上海市十二校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A． B． C． D．2．在中，角的對邊分別是，若，則的值為（）A．1 B． C． D．3．已知，則下列不等式正確的是（）A． B．C． D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成（）A．假設(shè)當(dāng)時，能被整除B．假設(shè)當(dāng)時，能被整除C．假設(shè)當(dāng)時，能被整除D．假設(shè)當(dāng)時，能被整除5．在直角坐標(biāo)系中，一個質(zhì)點(diǎn)從出發(fā)沿圖中路線依次經(jīng)過，，，，按此規(guī)律一直運(yùn)動下去，則（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10096．下列說法正確的個數(shù)有（）①用刻畫回歸效果，當(dāng)越大時，模型的擬合效果越差；反之，則越好；②命題“，”的否定是“，”；③若回歸直線的斜率估計值是，樣本點(diǎn)的中心為，則回歸直線方程是；④綜合法證明數(shù)學(xué)問題是“由因索果”，分析法證明數(shù)學(xué)問題是“執(zhí)果索因”。A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”.那么從長方體八個頂點(diǎn)中任取四個頂點(diǎn)，則這四個頂點(diǎn)組成的幾何體是“鱉臑”的概率為（）A． B． C． D．8．函數(shù)f（x）＝（x2﹣2x）ex的圖象可能是（）A． B．C． D．9．已知一袋中有標(biāo)有號碼、、的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，當(dāng)三種號碼的卡片全部取出時即停止，則恰好取次卡片時停止的概率為（）A． B． C． D．10．設(shè)，，都為大于零的常數(shù)，則的最小值為（）。A． B． C． D．11．已知，則不等式的解集為（）A． B． C． D．12．已知X的分布列為X－101P設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為A． B．4 C．－1 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．己知函數(shù)，則不等式的解集是_______.14．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則．15．若復(fù)數(shù)滿足，則的實部是_________.16．已知二項式展開式的第項與第項之和為零，那么等于____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列，的公比分別為，．（1）若，，求數(shù)列的前項和；（2）若數(shù)列，滿足，求證：數(shù)列不是等比數(shù)列．18．（12分）為了響應(yīng)黨的十九大所提出的教育教學(xué)改革，某校啟動了數(shù)學(xué)教學(xué)方法的探索，學(xué)校將高一年級部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個班，每班40人，甲班按原有傳統(tǒng)模式教學(xué)，乙班實施自主學(xué)習(xí)模式.經(jīng)過一年的教學(xué)實驗，將甲、乙兩個班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績?nèi)∑骄鶖?shù)，兩個班學(xué)生的平均成績均在，按照區(qū)間，，，，進(jìn)行分組，繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分（百分制）為優(yōu)秀.0.100.050.0252.7063.8415.024（1）完成表格，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”；甲班乙班合計大于等于80分的人數(shù)小于80分的人數(shù)合計（2）從乙班，，分?jǐn)?shù)段中，按分層抽樣隨機(jī)抽取7名學(xué)生座談，從中選三位同學(xué)發(fā)言，記來自發(fā)言的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和期望.19．（12分）2018年6月14日，國際足聯(lián)世界杯足球賽在俄羅斯舉行了第21屆賽事.雖然中國隊一如既往地成為了看客，但中國球迷和參賽的32支隊伍所在國球迷一樣，對本屆球賽熱情似火，在6月14日開幕式的第二天，我校足球社團(tuán)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了120名學(xué)生，對是否收看開幕式情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：收看沒收看男生6020女生2020（1）根據(jù)上表說明，能否有99%的把握認(rèn)為，是否收看開幕式與性別有關(guān)?（2）現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了開幕式的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取12人參加志愿者宣傳活動.（i）問男、女學(xué)生各選取了多少人？（ⅱ）若從這12人中隨機(jī)選取3人到校廣播站開展足球項目的宣傳介紹，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為X，寫出X的分布列，并求.附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.87920．（12分）已知函數(shù)fx（1）討論函數(shù)fx（2）當(dāng)n∈N*時，證明：21．（12分）伴隨著智能手機(jī)的深入普及，支付形式日漸多樣化，打破了傳統(tǒng)支付的局限性和壁壘，有研究表明手機(jī)支付的使用比例與人的年齡存在一定的關(guān)系，某調(diào)研機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了50人，對他們一個月內(nèi)使用手機(jī)支付的情況進(jìn)行了統(tǒng)計，如表：年齡（單位：歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人數(shù)510151055使用手機(jī)支付人數(shù)31012721（1）若以“年齡55歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“使用手機(jī)支付”與人的年齡有關(guān)；年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)合計使用不適用合計（2）若從年齡在[55，65），[65，75）內(nèi)的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中“使用手機(jī)支付”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望；參考數(shù)據(jù)如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828參考格式：，其中22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知傾斜角為α的直線l過點(diǎn)A（2，1）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點(diǎn)．（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程．（2）求｜AP｜?｜AQ｜的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

