廣東省清連中學2024屆數學高二第二學期期末綜合測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是虛數單位，是的共軛復數，若，則的虛部為（）A． B． C． D．2．一位母親根據兒子歲身高的數據建立了身高與年齡(歲)的回歸模型，用這個模型預測這個孩子歲時的身高，則正確的敘述是（）A．身高在左右 B．身高一定是C．身高在以上 D．身高在以下3．函數為偶函數，且在單調遞增，則的解集為A． B．或C． D．或4．已知集合，，則()A． B． C． D．5．若復數，則（）A． B． C． D．6．已知展開式中項的系數為，其中，則此二項式展開式中各項系數之和是（）A． B．或 C． D．或7．已知集合，或，則（）A． B．C． D．8．已知復數（是虛數單位），則復數的共軛復數（）A． B． C． D．9．如圖，棱長為1的正方體中，P為線段上的動點（不含端點），則下列結論錯誤的是A．平面平面B．的取值范圍是（0，]C．的體積為定值D．10．一同學在電腦中打出如下若干個圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若將此若干個圈依此規律繼續下去,得到一系列的圈,那么在前55個圈中的●個數是（）A．10 B．9 C．8 D．1111．已知,為的導函數，則的圖象是（）A． B．C． D．12．函數是（）A．偶函數且最小正周期為2 B．奇函數且最小正周期為2C．偶函數且最小正周期為 D．奇函數且最小正周期為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的常數項為______。14．已知甲、乙、丙3名運動員擊中目標的概率分別為，，，若他們3人分別向目標各發1槍，則三槍中至少命中2次的概率為______．15．在正項等比數列中，，，則公比________.16．行列式的第2行第3列元素的代數余子式的值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的右焦點為，過作軸的垂線交橢圓于點（點在軸上方），斜率為的直線交橢圓于兩點，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.（1）設橢圓的離心率為，當點為橢圓的右頂點時，的坐標為，求的值.（2）若橢圓的方程為，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.18．（12分）已知定點及直線,動點到直線的距離為,若.(1)求動點的軌跡C方程；(2)設是上位于軸上方的兩點,坐標為,且,的延長線與軸交于點,求直線的方程.19．（12分）已知函數在處取得極值．(1)求實數a的值；(2)若關于x的方程在區間上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍．20．（12分）已知不等式的解集為．（1）求集合；（2）設實數，證明：．21．（12分）袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有1個，分別編號為1，2，3，1．現從袋中隨機取兩個球．（Ⅰ）若兩個球顏色不同，求不同取法的種數；（Ⅱ）在（1）的條件下，記兩球編號的差的絕對值為隨機變量X，求隨機變量X的概率分布與數學期望．22．（10分）已知二次函數f（x）的最小值為﹣4，且關于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|﹣1≤x≤3，x∈R}．（1）求函數f（x）的解析式；（2）求函數g（x）的零點個數．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】由題意可得：，則，據此可得，的虛部為.本題選擇A選項.2、A【解題分析】

由線性回歸方程的意義得解.【題目詳解】將代入線性回歸方程求得由線性回歸方程的意義可知是預測值，故選．【題目點撥】本題考查線性回歸方程的意義，屬于基礎題.3、D【解題分析】

根據函數的奇偶性得到，在單調遞增，得，再由二次函數的性質得到，【題目詳解】函數為偶函數，則，故，因為在單調遞增，所以.根據二次函數的性質可知，不等式，或者，的解集為，故選D.【題目點撥】此題考查了函數的對稱性和單調性的應用，對于抽象函數，且要求解不等式的題目，一般是研究函數的單調性和奇偶性，通過這些性質將要求的函數值轉化為自變量的大小比較，直接比較括號內的自變量的大小即可.4、C【解題分析】

先求出集合M，由此能求出M∩N．【題目詳解】則故選：C【題目點撥】本題考查交集的求法，考查交集定義、函數性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5、C【解題分析】分析：由題意結合復數的運算法則整理計算即可求得最終結果.詳解：由復數的運算法則可得：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查復數的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.6、B【解題分析】

利用二項式定理展開通項，由項的系數為求出實數，然后代入可得出該二項式展開式各項系數之和.【題目詳解】的展開式通項為，令，得，該二項式展開式中項的系數為，得.當時，二項式為，其展開式各項系數和為；當時，二項式為，其展開式各項系數和為.故選B.【題目點撥】本題考查二項式定理展開式的應用，同時也考查了二項式各項系數和的概念，解題的關鍵就是利用二項式定理求出參數的值，并利用賦值法求出二項式各項系數之和，考查運算求解能力，屬于中等題.7、C【解題分析】

首先解絕對值不等式，從而利用“并”運算即可得到答案.【題目詳解】根據題意得，等價于，解得，于是，故答案為C.【題目點撥】本題主要考查集合與不等式的綜合運算，難度不大.8、B【解題分析】分析：利用復數代數形式的乘除運算化簡求得z，再由共軛復數的概念得答案.詳解：，.故選：B.點睛：本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題.9、B【解題分析】

