專題1.21特殊平行四邊形“將軍飲馬”專題（基礎篇）（專項練習）一、單選題【知識點一】菱形將軍飲馬問題1．如圖，在菱形中，，，點E是對角線上一個動點（不與A，C重合），點F是邊上一個動點，連接，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．2．如圖，菱形ABCD的兩條對角線長分別為AC＝6，BD＝8，點P是BC邊上的一動點，則AP的最小值為（

）A．4 B．4.8 C．5 D．5.53．如圖，將兩張長為10，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么，菱形周長的最大值為（）A． B． C． D．214．如圖，在菱形中，對角線，，點分別是的中點，點在上運動，在運動過程中，存在的最小值，則這個最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【知識點二】矩形將軍飲馬問題5．如圖，在中，，點是上的一個動點，過點分別作于點，于點，連接，則線段的最小值為（

）A． B．13 C． D．6．如圖，△ABC中，BC＝4，D、E分別是線段AB和線段BC上的動點，且BD=DE，F是線段AC上一點，且EF=FC，則DF的最小值為（）A．3 B．2 C．2.5 D．47．如圖，ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，線段DE的兩個端點D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝6，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為（

）A．10﹣ B．﹣3 C．2﹣6 D．38．如圖，在RtABC中，，，，兩頂點A，B分別在平面直角坐標系的y軸，x軸的正半軸上滑動，點C在第一象限內，連接OC，則OC的長的最大值為（

）A．16 B．18 C． D．【知識點三】正方形將軍飲馬問題9．如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE為正三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上取一點P，使最小，則這個最小值為（

）A． B． C． D．10．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E是BC的中點，點P是AC邊上的一個動點，連結BP，EP，則BP＋EP的最小值為（

）A． B． C． D．＋111．如圖，已知正方形中，點E，F分別在邊，上，連接，．若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．12．如圖，正方形的邊長為4，點、分別為、的中點，點是對角線上的動點，則四邊形周長的最小值為（）A．4 B． C．8 D．二、填空題【知識點一】菱形將軍飲馬問題13．如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A'B'D'，分別連接A'C，A'D，B'C，則A'C+B'C的最小值為_____．14．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，AC＝4，BD＝4，點P是AC上一動點，點E是AB的中點，則PD+PE的最小值為______________．15．如圖，在菱形中，，，，分別是邊，上的動點，連接，，，分別為，的中點，連接，則的最小值為________．16．如圖，直角三角形中，，，為斜邊上一動點．，，則線段長的最小值為________．【知識點二】矩形將軍飲馬問題17．如圖，在矩形ABCD中，AB=3a，BC=4a，若點E是邊AD上一點，點F是矩形內一點，∠BCF=30°，則EF+CF的最小值是_____．18．如圖，點E是矩形紙片ABCD的邊BC上的一動點，沿直線AE折疊紙片，點B落在點位置，連接C．若AB＝3，BC＝6，則線段C長度的最小值為________________．19．如圖，已知直線與軸交于點，與軸交于點，為線段上的個動點，過點分別作軸于點，軸于點，連接，則長的最小值為______．20．如圖，在矩形中，，，為中點，為上一動點，則的最小值為______．【知識點三】正方形將軍飲馬問題21．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F分別為邊BC，CD上兩點，，AE平分∠BAC，連接BF，分別交AE，AC于點G，M，點P是線段AG上的一個動點，過點P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM，則的最小值為______．