初中數(shù)學(xué)競賽綜合強(qiáng)化練習(xí)9

學(xué)校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.若x="，代數(shù)式x?+2x+數(shù)-2的值為-1,則當(dāng)x=-a時，代數(shù)式=+2x+數(shù)-2

的值為（）

A.-1B.1C.2D.3

2.在一個由8x8個方格組成的邊長為8的正方形棋盤內(nèi)放一個半徑為4的圓，若把圓

周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為S/,把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓外

5

部分的面積之和記為S2,則U的整數(shù)部分是（）?

,2

3.在一次數(shù)學(xué)活動課上，某數(shù)學(xué)老師在4張同樣的紙片上各寫了一個正整數(shù)，從中隨

機(jī)取2張，并將它們上面的數(shù)相加，重復(fù)這樣做，每次所得的和都是5,6,7,8中的

一個數(shù)，并且這4個數(shù)都能取到，根據(jù)以上信息，下列判斷正確的是（）

A.四個正整數(shù)中最小的是1B.四個正整數(shù)中最大的是8

C.四個正整數(shù)中有兩個是2D.四個正整數(shù)中一定有3

4.分式”上處上可取的最大值為（

)

x2+2X+2

A.4B.5C.6D.7

1

5.若X——+(3y+l)2=0,則f+y2的值是()

3

B

A.0-1u1D.-

9

6.已知“，b滿足-3|+（6+2）2=0,則單項式-5aw加的系數(shù)和次數(shù)分別是

（）

A.-15,6B.-15,5C.-5,6D.-5,5

7.在平行四邊形中，AB^BC,ZD=60°,43=3,點E是48邊上的動點，

過點8作直線CE的垂線，垂足為F,當(dāng)點E從點A運動到點8時，點F的運動路徑

長為（）

AD

E

//F\/

BC

13

A.一nB.4C.—D.2

22

8.已知4,b均為正數(shù)，且必行'，，/+4后,J44+E是一個三角形的三邊的

長，則這個三角形的面積是（）

31

A.-abB.abC.—ahD.2ab

22

二、填空題

9.若卜一1|+（。+2021）2=0,那么4—力的值是.

10.如圖，四邊形ABC。中，ZCBD=ZCAD=90°,AC^AD,若CD=5gAB,則

tanZACB=.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點。在第二象限，其余頂點都在第

一象限，AB〃x軸，AO±AD,AO=AD.過點A作垂足為E,

DE=4CE.反比例函數(shù)y=：（x>0）的圖象經(jīng)過點E.與邊AB交于點F,連接OE,

OF,EF.則cosO=.若￡=?，則點F坐標(biāo)為.

O

12.如圖（1）,將一個等腰直角三角形紙片沿著虛線剪成三塊，再利用這三塊小紙片

進(jìn)行拼接，恰好拼成一個如圖（2）無縫隙、不重疊的平行四邊形，則的值是

13.方程2(l-3x)4—32=0的根是.

14.已知3-1)2+|。-2|=0,則

1[[________1________,、

益+(〃+1)伍+1)+(4+2)伍+2)+…+(“+1998)(6+1998)的值為-------

15.如圖，直線y=-4x+5與坐標(biāo)軸交于A,B兩點，交反比例y="(x>0)的圖象于

C,。兩點，且8=34。，點￡是直線48上一點，連接。E,以0E為邊在0E右側(cè)

作直角三角形OEF,NOEF=90°,NOFE=ZABO,若邊OF交反比例函數(shù)圖象于點

G,OG=GF,則左值為,點E的坐標(biāo)是.

16.如圖，8。為邊長為a的菱形ABCD的對角線，Zfl4￡>=60°,點M,N分別從點

A,B同時出發(fā).以相同的速度沿A8,BO向終點8和。運動，連接和AN,DM

與AN相交于點尸，連接8P,則BP的最小值為.

