專題1.17中點(diǎn)四邊形專題（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，已知點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H得到四邊形EFGH，我們把四邊形EFGH叫做四邊形ABCD的“中點(diǎn)四邊形”．若四邊形ABCD是矩形，則矩形ABCD的“中點(diǎn)四邊形”一定是（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2．如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，若E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H四點(diǎn)，得到四邊形EFGH，則下列結(jié)論不正確的是（）A．四邊形EFGH一定是平行四邊形 B．當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形EFGH是菱形C．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形 D．四邊形EFGH可能是正方形3．在四邊形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)EG2＋FH2的值為（

）A．72 B．64 C．48 D．364．如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．若四邊形ABCD的面積記為S1，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是（）A．S1=3S2 B．2S1=3S2 C．S1=2S2 D．3S1=4S25．如圖，點(diǎn)、、、分別是四邊形邊、、、的中點(diǎn)，則下列說法：①若，則四邊形為矩形；②若，則四邊形為菱形；③若四邊形是平行四邊形，則與互相垂直平分；④若四邊形是正方形，則與互相垂直且相等.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)分別是E、F、G、H，若對(duì)角線AC、BD的長都為20cm，則四邊形EFGH的周長是(

)A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm7．如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則關(guān)于四邊形EFGH，下列說法正確的為（）A．一定不是平行四邊形 B．一定不是中心對(duì)稱圖形C．可能是軸對(duì)稱圖形 D．當(dāng)AC=BD時(shí)它是矩形8．順次連接一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)正方形，則這個(gè)四邊形可能是（

）．A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形9．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，則對(duì)四邊形EFGH表述最確切的是（）A．四邊形EFGH是矩形 B．四邊形EFGH是菱形C．四邊形EFGH是正方形 D．四邊形EFGH是平行四邊形10．如圖，在任意四邊形ABCD中，M，N，P，Q分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，對(duì)于四邊形MNPQ的形狀，以下結(jié)論中，錯(cuò)誤的是A．當(dāng)M，N，P，Q是各邊中點(diǎn)，四邊MNPQ一定為平行四邊形B．當(dāng)M，N，P，Q是各邊中點(diǎn)，且時(shí)，四邊形MNPQ為正方形C．當(dāng)M，N、P，Q是各邊中點(diǎn)，且時(shí)，四邊形MNPQ為菱形D．當(dāng)M，N、P、Q是各邊中點(diǎn)，且時(shí)，四邊形MNPQ為矩形二、填空題11．如圖，連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，只要添加_____條件，就能保證四邊形EFGH是菱形．12．如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則EG2+FH2=______．13．如圖，四邊形ABCD是菱形，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，隨機(jī)地向菱形ABCD內(nèi)擲一粒米，則米粒落到陰影區(qū)域內(nèi)的概率是__________．14．如圖，?ABCD中，AC＝8，BD＝6，則順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形的周長是_____．15．如圖，已知矩形ABCD中，，，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長等于_____cm．16．如圖，H是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BH⊥CH，AH＝6，CH＝3，BH=4，D、E、F、G分別是AB、AC、CH、BH的中點(diǎn)，則四邊形DEFG的周長是______．

17．如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，其中，則四邊形的面積為________________________．18．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)，若在四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為_____________．19．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，EF＝2EH，則AB與EH的數(shù)量關(guān)系是AB＝_____EH．20．如圖，點(diǎn)A，B，C為平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)．點(diǎn)D為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．線段AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q．在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，有下列結(jié)論：①存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是菱形；③存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是矩形；④存在兩個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是正方形．所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____．三、解答題21．已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．（1）四邊形EFGH的形狀是，證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形；（3）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？22．