2022-2023學年新疆昌吉州高中學聯體高一（下）期末數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.復數Z=空的虛部為（）

A.—?iBC--D--

?IJ22

2.已知向量五=(2,m),b=(-1,2).若方〃3，則m=（)

A.1B.2C.—4D.4

3.若復數Z滿足Iz?(2+i)∣=√^Tθ.其中i是虛數單位，則∣z∣2的值為（）

A.√-2B.2C.√-3D.3

4.設有直線m、n和平面a、β,下列四個命題中，正確的是（）

A.若m〃a,n∕∕a,則m〃ZI

B.若mua,TiUa,m∕∕β,n∕∕β,則a〃6

C.若a_L0,mua,則m10

D.若aJL0,mLβ,ma,則m〃a

5.某校高一年級的學生人數為640、高二年級的學生人數為600、高三年級的學生人數為560,

現用分層抽樣的方法從該校所有學生中抽取一個容量為90的樣本，則高三年級應該抽取的人

數為（）

A.28B.30C.32D.36

6.已知向量五，3滿足石=（L1）,a-b=2^則五在石上的投影向量的坐標為（）

.yJ~27-2、

A.B.(1,1)C.(T-I)D?(一好F)

7.小明同學學以致用，欲測量學校教學樓的高度，他采用了

如圖所示的方式來進行測量，小明同學在運動場上選取相距25

米的C,D兩觀測點，且C,D與教學樓底部B在同一水平面上，

在C,D兩觀測點處測得教學樓頂部A的仰角分別為45。，30°,

并測得NBCD=I20。，則教學樓4B的高度是（）

A.20米B.25米C.15/3米D.20√~Σ米

8.若三棱錐P-4BC的所有頂點都在同一個球的表面上，其中P4_L平面ABC,PA=Z0,

AB=AC=2,/.BAC=90°,則該球的體積為（）

16ττC32ττ

A.16τr,~C.8ττD?~

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列說法中，正確的是（）

A.極差和標準差都能描述一組數據的離散程度

B.如果一組數中每個數減去同一個非零常數，則這一組數的平均數改變，方差也改變

22

C.一個樣本的方差s2=^[（x1-3）+（x2-3）+???+（X2O-3）2],則這組數據總和等于60

D.數據的,a2,an的方差為S2,則數據2&,Ia2........2αrι的方差為2s?

10.正六棱臺的上、下底面邊長分別是2cm和6cm,側棱長是5cτn,則下列說法正確的是（）

A.該正六棱臺的上底面積是6√^3cnι2

B.該正六棱臺的側面面積是15cτ∏2

C.該正六棱臺的表面積是（60/3+24<7T）cm2

D.該正六棱臺的高是3cm

11.下列說法其中正確的說法為（）

A.若五〃ab∕∕c,則五〃了

B.右OA+OB+OC=0>SAAoc，SAABC分別表不^AOC>△4BC的面積，則SM":SbABC=1：

3

c.兩個非零向量五,C若I五—Bl=Ial+3|，則五與B共線且反向

D.若五〃a則存在唯一實數/1使得力=4萬

12.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿矩形對角線BD將△BCD折起形成四面體ABCD,

在這個過程中，現在下面四個結論其中所有正確結論為（）

A,在四面體ABCD中，當ZMIBC時，BC1AC

B.四面體ABCD的體積的最大值為g

C.在四面體ABCD中，BC與平面4B。所成角可能為方

D.四面體ABCD的外接球的體積為定值

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.某單位為了解該單位黨員開展學習黨史知識活動情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一

周的黨史學習時間進行了統計，統計數據如下表所示：

黨史學習時間(小時)7891()11

黨員人數610987

則該單位黨員一周學習黨史時間的第60百分位數是.

14.一個質地均勻的正四面體4個表面上分別標有數字1,2,3,4,拋擲該正四面體兩次,

記事件M為“第一次向下的數字為3或4”，則事件M發生的概率是.

15.在△4BC中，。為BC邊上一點，ZB=≡BC=4,AC=2Λ∏,若使△4BD的個數有且

僅有兩個，則線段4。長度的范圍為

16.如圖，正方體4BCD-4]BιGDι的棱長為2,E,F,G分

別為棱BC,CG,BBl的中點，則①直線EF到平面力遇。。1的距

離為2；②直線AE與直線GG的夾角的余弦值為|；③點C與點G

到平面4EF的距離之比為1：2；④平面4EF截正方體所得截面

面積為9.上述結論中正確的序號是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知向量五=(1,√^3).b=(-2,0).