22．定義：在平面內，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最長距離，在平面內有一個正方形，邊長為4，中心為O，在正方形外有一點P，OP=4，當正方形繞著點O旋轉時，則點P到正方形的最長距離的最小值為____________．23．如圖，在正方形ABCD中，AB=2，F是BD邊上的一個動點，連接AF，過點B作BE⊥AF于E，在點F變化的過程中，線段DE的最小值是______．24．如圖，正方形ABCD邊長為4，對角線AC上有一動點P，過P作PE⊥PC于E，PF⊥AB于F，連接EF，則EF的最小值為_____．三、解答題25．如圖，在邊長為2的菱形中，，是邊的中點，是邊上的一動點，將沿所在直線翻折得到，求點到距離的最小值．26．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，且已知AB=8，BC=4（1）判斷△ACF的形狀，并說明理由；（2）求△ACF的面積；（3）點P為AC上一動點，則PE+PF最小值為_________________．27．如圖，點P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上．(1)求點P的坐標．(2)當∠APB繞點P旋轉時，①OA+OB的值是否發生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．②請求出OA2+OB2的最小值．參考答案1．B【分析】在菱形中，點B關于AB對稱點為點D，過點D作AB的垂線交于點F，交AC于點E，這時最小為DF，根據三角函數得，即可算出答案．解：如圖所示，連接DE，DFABCD是菱形，，，，，，，當時，DF最小，這時，，即的最小值為．故選：B．【點撥】本題考查菱形的性質和軸對稱最短路線問題，解題關鍵是得到的最小值為菱形ABCD中AB邊上的高．2．B【分析】由垂線段最短，可得AP⊥BC時，AP有最小值，由菱形的性質和勾股定理可求BC的長，由菱形的面積公式可求解．解：如圖，設AC與BD的交點為O，∵點P是BC邊上的一動點，∴AP⊥BC時，AP有最小值，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，∴BC＝，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，∴AP＝＝4.8，故選：B．【點撥】本題考查了菱形的性質，勾股定理，確定當AP⊥BC時，AP有最小值是本題關鍵．3．C【分析】畫出圖形，設菱形的邊長為x，根據勾股定理求出周長即可．解：當兩張紙條如圖所示放置時，菱形周長最大，設這時菱形的邊長為xcm，在Rt△ABC中，由勾股定理：x2＝（10﹣x）2+22，解得：x＝，∴4x＝，即菱形的最大周長為cm．故選：C．【點撥】此題考查矩形的性質，本題的解答關鍵是怎樣放置紙條使得到的菱形的周長最大，然后根據圖形列方程．4．C【分析】先根據菱形的性質求出其邊長，再作E關于AC的對稱點E′，連接E′F，則E′F即為PE＋PF的最小值，再根據菱形的性質求出E′F的長度即可．解：∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC＝6，BD＝8，∴AB＝＝5，作E關于AC的對稱點E′，連接E′F，則E′F即為PE＋PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分線，E是AB的中點，∴E′在AD上，且E′是AD的中點，∵AD＝AB，∴AE＝AE′，∵F是BC的中點，∴E′F＝AB＝5．故選C．【點撥】本題考查的是軸對稱?最短路線問題及菱形的性質，熟知菱形的性質是解答此題的關鍵．5．C【分析】先證四邊形AMDN是矩形，連接AD，則MN=AD，當AD最短時，MN取最小值．解：如圖，連接AD，在中，，，于點，于點N，，四邊形MDNA是矩形，，當時，AD最短，，，∴線段的最小值為，故選：．【點撥】本題考查了勾股定理，矩形的判定和性質，垂線段最短，做輔助線AD是解本題的關鍵．6．B【分析】過點D作DG⊥BC于點G，過點F作FH⊥BC于點H，當DF⊥FH時，DF取得最小值，據此求解即可．解：過點D作DG⊥BC于點G，過點F作FH⊥BC于點H，如圖：∵BD=DE，EF=FC，∴BG=GE，EH=HC，當DF⊥FH時，DF取得最小值，此時，四邊形DGHF為矩形，∴DF=GH=BE+EC=BC=2．