./《概率論與數理統計》作業集及答案第1章概率論的基本概念§1.1隨機試驗及隨機事件1.<1>一枚硬幣連丟3次,觀察正面H﹑反面T出現的情形.樣本空間是：S=；<2>一枚硬幣連丟3次,觀察出現正面的次數.樣本空間是：S=；2.<1>丟一顆骰子.A：出現奇數點,則A=；B：數點大于2,則B=.<2>一枚硬幣連丟2次,A：第一次出現正面,則A=；B：兩次出現同一面,則=；C：至少有一次出現正面,則C=.§1.2隨機事件的運算1.設A、B、C為三事件,用A、B、C的運算關系表示下列各事件：<1>A、B、C都不發生表示為：.<2>A與B都發生,而C不發生表示為：.<3>A與B都不發生,而C發生表示為：.<4>A、B、C中最多二個發生表示為：.<5>A、B、C中至少二個發生表示為：.<6>A、B、C中不多于一個發生表示為：.2.設：則〔1,〔2,〔3,〔4=,〔5=。§1.3概率的定義和性質已知,則<1>,<2><>=,<3>=.2.已知則=.§1.4古典概型1.某班有30個同學,其中8個女同學,隨機地選10個,求:<1>正好有2個女同學的概率,<2>最多有2個女同學的概率,<3>至少有2個女同學的概率.2.將3個不同的球隨機地投入到4個盒子中,求有三個盒子各一球的概率.§1.5條件概率與乘法公式1．丟甲、乙兩顆均勻的骰子,已知點數之和為7,則其中一顆為1的概率是。2.已知則。§1.6全概率公式有10個簽,其中2個"中",第一人隨機地抽一個簽,不放回,第二人再隨機地抽一個簽,說明兩人抽"中‘的概率相同。2.第一盒中有4個紅球6個白球,第二盒中有5個紅球5個白球,隨機地取一盒,從中隨機地取一個球,求取到紅球的概率。§1.7貝葉斯公式某廠產品有70%不需要調試即可出廠,另30%需經過調試,調試后有80%能出廠,求〔1該廠產品能出廠的概率,〔2任取一出廠產品,求未經調試的概率。將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去,接收站收到時,A被誤收作B的概率為0.02,B被誤收作A的概率為0.01,信息A與信息B傳遞的頻繁程度為3:2,若接收站收到的信息是A,問原發信息是A的概率是多少？§1.8隨機事件的獨立性1.電路如圖,其中A,B,C,D為開關。設各開關閉合與否相互獨立,且每一開關閉合的概率均為p,求L與R為通路〔用T表示的概率。ABLRCD甲,乙,丙三人向同一目標各射擊一次,命中率分別為0.4,0.5和0.6,是否命中,相互獨立,求下列概率:<1>恰好命中一次,<2>至少命中一次。第1章作業答案§1.11：〔1；〔22：〔1；〔2正正,正反正正,反反正正,正反,反正}。§1.21：<1>；<2>；<3>；<4>；<5>；<6>或；2：<1>；<2>；<3>；〔4或；〔5。§1.31：<1>=0.3,<2>=0.2,<3>=0.7.2：>=0.4.§1.41：<1>,<2><,<3>1-<.2：.§1.51：.2/6；2：1/4。§1.61：設A表示第一人"中",則P<A>=2/10設B表示第二人"中",則P<B>=P<A>P<B|A>+P<>P<B|>=兩人抽"中‘的概率相同,與先后次序無關。2：隨機地取一盒,則每一盒取到的概率都是0.5,所求概率為：p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45§1.71：〔194%〔270/94；2：0.993；§1.8.1：用A,B,C,D表示開關閉合,于是T=AB∪從而,由概率的性質及A,B,C,D的相互獨立性P<T>=P<AB>+P<CD>-P<ABCD>=P<A>P<B>+P<C>P<D>–P<A>P<B>P<C>P<D>2：<1>0.4<1-0.5><1-0.6>+<1-0.4>0.5<1-0.6>+<1-0.4><1-0.5>0.6=0.38；<2>1-<1-0.4><1-0.5><1-0.6>=0.88.第2章隨機變量及其分布§2.1隨機變量的概念,離散型隨機變量1一盒中有編號為1,2,3,4,5的五個球,從中隨機地取3個,用X表示取出的3個球中的最大號碼.,試寫出X的分布律.2某射手有5發子彈,每次命中率是0.4,一次接一次地射擊,直到命中為止或子彈用盡為止,用X表示射擊的次數,試寫出X的分布律。§2.2分布和泊松分布1某程控交換機在一分鐘內接到用戶的呼叫次數X是服從λ=4的泊松分布,求<1>每分鐘恰有1次呼叫的概率；<2>每分鐘只少有1次呼叫的概率；<3>每分鐘最多有1次呼叫的概率；2設隨機變量X有分布律：X23,Y～π<X>,試求：p0.40.6〔1P<X=2,Y≤2>；<2>P<Y≤2>；<3>已知Y≤2,求X=2的概率。