(1)求下一7的坐標及IW—司;

(2)求方-方與方之間的夾角.

18.(本小題12.0分)

一個袋子中裝有標號為1,2,3,4,5的5個球，除標號外沒有其他差異,

(1)采取不放回的方式從袋中依次任意摸出兩球，設事件4="第一次摸出球的標號小于第二

次摸出球的標號”，寫出樣本空間并求事件A發生的概率；

（2）采取有放回的方式從袋中依次任意摸出兩球,設事件B="第一次摸出球的標號是奇數”，

設事件C="第二次摸出球的標號是偶數”，那么事件B與事件C是否相互獨立?

19.（本小題12.0分）

如圖，在三棱柱BCF-40E中，若G,"分別是線段4C,OF的中點.

(1)求證：GH∕∕^?BFC.

（2）在線段CD上是否存在一點P,使得平面GHP〃平面BCF,若存在，指出P的具體位置并證

明；若不存在，說明理由.

20.（本小題12.0分）

某超市從2023年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數據中分別隨機抽取100個，整理

得到如圖表所示的甲種酸奶日銷售量的頻率分布表和乙種酸奶日銷售量的頻率分布直方圖：

分組（日銷售量）頻率（甲種酸奶）

[040)0.10

[10,20)0.20

[20,30)0.30

[30,40)0.25

[40,50)0.15

（1）求出頻率分布直方圖中α的值，并作出甲種酸奶日銷售量的頻率分布直方圖；

（2）記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的平均值分別為《、工乙,求出X1；

（3）假設同一組中的每個數據可用該組區間的中間值代替，試估計甲種酸奶在未來一個月（按

30天計算）的銷售總量.

H銷售量/箱

21.(本小題12.0分)

在①(SinA-Sine)Sin(4+B)=sin2>4—SiMB,②V^SMBCOSB-^cos2B=1,③bcosC=

α-?CS譏B這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題.

己知α,b,C是AABC的三個內角4,B,C的對邊，且.

⑴求B；

(2)若b=2,求△力BC的周長的取值范圍.

22.(本小題12。分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCO是菱形，?ABC=60o,AB=2,ACnBO=0,PO1

底面力BCD,P。=2,點E在棱PO上，且CEIPD.

(I)求證：AC_L平面PBD.

(2)求二面角P-AC-E的余弦值.

(3)求四面體4-CDE的體積.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：含=誓P=生尹=|-如

?十I?--￡乙N/

則該復數的虛部為-今

故選：C.

利用復數的運算，化簡為標準型，根據虛部的定義，可得答案.

本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：由向量W=(2,τn),B=(—1,2)，

因為弓〃至，可得2x2=Wix(-1),

解得m=-4.

故選：C.

根據共線向量的坐標表示，列出方程，即可求解.

本題主要考查了共線向量的坐標關系，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：由復數Z滿足∣z?(2+i)∣=中，其中i是虛數單位，

根據復數模的運算性質,可得∣z?(2+0|=∣z∣??2+i?=∣z∣?√-5=√Iθ.

解得IZl=-?Λ^2＞所以|z『=2.

故選：B.

根據復數模的運算性質，結合題意求得∣z∣=，2,即可求解.

本題主要考查復數模公式，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：4不對，由面面平行的判定定理知，Tn與n可能相交，也可能是異面直線；B不對,

由面面平行的判定定理知少相交條件；

C不對，由面面垂直的性質定理知，m必須垂直交線；

故選：D.

由面面平行的判定定理和線面平行的定理判斷4、B、D：由面面垂直的性質定理判斷C.

本題考查了線面的位置關系，主要用了面面垂直和平行的定理進行驗證，屬于基礎題.

5.【答案】A

【解析】解：高三年級應該抽取的人數為90X=28.

6〃40+二600%+5皿60

故選：A.

根據分層抽樣的定義求解.

本題主要考查了分層抽樣的定義，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：臉上的投影向量的坐標為I碼COSe..=需需=（1,1）.

故選：B.

根據已知條件，再結合投影向量的公式，即可求解.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：設4B=x,在RtAABC中，?ACB=45°,所以BC=AB=X,

在RtZkACD中，?ADB=30°,所以Bz）=「AB=√^3χ,

在4BeC中，乙BCD=120o,CD=24,

由余弦定理可得：3/=X2+252—2×25XCoSl20°,

化為：2M-25X-625=0,

解得X=25或X=-12.5（不合題意，舍去），

所以教學樓力B的高度是25米.