故選：B．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質，矩形的判定和性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．7．B【分析】根據三角形斜邊中線的性質求得，，由當、、在同一直線上時，取最小值，即可求得的最小值．解：中，，，，，，點、分別是、的中點，，，當、、在同一直線上時，取最小值，的最小值為：，故選：B．【點撥】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理的應用等，明確、、在同一直線上時，取最小值是解題的關鍵．8．B【分析】取AB的中點P，連接OP、CP，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，可得，再由勾股定理，可得CP=10，再由三角形的三邊關系，即可求解．解：如圖，取AB的中點P，連接OP、CP，∵，∴，在中，，由勾股定理得：，∵，∴當O、P、C三點共線時，OC最大，最大值為18．故選：B．【點撥】本題主要考查了直角三角形的性質，勾股定理，三角形的三邊關系，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．9．B【分析】由于點B與D關于AC對稱，所以連接BE，BE與AC的交點即為點P的特殊位置，此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結果．解：連接BD，與AC交于點F．∵點B與D關于AC對稱，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面積為12，∴AB=．又∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=．∴的最小值為．故選：B．【點撥】此題主要考查了軸對稱——最短路線問題，難點是確定點P的位置．注意充分運用正方形的性質：正方形的對角線互相垂直平分．再根據對稱性確定點P的位置即可，靈活運用對稱性解決此類問題的關鍵．10．A【分析】根據正方形是軸對稱圖形，所在的直線是正方形的一條對稱軸，進而根據對稱性可知，BP+EP＝PD+PE，當在同一直線上時，的值最小為的長，進而根據勾股定理求得的值．解：連接BD，∵正方形是軸對稱圖形，所在的直線是正方形的一條對稱軸，∴無論P在什么位置，都有PD＝PB；故均有BP+EP＝PD+PE成立；連接DE與AC，所得的交點，即為BP+EP的最小值時的位置，如圖所示：此時BP+EP＝DE，∵正方形ABCD的邊長為2，∴DC＝BC＝2，∵E是BC的中點，∴EC＝1，在Rt△DEC中，DE＝＝＝，故選：A．【點撥】本題考查了軸對稱的性質，勾股定理，理解對角線所在的直線是正方形的對稱軸是解題的關鍵．11．B【分析】連接作關于的對稱點，連接，則，證明，可得，根據，勾股定理即可求得，即的最小值．解：如圖，連接作關于的對稱點，則，四邊形是正方形，，，，，，，的最小值為的長，，，中，，的最小值為故選B【點撥】本題考查了正方形的性質，線段和最值問題，添加輔助線將轉化為是解題的關鍵．12．C【分析】作關于的對稱點，連接交于點，根據軸對稱性質及兩點之間，線段最短，得到四邊形的周長最小，即最小，再利用三角形三邊關系解題即可．解：如圖，作關于的對稱點，連接交于點，故點與點重合時，四邊形的周長最小，即最小，和關于對稱，則連接，同樣，而，即所以當與重合時，四邊形周長最小，即為，故選：C．【點撥】本題考查正方形的性質、軸對稱與最值問題等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．13．【分析】根據菱形的性質得到AB＝1，∠ABD＝30°，根據平移的性質得到A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，推出四邊形A′B′CD是平行四邊形，得到A′D＝B′C，于是得到A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，根據平移的性質得到點A′在過點A且平行于BD的定直線上，作點D關于定直線的對稱點E，連接CE交定直線于A′，則CE的長度即為A'C+B'C的最小值，求得DE＝CD，得到∠E＝∠DCE＝30°，于是得到結論．解：∵在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四邊形A′B′CD是平行四邊形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵點A′在過點A且平行于BD的定直線上，∴作點D關于定直線的對稱點E，連接CE交定直線于A′，則CE的長度即為A'C+B'C的最小值，

∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，如圖，過點D作DH⊥EC于H，∴，，∴,∴CE＝2CH＝，故答案為：．【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，菱形的性質，平行四邊形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，平移的性質，正確地理解題意是解題的關鍵．14．【分析】連接DE，依據菱形的性質即可計算得到DE的長，再根據線段的性質，即可得到PD+PE的最小值為DE的長．解：如圖，連接DE，∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，AC=4，BD=4，∴AO=AC=2，BO=BD=2，AC⊥BD，∴AB=，∴AB=AD=BD，即△ABD是等邊三角形，點E是AB的中點，，∴DE=，∵DP+PE≥DE，∴PD+PE的最小值為DE的長，即PD+PE的最小值為2，故答案為：2．【點撥】此題考查了軸對稱，最短路線問題，勾股定理，等邊三角形的性質，關鍵是掌握菱形的性質以及線段的性質：兩點之間，線段最短．15．【分析】連結AF，利用中位線的性質GH=AF，要使GH最小，只要AF最小，由點F在BC，當AF⊥BC時，AF最小，利用菱形性質求出，由確定△ABF為等腰直角三角形，得出AF=BF，由勾股定理得：求出AF即可．解：連結AF，∵，分別為，的中點，∴GH∥AF，且GH=AF，要使GH最小，只要AF最小，由點F在BC，當AF⊥BC時，AF最小，在菱形中，，∴，在Rt△ABF中，，∴△ABF為等腰直角三角形，∴AF=BF，由勾股定理得：，∴，∴，GH最小=AF=．故答案為：．【點撥】本題考查動點圖形中的中位線，菱形的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理應用問題，掌握中位線的性質，菱形性質，等腰直角三角形的性質，點F在BC上，AF最短，點A到BC直線的距離最短時由點A向直線BC作垂線，垂線段AF為最短是解題關鍵．16．【分析】先連接PC,判定四邊形ECFP是矩形,得到EF=PC,再根據當PC最小時,EF也最小,根據垂線段最短,可得當CP⊥AB時,PC最小,最后根據面積法,求得CP的長即可得到線段EF長的最小值.解：連接PC,PE⊥BC,PF⊥CA,∠PEC=∠PFC=∠C=,四邊形ECFP是矩形,EF=PC,當PC最小時,EF也最小,垂線段最短,當CP⊥AB時,PC最小,AC=1,BC=2,AB=,又當CP⊥AB時,PC===.線段EF長的最小值為.故答案為.【點撥】本題主要考查矩形的判定與性質及垂線段最短.17．3a【分析】作輔助線，先根據直角三角形30度角的性質可知CF=FH，得GH的長是EF+CF的最小值，從而得結論．解：過F作GH∥CD，交AD于G，BC于H，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，AD∥BC，∴GH⊥AD，∠CHF=90°，∵∠BCF=30°，∴FH=CF，∵點E是邊AD上一點，∴EF+CF=EF+FH，即EF+CF的最小值是GH，∵∠GHC=∠BCD=∠D=90°，∴四邊形DGHC是矩形，∴GH=CD=AB=3a，即EF+CF的最小值是3a；故答案為：3a．【點撥】本題考查了矩形的判定和性質，平行線的性質，直角三角形30度角的性質等知識，解題關鍵是確定EF+CF的最小值是GH．18．3﹣3【分析】連接AC，當A、、C共線時，C的值最小，進而解答即可．解：如圖，連接AC．∵折疊，∴AB＝A＝3，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝，∵C≥AC﹣A，∴當A、、C共線時，C的值最小為：3﹣3，故答案為：3﹣3．【點撥】本題考查翻折變換、矩形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，作出正確的輔助線，屬于中考常考題型．19．【分析】由矩形的性質可知EF＝OP，可知當OP最小時，則EF有最小值，由垂線段最短可知當OP⊥AB時，滿足條件，求得A、B兩點的坐標，即可求得EF的最小值．解：在一次函數中，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝，∴A（0，4），B（，0）．