根據線面位置關系進行判斷．【題目詳解】∵平面，∴平面平面，A正確；若是上靠近的一個四等分點，可證此時為鈍角，B錯；由于，則平面，因此的底面是確定的，高也是定值，其體積為定值，C正確；在平面上的射影是直線，而，因此，D正確．故選B．【題目點撥】本題考查空間線面間的位置關系，考查面面垂直、線面平行的判定，考查三垂線定理等，所用知識較多，屬于中檔題．10、B【解題分析】將圓分組：第一組：○●，有個圓；第二組：○○●，有個圓；第三組：○○○●，有個，…，每組圓的總個數構成了一個等差數列，前組圓的總個數為，令，解得，即包含整組，故含有●的個數是個,故選B.【方法點睛】本題考查等差數列的求和公式及歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1)數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2)形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規律的歸納.11、A【解題分析】

先求得函數的導函數，再對導函數求導，然后利用特殊點對選項進行排除，由此得出正確選項.【題目詳解】依題意，令，則.由于，故排除C選項.由于，故在處導數大于零，故排除B,D選項.故本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查導數的運算，考查函數圖像的識別，屬于基礎題.12、C【解題分析】

首先化簡為，再求函數的性質.【題目詳解】，是偶函數，故選C.【題目點撥】本題考查了三角函數的基本性質，屬于簡單題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、240【解題分析】

根據二項式展開式通項公式確定常數項對應項數，再代入得結果【題目詳解】，令得，，所以的展開式中的常數項為.【題目點撥】本題考查求二項式展開式中常數項，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14、【解題分析】

設事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，則，，，他們3人分別向目標各發1槍，則三槍中至少命中2次的概率為：，由此能求出結果．【題目詳解】解：設事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，則，，，他們3人分別向目標各發1槍，則三槍中至少命中2次的概率為：．故答案為．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．15、【解題分析】

利用等比中項可求出，再由可求出公比.【題目詳解】因為，，所以，，解得.【題目點撥】本題考查了等比數列的性質，考查了計算能力，屬于基礎題.16、-11【解題分析】

根據代數余子式列式，再求行列式得結果【題目詳解】故答案為：-11【題目點撥】本題考查代數余子式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）不存在，理由見解析【解題分析】

（1）寫出，根據，斜率乘積為-1，建立等量關系求解離心率；（2）寫出直線AB的方程，根據韋達定理求出點B的坐標，計算出弦長，根據垂直關系同理可得，利用等式即可得解.【題目詳解】（1）由題可得，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.點為橢圓的右頂點時，的坐標為，即，，化簡得：，即，解得或（舍去），所以；（2）橢圓的方程為，由（1）可得，聯立得：，設B的橫坐標，根據韋達定理，即，，所以，同理可得若存在使得成立，則，化簡得：，，此方程無解，所以不存在使得成立.【題目點撥】此題考查求橢圓離心率，根據直線與橢圓的位置關系解決弦長問題，關鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法，尤其是韋達定理在解決解析幾何問題中的應用.18、（1）（2）【解題分析】

（1）直接把條件用坐標表示，并化簡即可；（2）設，由可得的關系，的關系，再結合在曲線上，可解得，從而能求得的方程．【題目詳解】（1）設，則由，知又，∴由題意知：∴∴∴點的軌跡方程為（2）設，∵∴為中點，∵∴∴又，∴又，∴∵，∴，∴∴直線方程為【題目點撥】本題考查橢圓的軌跡方程，直線與橢圓的位置關系，求軌跡方程用的是直接法，另外還有定義法、相關點法、參數法、交軌法等．19、(1)；(2)．【解題分析】

（Ⅰ）函數，對其進行求導，在處取得極值，可得，求得值；

（Ⅱ）由知，得令則關于的方程在區間上恰有兩個不同的實數根，轉化為上恰有兩個不同實數根，對對進行求導，從而求出的范圍；【題目詳解】（Ⅰ）時，取得極值，故解得.經檢驗符合題意．（Ⅱ）由知，得令則在上恰有兩個不同的實數根，等價于上恰有兩個不同實數根.當時，，于是上單調遞增；當時，，于是在上單調遞增；依題意有.【題目點撥】本題考查利用導數研究函數的極值及單調性以及方程的實數根問題，解題過程中用到了分類討論的思想，分類討論的思想也是高考的一個重要思想，要注意體會其在解題中的運用，屬中檔題．20、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）對分、、三種情況討論，去絕對值，分別解出不等式，可得出不等式的解集；（2）證法一：由題意得出，，將不等式兩邊作差得出，由此可得出所證不等式成立；證法二：利用分析法得出所證不等式等價于，由題意得出，，判斷出的符號，可得出所證不等式成立.【題目詳解】（1）當時，不等式化為：，解得；當時，不等式化為：，解得；當時，不等式化為：，解得.綜上可知，；（2）證法一：因為，，所以，.而，所以；證法二：要證，只需證：，只需證：，因為，，所以，.所以成立，所以成立.【題目點撥】本題考查利用分類討論法解絕對值不等式，以及利用分析法和比較法證明不等式，證明時可結合不等式的結構合理選擇證明方法，考查分類討論思想和邏輯推理能力，屬于中等題.21、（1）96（2）見解析【解題分析】

（1）兩個球顏色不同的情況共有12＝96(種).（2）隨機變量X所有可能的值為0，1，2，2．P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝2)＝所以隨機變量X的概率分布列為：X0122P所以E(X)＝0＋1＋2＋2＝．點睛：求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.22、（1）；（2）個零點.【解題分析】

解：（1）∵f（x）是二次函數，且關于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|﹣1≤x≤3，x∈R}，∴f（x）＝a（x+1）（x﹣3）＝a[（x﹣1）2﹣4