故選：B.

設4B=x,利用直角三角形的邊角關系表示出BC、BD,再利用余弦定理列方程求出AB的高度.

本題考查了解三角形、余弦定理的應用問題，也考查了推理能力與計算能力，屬中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：由題意將此三棱錐放入長方體中，如圖所示，

設外接球的半徑為R,則由長方體的外接球的直徑等于長方體的體

對角線可得：

2R=J22+22+(2√7)2=4，所以R=2,

所以外接球的體積V=1nR3=^兀X23=半.

故選：D.

由題意將三棱錐放入長方體中，由長方體的外接球的直徑等于長方體的對角線求出外接球的半徑,

進而求出外接球的體積.

考查三棱錐與長方體的關系，及球體的體積公式，屬中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：對于A中，數據的極差和標準差是數字特征的重要數據，極差和標準差都能描述一

組數據的離散程度，所以A正確；

對于B中，如果一組數中每個數減去同一個非零常數，則這一組數的平均數改變，方差不改變，

所以B錯誤；

22

對于C中，一個樣本的方差S?[(x1-3)+(x2-3)+???+(X20-3)2],

可得這20個數據的平均數為3,所以這組數據總和等于20X3=60,所以C正確；

對于。中，數據%,a2,...,αn的方差為S?,則數據2%,2a2,...,2an的方差為2?S2=4s?,所

以。錯誤.

故選:AC.

根據數據的數字特征的定義，可判定A正確；根據兩組變量間的平均數和方差的性質，可判定8

錯誤；由方差得到這20個數據的平均數為3,可判定C正確；根據方差的性質，可判定力錯誤.

本題主要考查統計的知識，屬于基礎題.

10.【答案】ACD

【解析】解：如圖在正六棱臺ABCDEF-4出6。偈&中,

因為4Bl=2cm,AB=6cm,AA1=5cm,

所以側面的梯形ABBiAi的高即正六棱臺斜高為：

J52一(等)2=E，

所以梯形4BB14的面積為：S=I×(2+6)X√^21=

故正六棱臺的側面積為：6S=6×4√^21=24√71cm2,故B錯誤；

由圖可知該正六棱臺的上底面積為6個邊長為2的等邊三角形組成，

o2

所以該正六棱臺的上底面積為：S1=6×∣×2×2×sin60=6√^cm.故A正確；

-2

同理下底面積為：S2=6×∣×6×6×sin60°=54√3cm,

所以該正六棱臺的表面積是6S+Sι+S2=(60√^3+24√-21)cτn2,故C正確；

正六棱臺的高為0。1=?/52—(6—2)2=3cm,故D正確.

故選：ACD.

畫出該幾何體，利用己知條件分別計算正六棱臺的上底面積、側面面積、表面積、正六棱臺的高

即可.

本題主要考查了棱臺的結構特征，屬于中檔題.

11.【答案】BC

【解析】解：對于A：a∕∕b>b∕∕c>且必力6)，故為〃B，故A錯誤;

對于8：OA+OB+OC=Q>

則點。為三角形4BC的重心，即SMOc：SAABC=L3,故B正確；

對于C：兩個非零向量為，b，若I五一石I=|初+|3|，則五與E共線且反向，故C正確;

對于。：若五〃aK≠0.則存在唯一實數;I使得H=4石，故。錯誤；

故選：BC.

直接利用向量的傳遞性和向量的線性運算及三角形的面積特點以及向量共線的充要條件的應用判

斷A、B、C、。的結論.

本題考查的知識要點：向量的共線，向量的線性運算，向量的模，三角形的面積，主要考查學生

的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABCD

【解析】解：對于4

DA1BC,BCIDC=

BCJL平面AeT)=

BCLAC,所以4對；

對于B,當面BC。運動

到與底面垂直時，三棱錐頂點C距離底面最遠，此時高最大,

體積為?(?,4-3)?(?)=?*所以B對；

對于C,當面BCC運動到與底面垂直時，

BC與平面ABD所成角為SinNCBC=/>?，

即aBD>全所以全所以C對；

對于D,取矩形中心0,在ABCD折起過程中，。點與四頂點距離始終是定值,

即外接球半徑不變，所以四面體4BCD的外接球的體積為定值，所以。對.