∵PE⊥y軸于點E，PF⊥x軸于點F，∴∠PEO=∠PFO=90°，∵∠EOF=90°，∴四邊形PEOF是矩形，∴EF＝OP，∴當OP⊥AB時，OP取得最小值，此時EF最小，∵A（0，4），點B坐標為（，0），∴OA＝4，OB＝，由勾股定理得：AB＝，∵AB?OP＝OA?OB，∴OP＝．故答案為：【點撥】本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點，矩形的性質，熟知矩形的性質和一次函數與坐標軸交點特征，熟練進行計算是解答此題的關鍵．20．【分析】作點E關于點C的對稱點M，連接AM交CD于點F，連接EF，則此時的值最小，根據矩形的性質和勾股定理得出AM的值即可解：作點E關于點C的對稱點M，連接AM交CD于點F，連接EF，則此時的值最小，EF=MF；EC=MC，∴EF+AF=AM∵，為中點，∴BE=CE=2，∴BM=6；在矩形中，，∴∠B=90°，∴；故答案為：【點撥】本題考查了矩形的性質、勾股定理、兩點之間線段最短等知識；正確的作出輔助線是解題的關鍵．21．【分析】根據題意，進而證明，可得,勾股定理求解即可．解：如圖，作，，連接MH．PN⊥AC，AE平分∠BAC，，，即為所求，四邊形是正方形正方形，，又，，，，，，，AE平分∠BAC，，在與中，，，，是正方形的對角線，，，即的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查了角平分線的性質，正方形的性質，垂線段最短，根據題意求得的最小值是的長是解題的關鍵．22．##【分析】由題意以及正方形的性質得OP過正方形ABCD的頂點時，點P到正方形的最長距離取得最小值，最小值為PA．解：如圖，OP過頂點A時，點O與這個圖上所有點的連線中，OA最大，此時點P到正方形的最長距離取得最小值，最小值為PA，∵正方形ABCD邊長為2，O為正方形中心，∴∠OAB=∠OBA=45°，OA⊥CB，∴OA=OB=，∵OP=4，∴最小值為PA=4-；故答案為：4-．【點撥】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，理解點到圖形的距離是解題的關鍵．23．##【分析】取AB的中點G，以G為圓心，AB為直徑作圓G，當D、E、G共線時，此時DE取得最小值．解：∵BE⊥AF于E，即∠AEB=90°，取AB的中點G，∴點E的運動軌跡為以AB為直徑，G為圓心的圓弧．當D、E、G三點共線時，DE取得最小值，如圖，∵AB=AD=2，∴AG=EG=1，∴DG=，∴DE=．即線段DE的最小值是．故答案為：．【點撥】本題主要考查了正方形的性質，圓的性質，勾股定理，本題關鍵是確定DE取最小值的位置．24．2【分析】由垂線段最短可得當點P是正方形對角線AC和BD的交點時，此時BP最小，可證四邊形BEPF是矩形，可得FE＝BP，即EF的最小值為BP的最小值為2．解：當點P是正方形對角線AC和BD的交點時，此時BP最小，∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC于點P，∵正方形ABCD邊長為4，∴BP＝BD＝×4＝2，∵PE⊥BC，PF⊥AB，AB⊥BC，∴四邊形BEPF是矩形，∴FE＝BP，∴EF的最小值為BP的最小值為2，故答案為：2．【點撥】本題考查了正方形的性質，垂線段最短，矩形的判定與性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．25．【分析】解：由折疊知，又∵是的中點，∴，故點在以點為圓心長為半徑的上，如解圖，過點作于點，在菱形中，，，∴是等邊三角形∵是的中點，∴點與點重合，∴，故點A'到距離的最小值為．26．（1）△ACF是等腰三角形，理由見分析；（2）10；（3）【分析】（1）根據折疊的性質可得：∠1=∠2，再由矩形的性質，可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，即可求解；（2）設FD=x，則AF=CF=8-x，再由勾股定理，可得DF=3，從而得到CF=5，即可求解；（3）連接PB，根據折疊的性質可得△ECP≌△BCP，從而得到PE=PB，進而得到當點F、P、B三點共線時，PE+PF最小，最小值為BF的長，再由勾股定理，即可求解．解：（1）△ACF是等腰三角形，理由如下：如圖，由折疊可知，∠1=∠2，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AF=CF，∴△ACF是等腰三角形；（2）∵四邊形ABCD是矩