我們把順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？（2）任意平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？（3）任意矩形、菱形和正方形的中點(diǎn)四邊形分別是什么形狀？為什么？23．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFGH是．（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．（3）若改變（2）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）．24．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，順次連接E、G、F、H．（1）求證：四邊形EGFH是菱形．（2）當(dāng)∠ABC與∠DCB滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形EGFH為正方形，并說明理由．（3）猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三個(gè)角之間的關(guān)系，并證明你的猜想是成立的．25．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，在四邊形中，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形是_______________．（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)．猜想中點(diǎn)四邊形的形狀，并證明你的猜想．（3）若改變（2）中的條件，使，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）．參考答案1．C【分析】原四邊形ABCD是矩形時(shí)，它的對(duì)角線相等，那么中點(diǎn)四邊形是菱形（平行四邊形相鄰的兩邊都相等）．解：連接AC和BD、分別是、的中點(diǎn)，是的中位線，，同理，，，．四邊形是平行四邊形．四邊形是矩形時(shí)，，則，平行四邊形是菱形故選：C.【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)．2．C【分析】根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．解：∵E、F分別是BD、BC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，EF=CD，∵H、G分別是AD、AC的中點(diǎn)，∴HG∥CD，HG=CD，∴HG∥EF，HG=EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，A說法正確，不符合題意；∵F、G分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴FG=AB，∵AB=CD，∴FG=EF，∴當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形EFGH是菱形，B說法正確，不符合題意；當(dāng)AB⊥BC時(shí)，EH⊥EF，∴四邊形EFGH是矩形，C說法錯(cuò)誤，符合題意；當(dāng)AB=CD，AB⊥BC時(shí)，四邊形EFGH是正方形，說法正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查中點(diǎn)四邊形、三角形中位線定理，掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】作輔助線，構(gòu)建四邊形EFGH，證明它是菱形，利用對(duì)角線互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位線性質(zhì)等量代換可得結(jié)論．解：連接EF、FG、GH、EH，∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF∥AC，HG∥AC，，∴EF∥HG，同理EH∥FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵AC=BD，∴EF=FG，∴平行四邊形EFGH為菱形，∴EG⊥FH，EG=2OG，F(xiàn)H=2OH，∴EG2+FH2=（2OE）2+（2OH）2=4（OE2+OH2）=4EH2=,故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了中點(diǎn)四邊形，運(yùn)用了三角形中位線的性質(zhì)，將三角形和四邊形有機(jī)結(jié)合，把邊的關(guān)系由三角形轉(zhuǎn)化為四邊形中，可以證明四邊形為特殊的四邊形；對(duì)于線段的平方和可以利用勾股定理來證明．4．C【分析】根據(jù)題意由E為AB中點(diǎn)，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK與△ABM相似，△AEN與△ABM相似，利用面積之比等于相似比的平方，得到△EBK面積與△ABM面積之比為1：4，且△AEN與△EBK面積相等，進(jìn)而確定出四邊形EKMN面積為△ABM的一半，同理得到四邊形MKFP面積為△MBC面積的一半，四邊形QMPG面積為△DMC面積的一半，四邊形MNHQ面積為△ADM面積的一半，四個(gè)四邊形面積之和即為四個(gè)三角形面積之和的一半，即為四邊形ABCD面積的一半．解：設(shè)AC與EH、FG分別交于點(diǎn)N、P，BD與EF、HG分別交于點(diǎn)K、Q，∵E是AB的中點(diǎn)，EF∥AC，EH∥BD，∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，∴，S△AEN=S△EBK，∴，同理可得，，，∴，∴四邊形ABCD的面積為S1，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S1=2S2．故選C．【點(diǎn)撥】此題主要考查了中點(diǎn)四邊形以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．A【分析】根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理得到四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．解：∵E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=AC，同理可知，HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，若AC=BD，則四邊形EFGH是菱形，故①說法錯(cuò)誤；若AC⊥BD，則四邊形EFGH是矩形，故②說法錯(cuò)誤；若四邊形是平行四邊形，AC與BD不一定互相垂直平分，故③說法錯(cuò)誤；若四邊形是正方形，AC與BD互相垂直且相等，故④說法正確；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查中點(diǎn)四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的判定等知識(shí)，掌握三角形中位線定理、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．