故選:ABCD.

4根據線面基本定理證明即可；B運動思想找到最大值位置，再計算最大體積即可；C運動思想找

到最角即可；D找到外接球是關鍵.

本題以命題的真假判斷為載體，考查了立體幾何中直線與平面位置關系，考查了體積與線面角計

算問題，屬中檔題.

13.【答案】9

【解析】解：黨員人數一共有6+10+9+8+7=40,40X60%=24,

那么第60百分位數是第24和25個數的平均數，

第24和25個數分別為9,9,所以第60百分位數是9=9.

故答案為：9.

根據百分位數的定義即可求出結果.

本題考查百分位數的定義，屬于基礎題.

14.【答案】:

【解析】解：依題意，拋擲該正四面體兩次的總的基本事件有：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),

(4,3),(4,4),共16件，

事件M所包含的基本事件有(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).共8件,

所以P(M)=盤=J.

IoZ

故答案為：?

利用列舉法，結合古典概型求解即可.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題.

15.【答案】（3Y3,2ΛΛ7）

【解析】解:??ABC中，利用余弦定理ac2=BA2+BC2-2BA-

BC-CosB,代入數據，28=BA2+16-4B4,即：BA2-4BA-

12=0,

解得48=6.AB=-2（舍去），

如圖，過A作AEi.BC,垂足為E,則AE=4Bsin60。=3C，所

以AD∈（3√3,2yΓ7）.

故答案為：(3√^N,2√^7).

先求出AB的長度，再利用垂線段最短討論4。的取值范圍.

本題考查解三角形中解的個數討論，考查數形結合的思想，屬于中檔題.

16.【答案】①②③

【解析】解：對于4,平面44。DI〃平面BlBCC1，EFU

平面團8CC1，

二直線EF到平面CDl的距離為2,故①正確；

對于B,如圖，取4也的中點M,連接MCi,易知MCJ/AE,

.??NMCiG是直線AE與直線CIG的夾角，

?.?MC1=GC1=√22+12=√~5,MG=

J(√^5)2+l2=√^^6>

，由余弦定理可得，

COSZMCG==?=ξ-故②錯誤；

12MC1GCι2×55J

對于C,記點C與點G到平面AEF的距離分別為由、d2,

∣∣

??1Vc-AEF=??S^AEF-d1=VA.CEF=?≡?2=,

yG-AEF=I'ShAEF'?=^A-GEF=j,~γ^'2=|>

?%：d2=1：2,即點C與點G到平面4EF的距離之比為1：

2,故③正確；

對于連接尸Di、AD1,易知AD"/EF,則4、仇、AE四

點共面，

即平面4EF截正方體所得截面為梯形4D/E,

作FNLADi,垂足為N,

???FD1=AE=√^5,EF=√^^2,AD1=2?∏?,

'FN=JO2-存￥=~

S梯形皿FE=I?+2√^)??=∣>故④錯誤.

故答案為：①②③.

對于A,由面面平行的性質容易判斷；對于B,易知NMolG是直線AE與直線GGTT的夾角，再由余

YEF

弦定理即可判斷：對于C,分別求得%，VG-AEF'即可判斷；對于。，平面AEF截正方體所得

截面為梯形ADiFE,然后求其面積即可判斷.

本題主要考查了空間中的距離，異面直線所成角，截面面積的計算問題，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)/一b=(3,C),

?a-b?=√9+3=2√3;

(2)CoSe-E,初=患=?，

?(ɑ—b,ɑ)∈[0,π]>可得位一％,方>=*

【解析】(1)先求出向量的坐標，再根據模長公式求解即可；

(2)應用向量夾角公式，并結合向量數量積坐標公式計算可得.

本題主要考查數量積表示兩個向量的夾角，屬于基礎題.

18.【答案】解:(1)5球中不放回的摸出2球，這個試驗的樣本空間C={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(2,1),(2,3),

(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}.

則A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},

n(0)=2O,n(?)=10,從而P⑷=篇，

(2)5球中有放回的摸出2球，這個試驗的樣本空間n(0)=25,

MB)=I5,從而P(B)=端=言=|,

?JX1O2

從

3而P=-==

nX-2--5-

zl5

n(BC)=6,從而P(BC)=喘=

f4lJZJaQ

此時P(Be)=P(B)P(C),

所以事件B與事件C相互獨立.