三、解答題

17.某商場經(jīng)營甲、乙兩種商品，甲種商品每件進(jìn)價100元，售價比進(jìn)價多40%,乙

種商品每件售價160元，售價比進(jìn)價多

4

(1)求每件甲種商品的售價和每件乙種商品的進(jìn)價；

(2)若該商場同時購進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，花去11120元，求該商場購進(jìn)乙種商

品多少件？

（3）春節(jié)期間，該商場對甲、乙兩種商品進(jìn)行如下優(yōu)惠活動：

①不超過2000元，不優(yōu)惠；

②超過2000元且不超過2500元，九折優(yōu)惠；

③超過2500元，八折優(yōu)惠.

按照上述優(yōu)惠條件，憂憂第一天只購買乙種商品一次性付款1760元，第二天只購買甲

種商品一次性付款2016元，那么這兩天憂憂在該商場購買甲、乙兩種商品一共多少

件？

X2-9y2=0

18.解方程組:

x2-2xy+y2=16'

19.將1,2,3,…，16這16個數(shù)分成8組（4，仇），（%，4），若

|q-4|+|q卜---<-|?|—6||=62.求（4—仇）2+（%-匕21+…+（。8-々尸的最小值.

必要時可以利用排序不等式（又稱排序原理）：設(shè)王4芻4…4%,乂4%4…4%為

兩組實數(shù)，21422人..42,是％4必e-4%的任一排列，則

X%+x2yn.l+---x?y<xtzl+x2z2+---x?znM再％+x2y2+…?

20.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,AHLBC,H為垂足,將△A8H繞點A

逆時針旋轉(zhuǎn)a得AAOE,連接C￡>,F為CD的中點，連接F”，F(xiàn)E.

⑴求證：FH=FE且FHLFE；

（2）若4B=4,a=180。，直接寫出點尸經(jīng)過的路徑長.

21.已知：2（?（+2）2+|；!-1|=0,求6，，/“3-_4"”『-3'?〃-1，?":'）］-2卜""+3，"2":'）的值.

22.如果一個整數(shù)P能分解成兩個兩位數(shù)的乘積，且這兩個兩位數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之

和相等，把這樣的整數(shù)P稱為“最美數(shù)”，把這樣的分解稱為“最美分解”.

例如:因為448=32x14,3+2=1+4,所以448是“最美數(shù)”；

又例如：因為391=23x17,2+341+7,所以391不是“最美數(shù)”

⑴判斷286(填“是”或“不是”)“最美數(shù)”；

(2)若一個“最美數(shù)”P進(jìn)行“最美分解"P=AxB,證明：A+28能被3整除；

(3)把一個“最美數(shù)”P進(jìn)行“最美分解”，即2=4、從其中A=10a+A,B=lOc+d,

(l<a<5,04b49,l<c<3,0<d<5,a,b,c,4為整數(shù)).若A+2B為完全平

方數(shù)，求所有滿足條件的整數(shù)？

參考答案：

1.D

【解析】

【分析】

將等式變形可得（。+葉+冊二^=0,然后利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)得出。=-1,〃=2,然后將當(dāng)

x=l時，代入代數(shù)式求值即可.

【詳解】

解：=代數(shù)式x2+2x+^/^的值為T,

??u~+2a+—2=-1,

(a+1)~+V?-2=0,

???(4+1)220,7^20,

；?a+1=0,H—2=0,

解得。=T，n=29

當(dāng)x=l時，代數(shù)式f+2]=i+2=3.

故選擇D.

【點睛】

本題考查完全平非負(fù)數(shù)性質(zhì)，算術(shù)平方根非負(fù)性質(zhì)，完全平方公式，代數(shù)式求值，掌握完

全平非負(fù)數(shù)性質(zhì)，算術(shù)平方根非負(fù)性質(zhì)，完全平方公式，代數(shù)式求值是解題關(guān)鍵.

2.B

【解析】

【分析】

S.

根據(jù)正方形和圓的面積公式，計算出5和邑的值，然后再計算出寸S的值,即可知道寸的

32

整數(shù)部分.