B解：利用三角形中位線定理易得所求四邊形的各邊長都等于AC，或BD的一半，進(jìn)而求四邊形周長即可．7．C解：連接AC，BD，∵點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF=HG=AC，EH=FG=BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH一定是中心對(duì)稱圖形，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，∠EFG=90°，此時(shí)四邊形EFGH是矩形，當(dāng)AC=BD時(shí)，EF=FG=GH=HE，此時(shí)四邊形EFGH是菱形，∴四邊形EFGH可能是軸對(duì)稱圖形，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查中點(diǎn)四邊形；平行四邊形的判定；矩形的判定；軸對(duì)稱圖形．8．D【分析】利用連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形，則結(jié)合正方形的性質(zhì)及三角形的中位線的性質(zhì)進(jìn)行分析，從而不難求解．解：如圖點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，且四邊形EFGH是正方形．∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形各邊的中點(diǎn)，且四邊形EFGH是正方形．∴EF=EH，EF⊥EH，∴BD=2EF，AC=2EH，EF//BD，EH//AC∴AC=BD，AC⊥BD，即四邊形ABCD滿足對(duì)角線相等且垂直，選項(xiàng)D滿足題意．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了利用三角形中位線定理得到新四邊形各邊與相應(yīng)線段之間的數(shù)量關(guān)系和位置．熟練掌握特殊四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EH=BC，EH∥BC，得到四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理解答即可．解：∵點(diǎn)E、H分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EH=BC，EH∥BC，同理，EF=AD，EF∥AD，HG=AD，HG∥AD，∴EF=HG，EF∥HD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AD=BC，∴EF=EH，∴平行四邊形EFGH是菱形，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查的是中點(diǎn)四邊形的概念和性質(zhì)、掌握三角形中位線定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理得到，，，，根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．解：連接AC、BD交于點(diǎn)O，M，N，P，Q是各邊中點(diǎn)，∴，，，，∴，，四邊MNPQ一定為平行四邊形，A說法正確，不符合題意；時(shí)，四邊形MNPQ不一定為正方形，B說法錯(cuò)誤，符合題意；時(shí)，，四邊形MNPQ為菱形，C說法正確，不符合題意；時(shí)，，四邊形MNPQ為矩形，D說法正確，不符合題意.故選B．【點(diǎn)撥】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．11．AC＝BD【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)易得四邊形EFGH為平行四邊形，那么只需讓一組鄰邊相等即可，而鄰邊都等于對(duì)角線的一半，那么對(duì)角線需相等．解：∵E、F為AD、AB中點(diǎn)，∴EF為△ABD的中位線，∴EFBD，EF=BD，同理可得GHBD，GH=BD，F(xiàn)GAC，F(xiàn)G=AC，∴EFGH，EF=GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴當(dāng)EF=FG時(shí)，四邊形EFGH為菱形，∵FG=AC，EF=BD，EF=FG∴AC=BD，故答案為：AC＝BD．【點(diǎn)撥】本題考查菱形的判定，四邊相等的四邊形是菱形和中位線定理，解題的關(guān)鍵是了解菱形的判定定理，難度不大．12．36【分析】連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，得到EH，EF，F(xiàn)G，GH分別是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位線，根據(jù)三角形中位線定理得到EH，F(xiàn)G等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD=6，得到EH=EF=GH=FG=3，根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形，得到EFGH為菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EG⊥HF，且EG=2OE，F(xiàn)H=2OH，在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得到OE2+OH2=EH2=9，再根據(jù)等式的性質(zhì)，在等式的兩邊同時(shí)乘以4，根據(jù)4=22，把等式進(jìn)行變形，并把EG=2OE，F(xiàn)H=2OH代入變形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值解：如圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，∵E、H分別是AB、DA的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴EH=BD=3，同理可得EF，F(xiàn)G，GH分別是△ABC，△BCD，△ACD的中位線，∴EF=GH=AC=3，F(xiàn)G=BD=3，∴EH=EF=GH=FG=3，∴四邊形EFGH為菱形，∴EG⊥HF，且垂足為O，∴EG=2OE，F(xiàn)H=2OH，在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9，等式兩邊同時(shí)乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36，∴（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36．故答案為36．【點(diǎn)撥】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理以及等式的基本性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，得到四邊形EFGH為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EG⊥HF，建立直角三角形，利用勾股定理來解決問題．13．解：則根據(jù)菱形的性質(zhì)可得菱形ABCD的面積=AC·BD，根據(jù)E、F、G、、H為各邊中點(diǎn)可得四邊形HEFG為矩形，根據(jù)中點(diǎn)可得HE=FG=BD，HG=EF=AC，則矩形HEFG的面積=BD·AC=AC·BD，即四邊形HEFG的面積是菱形ABCD面積的一半，則可得概率為．