求導(dǎo)，并解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。【題目詳解】，，令，得或，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故選：A。【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有以下幾種方法：（1）基本性質(zhì)法；（2）圖象法；（3）復(fù)合函數(shù)法；（4）導(dǎo)數(shù)法。同時要注意，函數(shù)同類單調(diào)區(qū)間不能合并，中間用逗號隔開。2、C【解題分析】

在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依據(jù)余弦定理列出關(guān)于角的關(guān)系式，化簡即得．【題目詳解】∵，∴由正弦定理可得，即.由于，∴.∵，∴.又，由余弦定理可得，∴.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等變換．3、C【解題分析】

考慮到中不等號方向，先研究C，D中是否有一個正確。構(gòu)造函數(shù)是增函數(shù)，可得當(dāng)時，有,所以作差，，對可分類，和【題目詳解】令，顯然單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有,所以另一方面因為所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，（由遞增可得），∴，C正確。故選：C。【題目點(diǎn)撥】本題考查判斷不等式是否成立，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。對于不等式是否成立，有時可用排除法，即用特例，說明不等式不成立，從而排除此選項，一直到只剩下一個正確選項為止。象本題中有兩個選項結(jié)論幾乎相反（或就是相反結(jié)論時），可考慮先判斷這兩個不等式中是否有一個為真。如果這兩個都為假，再考慮兩個選項。4、D【解題分析】注意n為正奇數(shù)，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設(shè)．解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意n為奇數(shù)，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)n=2k-1（k∈N*）正確，再推n=2k+1正確；故選D．本題是基礎(chǔ)題，不僅注意第二步的假設(shè)，還要使n=2k-1能取到1，是解好本題的關(guān)鍵．5、D【解題分析】

分析：由題意得，即，觀察前八項，得到數(shù)列的規(guī)律，求出即可.詳解：由直角坐標(biāo)系可知，，即，由此可知，數(shù)列中偶數(shù)項是從1開始逐漸遞增的，且都等于所在的項數(shù)除以2，則，每四個數(shù)中有一個負(fù)數(shù)，且為每組的第三個數(shù)，每組的第一個數(shù)為其組數(shù)，每組的第一個數(shù)和第三個數(shù)是互為相反數(shù)，因為，則，，故選D.點(diǎn)睛：本題考查了歸納推理的問題，關(guān)鍵是找到規(guī)律，屬于難題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.6、C【解題分析】分析：結(jié)合相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，命題的否定的定義，回歸方程的性質(zhì)，推理證明即可分析結(jié)論.詳解：①為相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)的結(jié)論是：越大表明模擬效果越好，反之越差，故①錯誤；②命題“，”的否定是“，”；正確；③若回歸直線的斜率估計值是，樣本點(diǎn)的中心為，則回歸直線方程是；根據(jù)回歸方程必過樣本中心點(diǎn)的結(jié)論可得③正確；④綜合法證明數(shù)學(xué)問題是“由因索果”，分析法證明數(shù)學(xué)問題是“執(zhí)果索因”。根據(jù)綜合法和分析法定義可得④的描述正確；故正確的為：②③④故選C.點(diǎn)睛：考查命題真假的判斷，對命題的逐一分析和對應(yīng)的定義，性質(zhì)的理解是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

本題是一個等可能事件的概率，從正方體中任選四個頂點(diǎn)的選法是，四個面都是直角三角形的三棱錐有4×6個，根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行求解即可求得．【題目詳解】由題意知本題是一個等可能事件的概率，從長方體中任選四個頂點(diǎn)的選法是，以A為頂點(diǎn)的四個面都是直角三角形的三棱錐有：共個．同理以為頂點(diǎn)的也各有個，但是，所有列舉的三棱錐均出現(xiàn)次，四個面都是直角三角形的三棱錐有個，所求的概率是故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了古典概型問題，解題關(guān)鍵是掌握將問題轉(zhuǎn)化為從正方體中任選四個頂點(diǎn)問題，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.8、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)，以及單調(diào)性，逐項驗證.【題目詳解】，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，選項不正確，，令，當(dāng)或，當(dāng)，的遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是，所以選項不正確，選項正確.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖像的識別，考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】分析：由題意結(jié)合排列組合知識和古典概型計算公式整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：根據(jù)題意可知，取5次卡片可能出現(xiàn)的情況有種；由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有兩種編號，所以總的可能有種；所以恰好第5次停止取卡片的概率為.本題選擇B選項.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.10、B【解題分析】