【詳解】

222

解：由題意知：S,=^x4-32=16^-32,S2=8-^x4-4=60-16^

S,_16^-32

?1.869

S260-164

二9t的整數(shù)部分是1

d2

答案第1頁，共22頁

故選：B

【點睛】

本題考查了面積和等積變換，正方形的面積和圓的面積計算等知識點，能夠根據(jù)題意計算

出相關(guān)的面積是解題的關(guān)鍵.

3.D

【解析】

【分析】

設(shè)這四個數(shù)分別為W,x,Y,z且wvxwywz,分類討論，進(jìn)而得出符合題意的答案.

【詳解】

解：設(shè)這四個數(shù)分別為w,x,Y,ZRW<X<Y<Z,故W+X=5,Y+Z=8,

(1)當(dāng)W=1時，則X=4,

"：W<X<Y<Z

：.X=Y=Z=4,不合題意舍去，

二Wwl,

(2)當(dāng)W=2時，則X=3,

當(dāng)y=X=3時，￡)=5；

當(dāng)y>x時，

W<X<Y<Z

y=z=4,

故綜上所述，這四個數(shù)只能是2,3,3,5或2,3,4,4

A.四個正整數(shù)中最小的是2,故選項錯誤，不符合題意；

B.四個正整數(shù)中最大的是4或5,故選項錯誤，不符合題意；

C.四個正整數(shù)中有兩個可能是3,不是2,故選項錯誤，不符合題意；

D.四個正整數(shù)中一定有3,故選項正確，符合題意.

故選：D.

【點睛】

此題主要考查了應(yīng)用類問題，利用分類討論是解題的關(guān)鍵.

4.D

【解析】

【分析】

答案第2頁，共22頁

5x*I2+310x+12匚2/、

先把分式化為J***,=5+]—滔一；，根據(jù)完全平方公式的非負(fù)性得出(%+1)+121

即可.

【詳解】

2

皿5/+10x+125(X+2X+2)+22c2

解：—;--------=-----；-----------=5+—--------=5H--------—,

x2+2x+2x2+2x+2x2+2x+2(x+1)+1

V(x+l)>0,

(x+1)+1>1,

5/+10X+12

就大=5+2=7.

x?+2x+2

故選：D.

【點睛】

本題考查裂項法把分式分成有理數(shù)與分式兩部分，非負(fù)數(shù)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握裂項法

把分式分成有理數(shù)與分式兩部分，非負(fù)數(shù)性質(zhì).

5.D

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性求出x和y的值，再根據(jù)有理數(shù)的乘方運算算出結(jié)果.

【詳解】

I],

解：?‘X—§2。'（3曠+1）-之0,且x—§+（3y+l）=0,

/.x--=0,3y+l=0,[ipx=—,y=——,

333

12

則+信）4=

9-9-

故選：D.

【點睛】

本題考查絕對值和平方的非負(fù)性，代數(shù)式的值，有理數(shù)的乘方運算，解題的關(guān)鍵是掌握絕

對值和平方的非負(fù)性.

6.A

【解析】

答案第3頁，共22頁

【分析】

先根據(jù)絕對值和偶次方的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出〃-3=0,6+2=0,解方程求出。與6,然后代

入單項式得出單項式，根據(jù)單項式的系數(shù)與次數(shù)定義求解即可.

【詳解】

2

解：V|a-3|+(b+2)2=0,\a-3|>0,32)>0,

,根據(jù)絕對值與偶次方非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得a-3=0,6+2=0,

解得〃=3,b=-2,

，單項式-15x5y的系數(shù)為-15,次數(shù)為5+1=6次.

故選擇A.

【點睛】

本題考查絕對值與偶次方非負(fù)數(shù)性質(zhì)，單項式的次數(shù)與系數(shù)，解一元一次方程，掌握非負(fù)

數(shù)性質(zhì)，和單項式相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

7.B

【解析】

【分析】

根據(jù)NBFC=90。，判定點尸在以8c為直徑的圓上的一段弧上運動，設(shè)8。與AC的交點為

G,則點尸的路徑長恰好是GB，求得半徑和圓心角計算即可.

【詳解】

如圖，連接AC,BD,二線交于點G,

???平行四邊形ABCD中，AB=BC,AB=3,

二四邊形ABC。是菱形，

:.BG1AC,

...點G在以BC為直徑的圓上,

3

設(shè)圓心為O,則半徑08=：,

連接OG,

答案第4頁，共22頁

Z￡>=60°,

NABC=60°,

...△ABC是等邊三角形

...ZACB=60°,

...△GOC是等邊三角形,

ZGOC=60°,ZGOB=120°,

根據(jù)題意，點廠的運用路徑為GB，

…____3

GB的長為：

故選B.

【點睛】

本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，弧長公式，熟

練掌握圓的基本性質(zhì)，靈活運用弧長公式計算是解題的關(guān)鍵.

8.A

【解析】

【分析】

構(gòu)造矩形ABC。，E、尸分別為A。、AB的中點，設(shè)AB=2a,將所求三角形

面積轉(zhuǎn)化為S4CEF~S矩形A8CD一S4NEF一$4BCF一SaCDE即可求解.

【詳解】

解：如圖，在矩形ABCQ中，E、尸分別為A。、A8的中點,

設(shè)AD=2Z?,AB=2a,

:.AF=BF=a,AE=DE=b,

工在RMAEF、RsBCF、RfACDE中,依次可得到：

EF=^AE2+AF2=yja2+b2，

CF=ylBF2+BC2=y/cf+Ab2，

CE=4CD1+DE1=yj4a2+b2，

?e?S^CEF=S矩形—S&AEF-1^ABCF-^△CD￡

答案第5頁，共22頁

=2ax2h——xaxh——xaxlh——x2axh

222

=4ah——ah—ah-ah

2

故選：A

【點睛】

本題考查二次根式的應(yīng)用.能夠通過構(gòu)造矩形及直角三角形，利用等積變換將所求三角形

的面積轉(zhuǎn)化為矩形和幾個直角三角形的面積之差.利用數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

9.2022

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性，即可求出。和。的值，再代入計算即可.

【詳解】

根據(jù)題意可知。-1=0,6+2021=0,

解得：0=1,&=-2021.

=1-(-2021)=2022.

故答案為：2022.

【點睛】

本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值.掌握絕對值和平方的非負(fù)性是解題關(guān)鍵.

10.-

7

【解析】

【分析】

由/。3。=/。1￡>=90。得到4、B、C、。四點共圓，CQ為直徑，取的中點。，連接A。

答案第6頁，共22頁

并延長交。。于點E,連接BE,設(shè)AB=x,則AE=5&X，勾股定理求出8E,利用

ZAEB^ZACB,求NAE8的正切函數(shù)值即可.

【詳解】

解：?四邊形A8CZ）中，NCBQ=NCAO=90。，

...A、B、C、。四點共圓,

??.CD為直徑，

取CD的中點0,連接A。并延長交。。于點E,連接BE,

：.AE=CD,

,:CD=5五AB.

設(shè)AB=x,貝IJAE=5夜x，

?*-BE='JAE2-AB2=ix>

NAEB=NACB,

ABx1

/.tanZACB=tan/AEB==—=—,

BE7x7

【點睛】

此題考查了四點共圓，圓周角定理，勾股定理，三角函數(shù)計算，正切理解四點共圓是解題

的關(guān)鍵.

11.