§2.3貝努里分布一辦公室內有5臺計算機,調查表明在任一時刻每臺計算機被使用的概率為0.6,計算機是否被使用相互獨立,問在同一時刻<1>恰有2臺計算機被使用的概率是多少？<2>至少有3臺計算機被使用的概率是多少？<3>至多有3臺計算機被使用的概率是多少？<4>至少有1臺計算機被使用的概率是多少？2設每次射擊命中率為0.2,問至少必須進行多少次獨立射擊,才能使至少擊中一次的概率不小于0.9？§2.4隨機變量的分布函數1設隨機變量X的分布函數是：F<x>=〔1求P<X≤0>；P；P<X≥1>,<2>寫出X的分布律。2設隨機變量X的分布函數是：F<x>=,求〔1常數A,<2>P.§2.5連續型隨機變量1設連續型隨機變量的密度函數為：〔1求常數的值；〔2求X的分布函數F<x>,畫出F<x>的圖形,〔3用二種方法計算P<-0.5<X<0.5>.2設連續型隨機變量的分布函數為：F<x>=<1>求X的密度函數,畫出的圖形,<2>并用二種方法計算P<X>0.5>.§2.6均勻分布和指數分布1設隨機變量K在區間<0,5>上服從均勻分布,求方程4+4Kx+K+2=0有實根的概率。2假設打一次電話所用時間〔單位：分X服從的指數分布,如某人正好在你前面走進電話亭,試求你等待：〔1超過10分鐘的概率；〔210分鐘到20分鐘的概率。§2.7正態分布1隨機變量X～N<3,4>,<1>求P<2<X≤5>,P<-4<X≤10>,P<|X|>2>,P<X>3>；<2>確定c,使得P<X>c>=P<X<c>。2某產品的質量指標X服從正態分布,μ=160,若要求P<120<X<200>≥0.80,試問σ最多取多大？§2.8隨機變量函數的分布1設隨機變量的分布律為；X012p0.30.40.3Y=2X–1,求隨機變量的分布律。2設隨機變量的密度函數為：,；求隨機變量Y的密度函數。3.設隨機變量服從〔0,1上的均勻分布,,求隨機變量Y的密度函數。第2章作業答案§2.11：X345p0.10.30.62：X12345p0.40.6×0.40.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.6×1§2.21：<1>P<X=1>=P<X≥1>–P<X≥2>=0.981684–0.908422=0.073262,<2>P<X≥1>=0.981684,<3>P<X≤1>=1-P<X≥2>=1–0.908422=0.091578。2：<1>由乘法公式：P<X=2,Y≤2>=P<X=2>P<Y≤2|X=2>=0.4×<>=2〔2由全概率公式：P<Y≤2>=P<X=2>P<Y≤2|X=2>+P<X=3>P<Y≤2|X=3>=0.4×5+0.6×=0.27067+0.25391=0.52458〔3由貝葉斯公式：P<X=2|Y≤2>=§2.31：設X表示在同一時刻被使用的臺數,則X～B<5,0.6>,<1>P<X=2>=<2>P<X≥3>=<3>P<X≤3>=1-<4>P<X≥1>=1-2：至少必須進行11次獨立射擊.§2.41：〔1P<X≤0>=0.5；P=0.5；P<X≥1>=0.5,<2>X的分布律為：X-11P0.50.52：<1>A=1,<2>P=1/6§2.51：〔1,〔2；〔3P<-0.5<X<0.5>=；或=F<0,5>–F<-0.5>=。2：〔1〔2§2.61：3/52：§2.71：<1>0.5328,0.9996,0.6977,0.5；<2>c=3,2：σ≤31.25。§2.81：Y-113p0.30.40.32：,3：；第3章多維隨機變量§3.1二維離散型隨機變量設盒子中有2個紅球,2個白球,1個黑球,從中隨機地取3個,用X表示取到的紅球個數,用Y表示取到的白球個數,寫出<X,Y>的聯合分布律及邊緣分布律。設二維隨機變量的聯合分布律為：XY012試根椐下列條件分別求a和b的值；00.10.2a<1>；10.1b0.2<2>；<3>設是的分布函數,。§3.2二維連續型隨機變量的聯合密度函數為：求〔1常數k；〔2P<X<1/2,Y<1/2>；<3>P<X+Y<1>；<4>P<X<1/2>。2．的聯合密度函數為：求〔1常數k；〔2P<X+Y<1>；<3>P<X<1/2>。§3.3邊緣密度函數設<X,Y>的聯合密度函數如下,分別求與的邊緣密度函數。2.設<X,Y>的聯合密度函數如下,分別求與的邊緣密度函數。§3.4隨機變量的獨立性<X,Y>的聯合分布律如下,XY123試根椐下列條件分別求a和b的值；11/61/91/18<1>；2ab1/9<2>；〔3已知與相互獨立。<X,Y>的聯合密度函數如下,求常數c,并討論與是否相互獨立？