1.2.2同角三角函數的關系編制人：楊云珍李勇黃先鋒【使用說明及學法指導】1.先精讀一遍教材P18—P20，用紅色筆進行勾畫，再針對導學案預習自學部分二次閱讀教材并回答提出的問題，時間不超過50分鐘；2.限時、認真、獨立完成合作探究設置的問題，對于加★部分的題目為選做題，沒加★的題目都要做。3.在預習，做練習過程中找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課堂上討論質疑?！緦W習目標】1．通過本節內容的教學，使學生進一步理解和掌握正弦、余弦和正切的誘導公式，并能正確地運用這些公式進行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、簡單三角函數式的化簡與三角恒等式的證明；2．通過公式的應用，培養學生的化歸思想，運算推理能力、分析問題和解決問題的能力；重點：誘導公式五、六及六個誘導公式的綜合運用.難點:公式的推導和對稱變換思想在學生學習過程中的滲透一、預習自學（1）、預習目標熟記正弦、余弦和正切的誘導公式，理解公式的由來并能正確地運用這些公式進行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、簡單三角函數式的化簡（2）、復習與預習1．利用單位圓表示任意角的正弦值和余弦值；____________________2．誘導公式一及其用途：3、對于任何一個內的角，以下四種情況有且只有一種成立（其中為銳角）：4、誘導公式二：5、誘導公式三：6、誘導公式四：7、誘導公式五：8、誘導公式六：問題1：請同學們回顧一下前一節我們學習的與、、的角的終邊的對稱關系問題2：如果兩個點關于直線y=x對稱，它們的坐標之間有什么關系呢？若兩個點關于y軸對稱呢？識記：±α的正弦(余弦)函數值,分別等于α的余弦(正弦)函數值,前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號.進一步可以簡記為:函數名改變,符號看象限.利用公式五或公式六,可以實現正弦函數與余弦函數的相互轉化.二、合作探究探究一、利用同角三角函數基本關系求值例1

求值：（1）

（2）

（3）

（4）思考：我們學習了的誘導公式，還知道的誘導公式，那么對于，又有怎樣的誘導公式呢？探究二：化簡與證明例2證明(1)sin(-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.點評:由公式五及六推得±α的三角函數值與角α的三角函數值之間的關系,從而進一步可以推廣到π(k∈Z)的情形.本例的結果可以直接作為誘導公式直接使用.例3化簡變式訓練：