【解析】(1)由題意寫出樣本空間，利用古典概型公式求解概率；

(2)利用獨立事件的定義判斷.

本題主要考查相互獨立事件，試驗的樣本空間，考查運算求解能力，屬于基礎題.

19.【答案】解：(1)證明：連接DB,則G為DB的中點，且“為OF的中點,

.?.GH為4DBF的中位線，

.?.GH//BF,又GHC面BFC,BF?ffiBFC,

?GH〃面BFC；

(2)在CD上存在點P使得平面GHP〃平面BCF,P為CD的中點，證明如下:

取CC的中點P,連接HP,GP,且H為DF的中點，

.?.HP//FC,S.HPU平面BeF,FCU平面BCF,

.?.HP〃平面BCF,同理，GP〃平面BcF,且HPQGP=P,HPU平面GHP,GPU平面GHP,

???平面GHP〃平面BCF.

【解析】(1)可連接DB,根據題意知G為DB的中點，然后即可得出GH〃8凡從而可得GH〃面BFC；

(2)在CC上存在點P,使得平面GHP〃平面BCF,P為CO的中點，證明過程為：連接HP,GP,可

說明HP〃/C,從而得出HP〃平面BCF,而同理可得出GP〃平面BCF,然后根據面面平行的判定

定理即可得出平面GHP〃平面BCF.

本題考查了三角形中位線的性質，線面平行和面面平行的判定定理，考查了推理能力，屬于基礎

20.【答案】解：(1)由乙種酸奶日銷售量的頻率分布直方圖可得:

10α=1-(0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.15,

解得α=0.015,

根據表中數據可作出甲種酸奶日銷售量的頻率分布直方圖如圖所示:

頻率

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O1020304050甲種酸奶

H銷售量/箱

(2)記甲、乙兩種酸奶日銷售量的平均數分別為可、4,

則X甲=5X0.1÷15×0.2÷25×0.3÷35×0.25÷45×0.15=26.5,

%乙=5×0.2÷15×0.1+25×0.3÷35×0.15+45×0.25=26.5.

(3)由(2)得甲種酸奶的平均日銷售量為26.5箱，

故甲種酸奶未來一個月的銷售總量為26.5×30=795(箱).

【解析】(1)根據頻率分布直方圖的性質，列出方程求得ɑ的值，進而作頻率分布直方圖;

(2)利用頻率分布直方圖的平均數的計算公式，即可求解；

(3)由(2)得甲種酸奶的平均日銷售量為26.5箱，進而甲種酸奶未來一個月的銷售總量.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了平均數的計算，屬于基礎題.

21*【答案】解:(1)選①,由(Shl4—sinC)sin(4+B)=sin2?I-Sin2人

可得(SinA-S譏C)Sin(A+B)=(SiTlA-SinB)(Sin力+sinB),

因為A+B+C=Tr及正弦定理，可得(α—C)SinC=(α—b)(sinA+SinB),

所以(α—c)c=(a—b)(a+b),整理得ɑ?+c2-b2—ac,

則CoSB=S*?二廬=L因為0<B<ττ,所以8=今

2ac2J

選②，由，"5s譏BCoS8—BCOS28=1,可得√^"5s譏28—cos28=2,即Sin(2B—看)=1,

因為0<B<7T,可得Y<2BY<稱兀，所以2BY=%即B=去

666OZ?

選③，由bcosC=a-早CSEB，由正弦定理得S譏BCOSe=SinA—SinCsinB

艮PSiTlBCOSC=Sin(B+C)—SinCsinB

^VsinBcosC=SinBcosC+cosBsinC?SinCsinB，

整理得S出C(COSB―?SiTlB)=0，

因為OVCV兀，SinC>0,可得COSB—SinB=0，即SnB=?Λ3,

因為OVBVTT,所以8=宗

(2)由8=S,b=21可得工=室=28

3StnB3

所以周長LC=α+b+c=24—?-(sITIA+SiTIC),

又由4+8+C=τr,可得A+C=年，

1△ABC=2+—?-(SizL4+SiTlC)=2+—^―(si?Vl+sin(?-√4))

=2+警(√3sin(∕l+/=2+4sin(A+,

又因為O<A<%，可得[V4+?<亭所以,<Sin(A+1)≤1,

所以4<2+4sin(A+1)<6,所以△ABC的周長的取值范圍為(4,6]