*§3.5多個隨機變量的函數的分布*§3.6幾種特殊隨機變量函數的分布第3章作業答案§3.11：XY122：<1>a=0.1b=0.310.40.30.7<2>a=0.2b=0.220.30.0.3<3>a=0.3b=0.10.70.31§3.21：<1>k=1；<2>P<X<1/2,Y<1/2>=1/8；<3>P<X+Y<1>=1/3；<4>P<X<1/2>=3/8。2：<1>k=8；<2>P<X+Y<1>=1/6；<3>P<X<1/2>=1/16。§3.31：；；2：；；§3.41：〔1a=1/6b=7/18；<2>a=4/9b=1/9；〔3a=1/3,b=2/9。2：c=6,X與Y相互獨立。第4章隨機變量的數字特征§4.1數學期望1．盒中有5個球,其中2個紅球,隨機地取3個,用X表示取到的紅球的個數,則EX是：〔A1；〔B1.2；〔C1.5；〔D2.2.設有密度函數：,求,并求大于數學期望的概率。設二維隨機變量的聯合分布律為：XY012已知,00.10.2a則a和b的值是：10.1b0.2〔Aa=0.1,b=0.3；〔Ba=0.3,b=0.1；〔Ca=0.2,b=0.2；〔Da=0.15,b=0.25。4．設隨機變量<X,Y>的聯合密度函數如下：求。§4.2數學期望的性質1．設X有分布律：X0123則是：p0.10.20.30.4〔A1；〔B2；〔C3；〔D4.設有,試驗證,但與不相互獨立。§4.3方差1．丟一顆均勻的骰子,用X表示點數,求.2．有密度函數：,求D<X>.§4.4常見的幾種隨機變量的期望與方差設,,相互獨立,則的值分別是：〔A-1.6和4.88；〔B-1和4；〔C1.6和4.88；〔D1.6和-4.88.2.設,與有相同的期望和方差,求的值。〔A0和8；〔B1和7；〔C2和6；〔D3和5.§4.5協方差與相關系數1．隨機變量<X,Y>的聯合分布律如下：試求協方差和相關系數,XY－101.00.20.1010.10.30.32．設隨機變量<X,Y>有聯合密度函數如下：試求協方差和相關系數,§4.6獨立性與不相關性矩1．下列結論不正確的是〔〔A與相互獨立,則與不相關；〔B與相關,則與不相互獨立；〔C,則與相互獨立；〔D,則與不相關；2．若,則不正確的是〔〔A；〔B；〔C；〔D；3．〔有聯合分布律如下,試分析與的相關性和獨立性。XY－101.－11/81/81/801/801/811/81/81/84．是與不相關的〔〔A必要條件；〔B充分條件：〔C充要條件；〔D既不必要,也不充分。5.是與相互獨立的〔必要條件；〔B充分條件：〔C充要條件；〔D既不必要,也不充分。6.設隨機變量<X,Y>有聯合密度函數如下：試驗證與不相關,但不獨立。第4章作業答案§4.11：B；2：3/2,2,3/4,37/64；3：D；4：2/3,4/3,17/9；§4.21：D；§4.31：7/2,35/12；2：11/36；§4.41：A；2：B；§4.51：0.2,0.355；2：－1/144,－1/11；§4.61：C；2：C；3：與不相關,但與不相互獨立；4：C；5：A；第5章極限定理*§5.1大數定理§5.2中心極限定理1．一批元件的壽命〔以小時計服從參數為0.004的指數分布,現有元件30只,一只在用,其余29只備用,當使用的一只損壞時,立即換上備用件,利用中心極限定理求30只元件至少能使用一年〔8760小時的近似概率。2．某一隨機試驗,"成功"的概率為0.04,獨立重復100次,由泊松定理和中心極限定理分別求最多"成功"6次的概率的近似值。第5章作業答案§5.22：0.1788；3：0.889,0.841；第6章數理統計基礎§6.1數理統計中的幾個概念有n=10的樣本；1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,1.4,則樣本均值=,樣本均方差,樣本方差。2．設總體方差為有樣本,樣本均值為,則。§6.2數理統計中常用的三個分布1.查有關的附表,下列分位點的值：=,=,=。2．設是總體的樣本,求。§6.3一個正態總體的三個統計量的分布1．設總體,樣本,樣本均值,樣本方差,則,,～,～,*§6.4二個正態總體的三個統計量的分布第6章作業答案§6.11．；2.；§6.21．-1.29,9.236,-1.3722；2．；§6.31.；第7章參數估計§7.1矩估計法和順序統計量法1.設總體的密度函數為：,有樣本,求未知參數的矩估計。2.每分鐘通過某橋量的汽車輛數,為估計的值,在實地隨機地調查了20次,每次1分鐘,結果如下：次數：23456量數：95374試求的一階矩估計和二階矩估計。§7.2