故答案為；．14．14【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF＝GH＝＝3，EH＝FG＝＝4，代入四邊形的周長式子求出即可．解：∵E、F、G、H分別是邊AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，∴EF＝GH＝＝3，EH＝FG＝＝4，∴EF+FG+GH+EH＝3+4+3+4＝14，故答案為14【點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)三角形的中位線定理的理解和掌握，能熟練運(yùn)用性質(zhì)求出EF+GH+EH+FG=AC+BD是解此題的關(guān)鍵．15．20【分析】連接AC、BD，根據(jù)三角形的中位線求出HG，GF，EF，EH的長，再求出四邊形EFGH的周長即可.解：如圖，連接AC、BD，四邊形ABCD是矩形，AC＝BD＝8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，HG＝EF＝AC＝4cm，EH＝FG＝BD＝4cm，四邊形EFGH的周長等于4＋4＋4＋4＝16cm.【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線的應(yīng)用，能求出四邊形的各個(gè)邊的長是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對(duì)角線相等，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.16．11【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長，根據(jù)三角形的中位線定理得到ED=FG=BC，EF=DG=AH，而△CHB為直角三角形，可求出BC，再求出EF、HG、EH、FG的長，代入即可求出四邊形EFGH的周長．解：∵BH⊥CH，BH=4，CH=3，由勾股定理得：BC==5，∵D、E、F、G分別是AB、AC、CH、BH的中點(diǎn)，∴ED=FG=BC，EF=DG=AH，∵AH=6，∴EF=DG=3，ED=FG=，∴四邊形EFGH的周長是EF+FG+HG+EH=2×（2.5+3）=11．故答案為11．【點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)勾股定理，三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)三角形的中位線定理求出EF、DG、ED、FG的長是解此題的關(guān)鍵．17．4.【分析】先判定四邊形EFGH為矩形，再根據(jù)中位線的定理分別求出EF、EH的長度，即可求出四邊形EFGH的面積.解：∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴△AEH、△BEF、△CFG、△DGH都為等腰直角三角形，∴∠HEF、∠EFG、∠FGH、∠GHE都為直角，∴四邊形EFGH是矩形，邊接AC，則AC=BD=4，又∵EH是△ABD的中位線，∴EH=BD=2，同理EF=AC=2，∴四邊形EFGH的面積為2×2=4.故答案為4.【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，三角形中位線定理.18．##0.5【分析】先由三角形的中位線定理推知四邊形EFGH是平行四邊形，然后由AC⊥BD可以證得平行四邊形EFGH是矩形．解：如圖，∵E、F、G、H分別是線段AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴EH、FG分別是△ACD、△ABC的中位線，EF、HG分別是△ABD、△BCD的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)知，EF∥BD，GH∥BD且EF=BD，GH=BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG∴四邊形EFGH是矩形，∴四邊形EFGH的面積=EF?FG=AC?BD，∵四邊形ABCD的面積=AC?BD，∴這一點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了幾何概率，中點(diǎn)四邊形，解題時(shí)，利用三角形中位線定理判定四邊形EFGH是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．19．【分析】連接AC、BD交于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理得到四邊形EFGH是矩形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．解：連接AC、BD交于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點(diǎn)，∴EH＝BD，EH∥BD，GH＝AC，GH∥AC，∵EF＝2EH，∴OA＝2OD，∴AB＝＝OD，∴AB＝EH，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．20．①②③④．【分析】連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理得到PQ∥AC，PQ=AC，MN∥AC，MN=AC，根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．解：①當(dāng)AC與BD不平行時(shí)，中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形；故存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形；②當(dāng)AC與BD相等且不平行時(shí)，中點(diǎn)四邊形MNPQ是菱形；故存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是菱形；③當(dāng)AC與BD互相垂直（B，D不重合）時(shí)，中點(diǎn)四邊形MNPQ是矩形；故存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是矩形；④如圖所示，當(dāng)AC與BD相等且互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形MNPQ是正方形．故存在兩個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是正方形．故答案為：①②③④．【點(diǎn)撥】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．21．（1）平行四邊形，證明見分析；（2）AC=BD；（3）矩形【分析】（1）連接BD、AC，利用三角形的中位線性質(zhì)和平行四邊形的判定定理即可解答；（2）根據(jù)菱形的判定定理即可解答；（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的判定解答即可．