【解析】

【分析】

延長E4交x軸于點G,過點尸作軸于點H,證明△ZME絲AAOG（A4S）,得到

答案第7頁，共22頁

DE=AG,AE=OG.根據(jù)四邊形ABC。是菱形，DE=4CE,得到AQ=CO=*OE,即

4

4

可求出cosD=g；設(shè)。E=4a,則A￡>=Q4=5〃，根據(jù)勾股定理求出OG=AE=3a,求出

點E(3a,7a),即可求出％=214,證出四邊形4G”尸為矩形，得到=AG=4a,求出點

尸,根據(jù)=S40EG+S梯形EGHF—SaOF”，S&EQF=—,。>0,即可求出。的

值，則可以得出點尸的坐標(biāo).

【詳解】

解：延長￡4交x軸于點G,過點尸作"/_Lx軸于點〃，如圖所示

??'AB〃不軸，A￡1C￡>,AB//CD

：.AG±x$rt

?.?AO±AD

：.ZDAE+ZOAG=90°

9：AE1CD

/.ZZM￡+Z￡>=90°

???ZD=ZOAG

在△ZME和“OG中

/OEA=/AGO=90。

VJzD=ZOAG

AD=OA

：.△DAE烏△4OG(AAS)

:?DE=AG,AE=OG

???四邊形ABC。是菱形，DE=4CE

:.AD=CD=-DE

4

4

/.cosD=—

5

設(shè)OE=4a,貝ijAD=OA=5〃

答案第8頁，共22頁

OG=AE=>JAD2-DE2=3a

**?EG=AE+AG=lci

:.E(3a,7a)

反比例函數(shù)y=々x>0)的圖象經(jīng)過點E

X

???2=21/

VAG1GH,FHLGH,AF1AG,

???四邊形AG”尸為矩形

：.HF=AG=4a

???點/在反比例函數(shù)卜=々4>0)的圖象上

x

.21/21

??X=---------=—a

4。4

/.OH=—a,FH-4a

4

9

：.GH=OH-OG=-a

4

,**S&OEF-S^OEG+S梯形EGHF-S&OFH，S.F=~

O

，-xOGxEG+-(,EG+FH)GH--OHxHF=—

2228

1…1s”\9111

—x2"+—x(7a+4a)x—a——x2\a2'=一

22'7428

解得：?2=l

*：a>0

工點F

4

故答案為：—用

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)與四邊形的綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，求角的三角函數(shù)值，

勾股定理，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識點，

根據(jù)點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度和利用線段長度表示出相應(yīng)點的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)

答案第9頁，共22頁

鍵.

12.i/2+l

【解析】

【分析】

等腰直角三角形紙片沿圖中虛線剪成三塊圖形，能拼成一個沒有縫隙且不重疊的平形四邊

形，則等腰直角三角形的面積和平行四邊形的面積相等，可得gS+32=a（a+人+加，求

出“和人之間的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，等腰直角三角形紙片沿圖中虛線剪成三塊圖形，能拼成一個沒有縫隙且不重疊

的平行四邊形，

等腰直角三角形的面積等于平行四邊形的面積，

由圖（1）可知：等腰直角三角形的直角邊的長為（。+6）,由圖（2）可知：平行四邊形的

底邊長為（a+b+力），高為“，

=a（a+b+b）,

Ab2-2ab-a2=0,

解得：2=&+1或2=_夜+1（舍去），

aa

:?2的值是0+1.

a

故答案為：＞/2+1

【點睛】

本題考查了圖形的剪拼、一元二次方程的解法、等腰直角三角形和平形四邊形的面積公

答案第10頁，共22頁

式.解決本題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想，剪拼前后兩個圖形的面積相等.

“11

13.Xl=l,X2=一一

3

【解析】

【分析】

移項整理得(13x)4=16,然后兩邊同時開四次方得41=±2,由此即可解決問題.

【詳解】

解：V2(l-3x)4-32=0,

???(1—3x)4=16,

l-3x=±2,

.?1

?-X/=1>X2=--

故答案為X2=-V

【點睛】

本題考查高次方程的解法，解題的關(guān)鍵是降次，這里通過開四次方把四次降為了一次.

一1999

14.

2000

【解析】

【分析】

首先根據(jù)乘方運算的非負(fù)性及絕對值的非負(fù)性，可求得小6的值，再把。，。的值代入代

數(shù)式中，對代數(shù)式進(jìn)行變式運算即可求得.

【詳解】

解：,/(a-I)22|=0,(a—I)2>0,-2|>0,

二.a—1=0,b—2=0,

\a-1,b=2,

---1-----11-1-------------------u-----1-----------------------

'ab(a+l)(&+l)(a+2)伍+2)…(a+1998)伍+1998)

1111

=----------1-------------1-------------J--|-------------------------

1x22x33x4…1999x2000

2000

答案第11頁，共22頁

1999

2000

故答案為：黑

【點睛】

本題考查了乘方運算的非負(fù)性及絕對值的非負(fù)性，代數(shù)式求值問題，利用

11I

而旬=7一瓦1對代數(shù)式進(jìn)行恒等變式是解決本題的關(guān)鍵.

15.8

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，首先根據(jù)直線表達(dá)式以及坐標(biāo)軸上點的特征求出40,5),8(10,0)；設(shè)點C的

坐標(biāo)為(a,b),過點C作軸于點M,過點。作ON，y軸于點N,則

MMC^MND,由相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合C￡>=3AC求出出點。的坐標(biāo)為(4a,4b-

15),根據(jù)反比例函數(shù)上點的坐標(biāo)之積相等，即可求出無值；連接B凡結(jié)合已知可得0、

B、尸、E四點共圓，所以點G是圓心，。尸是直徑，N08尸=90。；接下來求出點G的坐

標(biāo)，進(jìn)而即可得到點F的坐標(biāo)，設(shè)出點E的坐標(biāo)，再利用勾股定理進(jìn)行求解即可。

【詳解】

解：：直線y=-；x+5與坐標(biāo)軸交于A,8兩點，

A(0,5),B(10,0),

設(shè)點C的坐標(biāo)為(“，b),過點C作CM_Ly軸于點M,過點。作QV_Ly軸于點N,則

b=--a+5,CM=a,AM=5-b,/SAMC^^AND

2

,AMAC

"AN~AD

又?.?(7￡>=3AC,AD=AC+CD

.5-b_1

■■^47V-4

AN=4(5-b),

：.ON=OA-AN=5-4(5-b)=4b-l5,

???點。的坐標(biāo)為(4a,4^-15),

答案第12頁，共22頁

???點C、。在反比例y=§x>0)的圖像上，

：.k=ab=4a(4b-15^,

解得，氏4,

將6=4代入，匕=-ga+5得，a=2

解得％=4x2=8.

連接BF.

VNOFE=/ABO,

：.O.B、F、E四點共圓.

VZOEF=90°,OG=GF,

二點G是圓心，OF是直徑，

AZ6>BF=90°.

VB(10,0),

oo

???點G的橫坐標(biāo)為5,當(dāng)x=5時'y=-=-,

x5

Q

.,.點G的坐標(biāo)為(5”)，

■:OG=GF,

二點尸的坐標(biāo)為

設(shè)點E的坐標(biāo)為卜，-/+5)

由勾股定理可得。杼+￡：尸=0尸

所以f+(_gx+5)2+(10-X)2+(-1x+5-y)2=102+(y)2

1Q

解得，尤=￡或1°(舍去)，

點E的坐標(biāo)為.

故答案為：8,(工,翳).

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，四點共圓，直徑所對的圓周角是直角，勾

股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線，證明。、8、尺E四點

共圓.

答案第13頁，共22頁

16.工

3

【解析】

【分析】

如圖，延長8使C￡>=OG,1OG是等邊三角形，證明/△友W（5AS）,有

ZADM=NBAN,NDAP+N班N=60。，AGAD+ADAP+AGDA+AADP=\^,

AD

A、P、D、G四點共圓，圓的半徑為三，GB=2ABcos30°,當(dāng)G、P、8三點共線即

cos30°

G尸為圓的直徑時，鰭最短，時BP=GB-GP,計算求解即可.