已知方程sin(3)=2cos(4)，求的值三．課堂效果檢測1．cos2（－α）+cos2（+α）的值為（）A．1B．－1C．D．－2．若n∈Z，在①sin（nπ+）；②sin（2nπ±）；③sin[nπ+（－1）n]；④cos[2nπ+（－1）n]中，與sin相等的是（）A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③3．已知sin（π－α）=－2sin（+α），則sinαcosα=__________．4．已知cos（+φ）=，且|φ|<，則tanφ=________．5．化簡：eq\f(sin2(2－)＋cos2(－)＋sin(－2)sin(－),cos2(eq\f(3,2)-)＋cos2(＋)－sin(eq\f(,2)＋)cos(－2))．6．已知sin（α－π）=－2cos（2π－α），求的值．★★自主拓展探究一誘導公式在求值問題中的應用例1．計算sin（π－α）+cos（π－α）（n∈Z）的值，其結果為__________．點評：本例中方法一通過對n∈Z的奇數與偶數兩種不同的情況加以分開討論，在各自不同分類情況下，再結合誘導公式加以直接求解，也可以達到目的．但在方法二中，直接分析兩個角之間的關系，直接通過誘導公式加以求解，顯然更為方便快捷，方法更加巧妙．變式練習1：設＝2，則sincos＝________．★★自主拓展探究二：誘導公式在化簡（或證明）問題中的應用例2．若f（n）=sin（π+α），試化簡f（n）f（n+4）+f（n+2）f（n+6）．點評：對于比較復雜的代數式可以先利用誘導公式化簡，然后再尋找它們之間的聯系，得以化簡．通過誘導公式加以化簡再運算，顯得方便快捷，方法更加巧妙．變式練習2：化簡：．★★自主拓展探究三：誘導公式在解決三角形問題中的應用例3．若方程（m+5）x2－（2m+5）x+4=0的兩根是直角△ABC的兩個銳角A、B的正弦值，試求實數m的值．點評：在三角形的相應求值問題中，要注意結合三角形中各內角對應的三角函數值的限制條件，顯然直角△ABC的兩個銳角A、B的正弦值均要在范圍（0，1）內，由此對相應的值加以檢驗．變式練習3：已知A、B、C為△ABC的三個內角，試證明：sin=cos．四．【課堂小結】1.知識方面2.數學思想方面★★自主拓展探究一例1．計算sin（π－α）+cos（π－α）（n∈Z）的值，其結果為__________．思路導析：按照常規思維，由于n∈Z的任意性，對于不同的n的值，可能導致不同的結果，因而要加以分類討論．但實際上，角π－α與角π－α存在著特殊的關系，如果能夠觀察出來，可以非常巧妙地利用誘導公式加以簡單處理．解析：方法一：當n為奇數時，設n=2k+1（k∈Z），原式=sin[π－α]+cos[π－α]=sin（π－α）+cos（π－α）=sin（π－α）+cos（π－α）=sin（π－α）+cos[+（π－α）]=sin（π－α）－sin（π－α）=0；當n為偶數時，設n=2k（k∈Z），原式=sin（π－α）+cos（π－α）=sin（－π－α）+cos（π－α）=－sin（π+α）+cos[－（π+α）]=－sin（π+α）+sin（π+α）=0；綜上分析可知，原式=0．方法二：由于π－α=+（π－α），那么sin（π－α）+cos（π－α）=sin（π－α）+cos[+（π－α）]=sin（π－α）－sin（π－α）=0，即其結果為0．點評：本例中方法一通過對n∈Z的奇數與偶數兩種不同的情況加以分開討論，在各自不同分類情況下，再結合誘導公式加以直接求解，也可以達到目的．但在方法二中，直接分析兩個角之間的關系，直接通過誘導公式加以求解，顯然更為方便快捷，方法更加巧妙．變式練習1：設＝2，則sincos＝________．自主拓展探究二：誘導公式在化簡（或證明）問題中的應用例2．若f（n）=sin（π+α），試化簡f（n）f（n+4）+f（n+2）f（n+6）．思路導析：先利用誘導公式逐個化簡，然后代入通過乘積與加法運算加以求值與化簡．解析：由于f（n）=sin（π+α），那么f（n+2）=sin（π+α）=sin（+π+α）=cos（π+α），f（n+4）=sin（π+α）=sin（π+π+α）=－sin（π+α），f（n+6）=sin（π+α）=sin（+π+α）=－cos（π+α），所以f（n）f（n+4）+f（n+2）f（n+6）=sin（π+α）[－sin（π+α）]+cos（π+α）[－cos（π+α）]=－sin2（π+α）－cos2（π+α）=－1．點評：對于比較復雜的代數式可以先利用誘導公式化簡，然后再尋找它們之間的聯系，得以化簡．通過誘導公式加以化簡再運算，顯得方便快捷，方法更加巧妙．變式練習2：化簡：．自主拓展探究三：誘導公式在解決三角形問題中的應用例3．若方程（m+5）x2－（2m+5）x+4=0的兩根是直角△ABC的兩個銳角A、B的正弦值，試求實數m的值．思路導析：根據方程中的根與系數的關系，還有直角三角形中相應角的關系及誘導公式，建立相關的關系式，并結合同角三角函數的基本關系式加以解決相應的參數問題．解析：根據題意可得，sinA+sinB=且sinAsinB=，又A+B=，則B=－A，那么有sinB=sin（－A）=cosA，∴sinA+cosA=且sinAcosA=，那么（sinA+cosA）2=sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+=（）2，整理可得3m2+2m－40=0，解得m=－4或m=，而當m=－4時，sinAsinB==4，顯然不滿足題目條件，應舍去，故實數m的值為．點評：在三角形的相應求值問題中，要注意結合三角形中各內角對應的三角函數值的限制條件，顯然直角△ABC的兩個銳角A、B的正弦值均要在范圍（0，1）內，由此對相應的值加以檢驗．變式練習3：已知A、B、C為△ABC的三個內角，試證明：sin=cos課堂效果檢測1．A；解析：原式=cos2[－（+α）]+cos2（+α）=sin2（+α）+cos2（+α）=1；2．B；解析：sin（nπ+）=；sin（2nπ±）=sin；sin[nπ+（－1）n]=sin；cos[2nπ+（－1）n]=sin；3．－；解析：由sin（π－α）=－2sin（+α）得sinα=－2cosα，代入sin2α+cos2α=1得cos2α=，那么sinαcosα=－2cos2α=－；4．－；解析：由cos（+φ）=，得－sinφ=，即sinφ=－，又|φ|<，∴cosφ=，∴tanφ==－；5．解析：原式＝eq\f(sin2＋cos2－sin2,sin2＋cos2－cos2)＝eq\f(cos2,sin2)=．6．解析：由已知可得－sinα=－2cosα，即sinα=2cosα，那么===．補充資料例1(1)已知f(cosx)=cos17x,求證:f(sinx)=sin17x;(2)對于怎樣的整數n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx?活動:對誘導公式的應用需要較多的思維空間,善于觀察題目特點,要靈活變形.觀察本例條件與結論在結構上類似,差別在于一個含余弦,一個含正弦,注意到正弦、余弦轉化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于觀察條件和結論的結構特征,找出它們的共性與差異;要注意誘導公式可實現角的形式之間及互余函數名稱之間的轉移.證明:(1)f(sinx)=f[cos(-x)]=cos[17(-x)]=cos(8π+-17x)=cos(-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.(2)f(cosx)=f[sin(-x)]=sin[n(-x)]=sin(-nx)=故所求的整數n=4k+1(k∈Z).點評:正確合理地運用公式是解決問題的關鍵所在.變式訓練已知cos(-α)=m(m≤1),求sin(-α)的值.解:∵-α-(-α)=,∴-α=+(-α).∴sin(-α)=sin［+(-α)］=cos(-α)=m.點評:(1)當兩個角的和或差是的整數倍時,它們的三角函數值可通過誘導公式聯系起來.(2)化簡已知與所求,然后探求聯系,這是解決問題的重要思想方法.例2已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,且α為第三象限角,求的值.活動:教師引導學生先確定sinα的值再化簡待求式,從而架起已知與未知的橋梁.解:∵5x2-7x-6=0的兩根x=2或x=,∵-1≤x≤1,∴sinα=.又∵α為第三象限角,∴cosα==.∴tanα=.∴原式==tana=點評:綜合運用相關知識解決綜合問題.變式訓練若函數f(n)=sin(n∈Z),則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________.解:∵=sin(+2π)=sin,∴f(n)=f(n+12).從而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)=2［f(1)+f(2)+f(3)］=2+.例3已知函數f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零實數,又知f(2003)=-1,求f(2004)的值.