由于，乘以，然后展開由基本不等式求最值，即可求解．【題目詳解】由題意，知，可得，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用基本不等式求最值問題，其中解答中根據(jù)題意給要求的式子乘以是解決問題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔題．11、A【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上遞增，而，由此將不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用單調(diào)性列不等式，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】由，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，故不等式可化為，，得，解得．故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查對數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】由條件中所給的隨機(jī)變量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案為：A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）＝x2（2x﹣2﹣x）為奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，則不等式f（2x+1）+f（1）0可以轉(zhuǎn)化為2x+1﹣1，解可得x的取值范圍，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，對于函數(shù)f（x）＝x2（2x﹣2﹣x），有f（﹣x）＝（﹣x）2（2﹣x﹣2x）＝﹣x2（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）＝x2（2x﹣2﹣x），其導(dǎo)數(shù)f′（x）＝2x（2x﹣2﹣x）+x2?ln2（2x+2﹣x）＞0，則f（x）為增函數(shù)；不等式f（2x+1）+f（1）0?f（2x+1）﹣f（1）?f（2x+1）f（﹣1）?2x+1﹣1，解可得x﹣1；即f（2x+1）+f（1）0的解集是[﹣1,+∞）；故答案為[﹣1,+∞）．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的求解，利用條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及利用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．14、【解題分析】試題分析：，而，所以，，故填：.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)15、【解題分析】

由得出，再利用復(fù)數(shù)的除法法則得出的一般形式，可得出復(fù)數(shù)的實部.【題目詳解】，，因此，復(fù)數(shù)的實部為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念，同時也考查了復(fù)數(shù)的除法，解題時要利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解題分析】

用項式定理展開式通項公式求得第4項和第5項，由其和為0求得．【題目詳解】二項式展開式的第項為，第5項為，∴，解得．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）分別求出，再得，仍然是等比數(shù)列，由等比數(shù)列前項和公式可得；（2）由已知，假設(shè)是等比數(shù)列，則，代入求得，與已知矛盾，假設(shè)錯誤．【題目詳解】（1），，，則；證明：（2）假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，可得，設(shè)數(shù)列的公比為，可得，因此有，即，因此有，與已知條件中不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，故數(shù)列不是等比數(shù)列．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式，前項和公式，考查否定性命題的證明．證明否定性命題可用反證法，假設(shè)結(jié)論的反面成立，結(jié)合已知推理出矛盾的結(jié)論，說明假設(shè)錯誤．也可直接證明，即能說明不是等比數(shù)列．18、（1）表格見解析，有；（2）分布列見解析，【解題分析】

（1）完善列聯(lián)表，計算，得到答案.（2）依題意隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，計算概率得到分布列，計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【題目詳解】（1）甲班乙班合計大于等于80分的人數(shù)122032小于80分的人數(shù)282048合計404080依題意得.有以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”.（2）從乙班，，分?jǐn)?shù)段中抽人數(shù)分別為2、3、2.依題意隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3.，，，，0123.【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.19、（1）有（2）（i）男生有9人，女生有3人.（ⅱ）見解析，【解題分析】

（1）套用公式，算出的值與6.635比較大小，即可得到本題答案；（2）（i）由男女的比例為3：1，即可得到本題答案；（ii）根據(jù)超幾何分布以及離散型隨機(jī)變量的均值公式，即可得到本題答案.【題目詳解】（1）因為，所以有99%的把握認(rèn)為，是否收看開幕式與性別有關(guān).（2）（ⅰ）根據(jù)分層抽樣方法得，男生人，女生人，所以選取的12人中，男生有9人，女生有3人.（ⅱ）由題意可知，X的可能取值有0，1，2，3.，，，X0123P∴.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分層抽樣，獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用和超幾何分布以及其分布列均值的求法，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20、（1）答案不唯一，具體見解析（2）見解析【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的套路，確定定義域，求導(dǎo)，解含參的不等式；（2）由（1）賦值放縮可以得到一函數(shù)不等式，再賦值將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為數(shù)列不等式，采用累加法即可證明不等式。【題目詳解】（1）解：因為f'x①當(dāng)a≤0時，總有f'x所以fx在0,+∞上單調(diào)遞減.②當(dāng)a>0時，令2ax-1x>0故x>12a時，f'x>0，所以fx同理2ax-1x<0時，有f'x<0，所以（2）由（1）知當(dāng)a>0時，fx若fxmin=0，則1因為fx≥fx當(dāng)n∈N*時，取x=n+1所以2故22【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及到含參不等式的討論，以及利用放縮法證明數(shù)列不等式，意在考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。21、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)題中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充列聯(lián)表，計算出的值，根據(jù)臨界值表找出犯錯誤的概率，于此可對題中的問題下結(jié)論；（2）先確定年齡在和的人數(shù)，可得知的取值有、、、，然后利用超幾何分布列的概率公式計算概率，列出隨機(jī)變量的分布列，并計算出的數(shù)學(xué)期望。【題目詳解