【詳解】

解：如圖，延長。>使8=。6,

???四邊形A5CO是菱形，44)=60。

/.ZADG=60°,AD=GD

I.zkADG是等邊三角形

在/\ADM和ABAN中

AD=BA

?.?<NDAM=ZABN=60°

AM=BN

:.ZADM=ZBAN

,?NDAP+N84N=60。

:.ZGAD+ZDAP+ZGDA+ZADP=180°

答案第14頁，共22頁

AD

，A、P、D、G四點共圓，圓的半徑為F6a

cos30。一亍

GB=2ABcos30°=小

，當(dāng)G、P、8三點共線即GP為圓的直徑時，BP最短，

:.BP=GB-GP=>/3a-2x—=—

33

故答案為：叵.

3

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，四點共

圓，余弦等知識.解題的關(guān)鍵在于證明四點共圓.

17.(1)每件甲種商品的售價是140元，乙種商品的進(jìn)價是128元

(2)該商場購進(jìn)乙種商品40件

(3)這兩天憂憂在該商場購買甲乙兩種商品一共27或29件

【解析】

【分析】

(1)由甲的售價比進(jìn)價多40%,乙的售價比進(jìn)價多L,分別計算甲的售價，乙的進(jìn)價即

4

可解題；

(2)設(shè)乙種商品x件，根據(jù)購進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，花去11120元，列方程、解方

程即可解題；

(3)分兩種情況討論.

(1)

解：甲售價：100x(1+40%)=140(元)

乙進(jìn)價：160+[1+；)=128(元)

答：每件甲種商品的售價是140元，乙種商品的進(jìn)價是128元.

(2)

設(shè)乙種商品x件，

100x(100-x)+128x=11120

x=40

答案第15頁，共22頁

答：該商場購進(jìn)乙種商品40件.

(3)

第一天：1760+160=11(件)

第二天：2016+90%+140=16(件)或2016+80%+140=18(件)

11+16=27(件)或11+18=29(件)

答：這兩天憂憂在該商場購買甲乙兩種商品一共27或29件.

【點睛】

本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

卜=-3Jx=3Jx=-6卜=6

18'Iy=i'ly="i'ly=-2'jy=2

【解析】

【分析】

通過因式分解化簡原方程組可以得到四個方程組，分別解四個方程組即可.

【詳解】

222

解：-9y2=(x+3y)(x-3y),x-2xy+y-16=(x-y)-16-(x-y+4)(x-y-4)

x+3y=0x+3y=0jx-3y=0\x-3y=0

???原方程組可以化為:

x-y+4=0x-y-4=0'1x-y+4=0'[x-y-4=0

解這些方程組可得：(%=-3?1x=3[x=-61[x=6

1=1'[y=-l，b=-2'Ij=2

_,1>=-3fx=3fgx=-J6Ix=6

...原方程組的解為：gJ

>=2

【點睛】

本題考查了解方程組，解題的關(guān)鍵是通過因式分解的方法對方程組進(jìn)行降次，通過降次轉(zhuǎn)

化為我們所學(xué)習(xí)過的二元一次方程組進(jìn)行求解.

19.482

【解析】

【分析】

先根據(jù)題意設(shè)出一組實數(shù)，按照題干信息得出4+4+-+火=37,根據(jù)排序不等式，當(dāng)

%,b2,仇從小到大排列時，。占+出包+…+4々的值最大，S的值最小，然后分類進(jìn)

答案第16頁，共22頁

行討論，得出結(jié)果即可.

