棱分別兩兩垂直，則這頂點所對的三角形面積的平方等于其余三個三角形面積的平方和.證明：設四面體中，，，，且，，（如圖4），則，，.在中作，則.∵，，∴.∴.在中，.∴.例題：如圖5，平面和四面體的對棱AC，BD都平行，且分別交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H，問四邊形EFGH在什么位置時面積最大.解：∵，∴同理，.∴四邊形EFGH是平行四邊形.不妨設是小于或等于的角，則是異面直線BD，AC所成的角.是已知四面體，，，BD和AC成角（這里，，均為定值）.設，則.∴，，.當時，最大，這時E，F，G，H分別是所在棱的中點.練習1、在四面體中，如果，，.求證：。2、在四面體中，，，.求證：.3、在四面體中，，，求二面角的大小.4、在四面體中，交于P點的三條棱兩兩垂直，P在的射影是H.求證：的面積是的面積和的面積的比例中項.5、上題中

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