解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，證明：連接BD、AC，∵四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，∴，，∴四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC=BD條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形，理由：∵BD=AC，，，∴，∴四邊形EFGH是菱形，故答案為：AC=BD；（3）由于矩形的對(duì)角線相等，且由（1）（2）結(jié)論知，矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．22．（1）平行四邊形，理由見分析；（2）平行四邊形；理由見分析；（3）菱形、矩形、正方形．理由見分析．【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理，可得EH∥GF，EH=FG，即可求證；（2）連接AC，DB，根據(jù)三角形的中位線定理，可得EH∥GF，EH=FG，即可求證；（3）利用（1）的判定方法，再根據(jù)三角形的中位線定理和矩形、菱形、正方形的判定方法來判定，即可求證．解：（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，理由如下：已知四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，連接BD，如圖1：∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴，，∵G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴FG是△BCD的中位線，∴，，∴EH∥GF，EH=FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形；（2）任意平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，理由如下：已知平行四邊形ABCD，E，N，M，F(xiàn)分別是DA，AB，BC，DC的中點(diǎn)，連接AC，DB，如圖2：∵E，F(xiàn)分別是DA，DC的中點(diǎn)，∴EF是△ACD的中位線，∴EF∥AC，EF=，∵M(jìn)，N分別是BC，AB的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，∴MN∥AC，MN=AC，∴EF∥MN，EF=MN，∴四邊形MNEF是平行四邊形；（3）如果原四邊形為矩形，則形成的中點(diǎn)四邊形為菱形，理由如下：已知矩形ABCD，H，E，F(xiàn)，G分別是DA，AB，BC，DC的中點(diǎn)，連接AC，DB，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴EH=BD，∵G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴GF是△BCD的中位線，∴GF=BD，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF=AC，∵G是CD的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，∴GH是△ACD的中位線，∴GH=AC，又∵AC=BD，∴EF=GF=EH=GH，四邊形EFGH是菱形；如果原四邊形為菱形，則形成的中點(diǎn)四邊形為矩形，理由如下；已知菱形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，，BC，CD，AD的中點(diǎn)，連接BD，AC，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD，，∵G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴GF是△BCD的中位線，∴GF∥BD，，∴EH∥BD∥GF，EH=GF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴AC⊥EH，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，∴EH⊥EF，∴四邊形EFGH是矩形；如果原四邊形為正方形，則形成的中點(diǎn)四邊形為正方形，理由如下：已知正方形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，連接BD，AC，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD，∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD，EH=BD，∵G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴GF是△BCD的中位線，∴GF∥BD，GF=BD，∴EH∥BD∥GF，EH=GF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴AC⊥EH，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，EF=AC，∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是矩形，∵AC=BD，∴EF=EH，∴四邊形EFGH是正方形．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．（1）平行四邊形；（2）菱形，見分析；（3）正方形【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形中位線定理證明EH∥FG，EH=FG，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可；（2）證明△APC≌△BPD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BD，再證明EF=FG，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；（3）證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠EHG=90°，根據(jù)正方形的判定定理證明即可．解：（1）如圖1，連接BD，∵點(diǎn)E，H分別為邊AB，DA的中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH=BD，∵點(diǎn)F，G分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD，F(xiàn)G=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；（2）結(jié)論：四邊形EFGH是菱形，理由：如圖2，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC=BD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴EF=AC，F(xiàn)G=BD，∴EF=FG，由（1）知中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是菱形；（3）結(jié)論：四邊形EFGH是正方形，理由：如圖2，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O．AC與PD交于點(diǎn)M，∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠C