學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2012屆浙江高考理科數學解答題拔高訓練試題（10）三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程．18．（本小題滿分14分）在△ABC中,已知角A為銳角，且．（1）將化簡成的形式；（2）若,求邊AC的長．19．（本小題滿分14分）在數列中，a1＝1，當時，其前n項和滿足：．(1）求;（2）令，求數列的前n項和．20．(本小題滿分15分）如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、A1C（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C－AE－F的余弦值的大小．21．(本小題滿分15分）圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸,我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點、是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點，是垂直于軸的一條垂軸弦，直線分別交軸于點和點．（1）試用的代數式分別表示和；(2）若C的方程為(如圖），求證：是與和點位置無關的定值；(3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究和經過某種四則運算（加、減、乘、除)，其結果是否是與和點位置無關的定值，寫出你的研究結論并證明．（說明：對于第3題，將根據研究結論所體現的思維層次，給予兩種不同層次的評分）22．（本小題滿分14分）已知函數的圖象在上連續不斷，定義：，．其中，表示函數在上的最小值，表示函數在上的最大值．若存在最小正整數，使得對任意的成立，則稱函數為上的“階收縮函數”．（1）（2）已知，函數是上的2階收縮函數，求的取值范圍．2012屆浙江高考理科數學解答題拔高訓練試題(10)參答18．（本小題滿分14分）解：(1）．………………7分（2）由在△ABC中，由正弦定理得：．…………………14分19．（本小題滿分14分)20．（本小題滿分15分）解：不妨設正方體的棱長為2,分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0），C(0，2，0)，E（1，0，2），F（1,1，2）．（1）由＝(－1,0，2）,＝(1，－1，2），得＝eq\r(5)，｜|＝eq\r（6），·＝－1＋0＋4＝3．又·＝｜|·||·cos<，〉＝eq\r(30)cos〈，〉，∴cos〈,〉＝eq\f(\r(30）,10)，即AE與CF所成角的余弦值為eq\f(\r(30），10）．……7分（2）∵＝(0,1,0)，∴·＝（－1，0，2）·（0，1，0）＝0,∴AE⊥EF，過C作CM⊥AE于M，則二面角C－AE－F的大小等于〈，〉,∵M在AE上,∴設＝m，則＝(－m，0,2m),＝－＝（－2，2，0）－(－m，0，2m）＝（m－2,2，－2m）．∵MC⊥AE，∴·＝（m－2，2，－2m)·(－1，0,2)＝0，∴m＝eq\f(2,5），∴＝（－eq\f（8，5)，2,－eq\f（4，5)），｜｜＝eq\f(6\r(5),5），∴·＝(0,1，0)·（－eq\f（8，5),2，－eq\f(4,5))＝0＋2＋0＝2．又·＝｜|·｜|·cos〈，>＝eq\f(6\r（5），5)cos<，〉,∴cos〈，〉＝eq\f(\r（5）,3)，∴二面角C－AE－F的余弦值的大小為eq\f（\r(5）,3)．……………15分21．（本小題滿分15分）解：(1）因為是垂直于軸的一條垂軸弦，所以．則．令則．同理可得：．…………………3分（2）由（1）可知：．在橢圓C:上,，則(定值）．是與和點位置無關的定值．…………8分(3）第一層次：①點是圓C：上不與坐標軸重合的任意一點，是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點和點，則．證明如下：由（1)知:．在圓C:上，，則．是與和點位置無關的定值．……10分②點是雙曲線C：上不與頂點重合的任意一點,是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點和點，則．證明如下:由（1）知:在雙曲線C：上，，則是與和點位置無關的定值．………12分第二層次：點是拋物線C：上不與頂點重合的任意一點,是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點和點，則．證明如下：由（1）知:,在拋物線C：上，．則．是與和點位置無關的定值．…………15分22．（本小題滿分14分）解：（1）由題意可得,，．于是．若是為上的“階收縮函數"，則在上恒成立，且成立．令，，則，所以在單調遞減，∴,，即，于是在恒成立；又成立．故存在最小的正整數，使是為上的“2階收縮函數”．…………6分函數,的變化情況如下：x（—∞，0）0(0,2)2(2，+∞)—0+0—y減極小增極大減ⅰ)時，在上單調遞增,因此，，．因為是上的2階收縮函數，所以,①對恒成立；②存在,使得成立．①即：對恒成立，由，解得：或，要使對恒成立，需且只需． ②即：存在，使得成立．由得:或，所以，需且只需．