【詳解】

由對稱性，不妨設(shè)4<4,/=1,2,8,且2V…<。8，

則62=|q-4|+|出一4|+…+%-4|=（4--/升…+低一%）

=（4+%+?,,+/+4+A+一2（4+CV-）+?,?+4）

=（1+2+,?，+16）—2（q+g+???+仆）=136—2（4+&+,,,+4）,

?'?q+生+—,+4=37t

???,>1,a2>2f...,a8>8,

...6Z|+〃->+???+〃821+2+,,,+8=36,

若cij之8,則q+出+…+%+出N1+2+…+6+8+9=38>37,不'要,

/.<7,

于是〃i=l,4=2,%=3,4=4,4=5,4=6,%=7,%=9,瓦,%，…，仇是

8,10,11,12,13,14,15,16的一個排列，且二>9,

:S二（q—2+（%—4）~+…+（4—4）2

=（a；H—?+%）+（b[+優(yōu)+…+%）—2（q4+ci-fb^+…+/々）

=（1~+2~+…+16“）-2（4/?]+々32+…+。8a）.

根據(jù)排序不等式,當(dāng)據(jù)b2f...,“從小到大排列時,。占+出4+…+〃84的值最大，S的

值最小.

?.?當(dāng)4，”2‘”從小到大排列時，S=（4—4）-+（〃2—與）H--n（a8~^8）

=（l-8）2+（2-10）2+（3-H）2+（4-12）2+（5-13）2+（6-14）2+（7-15）2+（9-16）2=482,

??（4—4）~+（生—8）“--—々）2的最小值為482.

712+22+...+16，J6x（16+l）x（2xl6+l）=i496,

6

當(dāng)仇，b2,々從小到大排列時，

答案第17頁，共22頁

aQi+a2b2+…+a8b§=1x8+2x10+3x11+4x12+5x13+6x14+7x15+9x16=507,

222

S=((3,-^)+(02-^)+---+(^-^)=1496-2x507=482.

(a,-t>J~+(a2~^2)~"1---^(4—A)~的最小值為482.

【點睛】

本題主要考查力數(shù)列最小值計算，根據(jù)題干信息得出規(guī)律是解決本題得關(guān)鍵.

20.⑴見解析；

⑵2%

【解析】

【分析】

(1)連接AF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N8=N4CB=45。，BH=CH,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的的性質(zhì)

得到NAED+NAFZ)=180。，ZAHC+ZAFC=\S0°,從而證得A、E、D、尸四點共圓，A、

H、C、/四點共圓，求出/4FE=/AOE=45。，NAFH=NACH=45。,得到=

/AFE+N4FH=90°,證得FH_LFE,再證明△EAFgZsHA凡得至ljHF=FE；

(2)取線段AC的中點O,連接OF、OH,根據(jù)三角形中位線的定義得到。

AB=2,OF//AD,OH//AB,從而得到在△AB4繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，點尸從點，開

始，在以點O為圓心，2為半徑的圓上移動，當(dāng)a=180。時，B、A、。三點共線，確定“、

。、尸三點共線，根據(jù)公式求出點F經(jīng)過的路徑長.

(1)

證明：連接AF,

'：AB=AC,ZBAC=90°,AHLBC,

：.ZB=ZACB=45°,BH=CH,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知I,AD=AB=AC,AE=AH,NAED=/AHB=90。，NADE=NB=45°,NEAD

=NB4H=45°,

答案第18頁，共22頁

?:CF=DF,AC=AD9

AAF1CD,NDAF二NCAF,

：.ZAFD=ZAFC=90°f

ZAED=ZAHC=90°f

：.ZAED+ZAFD=180°,ZAHC+ZAFC=\S009

???A、E、D、尸四點共圓，A、H、C、尸四點共圓,

/.NAFE=/ADE=45°,ZAFH=ZACH=45°f

：.ZEFH=ZAFE+ZAFH=90°,

C.FHA.FE,

9：ZEAD=ZHAC=45°,4DAF=NCAF,

：.NEAD+/DAF=NHAC+NCAF,

：.ZEAF=ZHAFf

/.△EAF^AWAF,

：,HF=FE；

(2)

取線段AC的中點。，連接OF、OH,

???點/為。中點，點”為8c中點，點