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董秋仙主講線性代數1精選2021版課件線性代數行列式矩陣向量空間線性方程組相似變換及其二次型2精選2021版課件

n階行列式的定義行列式的性質行列式按行（列）展開克萊姆法則第一章行列式3精選2021版課件第一節、行列式的概念

二階和三階行列式

n階行列式的定義

幾種特殊的行列式4精選2021版課件二階行列式一、二階和三階行列式設二元線性方程組

用消元法解得

令

稱為二階行列式5精選2021版課件同理引進三階行列式三元線性方程組

D=6精選2021版課件把n個不同元素排成一列稱為這n個元素的全排列。(簡稱排列）用Pn表示所有排列的種數。定義稱在n!種排列中從小到大次序的那個排列為自然排列（或標準排列）.注意：不失一般性，我們將n個元素看成n個自然數，7精選2021版課件一個排列的逆序總數稱為這個排列的逆序數。

在一個排列中,如果一個大的數排在小的數之前,就稱這兩個數構成一個逆序。例如

排列312有2個逆序，即31；32定義8精選2021版課件分別計算出排列中每個元素前面比它大的數碼個數之和，即算出排列中每個元素的逆序數，這每個元素的逆序數之總和即為所求排列的逆序數.方法例如求排列32514的逆序數.解在排列32514中,3排在首位,逆序數為0;2的前面比2大的數只有一個3,故逆序數為1;5的前面沒有比5大的數,其逆序數為0;1的前面比1大的數有3個,故逆序數為3;4的前面比4大的數有1個,故逆序數為1;9精選2021版課件32514于是排列32514的逆序數為逆序數為奇數的排列稱為奇排列,逆序數為偶數的排列稱為偶排列。定義例如：排列312的逆序數為2，故它是偶排列。10精選2021版課件3）當每項第一個下標按自然排列時，該項前面正負號取決于第二個下標排列的奇偶性。1）二階行列式有2！=2項，三階行列式有3！=6項。2）每項都是分別來自不同的行，不同的列之元素的乘積。特點：11精選2021版課件作出表中位于不同的行不同列的n個數的乘積，并冠以符號得到形如二、n階行列式的定義定義12精選2021版課件這樣的排列共有n!個，因而形如上式共有n!項，所有這n!項的代數和稱為n階行列式．記為：簡記為13精選2021版課件特別：當n=1時，一階行列式不要與絕對值符號相混淆。當n=2、3時，與前面定義的二、三階行列式一致。行列式是一種特定的算式，它是根據求解方程個數和未知量個數相同的一次方程組的需要而定義的;14精選2021版課件注意：n階行列式還可以定義為是自然數1，2，3……n的一個排列，式中把列標排成一個自然排列．15精選2021版課件證：三、幾種特殊的行列式1）主對角行列式16精選2021版課件證：依行列式的定義2）副對角行列式17精選2021版課件證：故D中可能不為0的元素在所有排列其下標應有能滿足上述關系的3）下三角行列式排列只有一個自然排列12……n,所以D不可能為零的項只有一項此時t=018精選2021版課件分析：展開式中項的一般形式是所以不為零的項只有4）