2024屆銅仁市重點中學數學高二下期末教學質量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中，，且，點滿足，則A． B． C． D．2．設函數，，給定下列命題：①若方程有兩個不同的實數根，則；②若方程恰好只有一個實數根，則；③若，總有恒成立，則；④若函數有兩個極值點，則實數.則正確命題的個數為（）A． B． C． D．3．已知，命題“若，則.”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知與之間的一組數據，則與的線性回歸方程必過點（）A． B． C． D．5．函數的部分圖象大致為（）A． B．C． D．6．函數的導函數是（）A． B．C． D．7．（）A． B． C． D．8．函數的單調遞增區間是（）A． B． C．(1,4) D．(0,3)9．若函數的定義域為，則函數的定義域為（）A． B． C． D．10．在一次試驗中，測得的四組值分別是A（1,2），B（3,4），C（5,6）D（7,8），則y與x之間的回歸直線方程為（）A． B． C． D．11．已知是以為周期的偶函數，當時，，那么在區間內，關于的方程（且）有個不同的根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．設，則的虛部是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，則關于x的不等式的解集是_______.14．在回歸分析中，分析殘差能夠幫助我們解決的問題是：_____________________.(寫出一條即可)15．冪函數在上為增函數，則實數的值為_______．16．是虛數單位，若復數是純虛數，則實數____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在中，，，.（1）求邊的長；（2）設為邊上一點，且的面積為，求.18．（12分）某市政府為了節約生活用電，計劃在本市試行居民生活用電定額管理，即確定一戶居民月用電量標準a，用電量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費為此，政府調查了100戶居民的月平均用電量單位：度，以，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖所示．根據頻率分布直方圖的數據，求直方圖中x的值并估計該市每戶居民月平均用電量的值；用頻率估計概率，利用的結果，假設該市每戶居民月平均用電量X服從正態分布估計該市居民月平均用電量介于度之間的概率；利用的結論，從該市所有居民中隨機抽取3戶，記月平均用電量介于度之間的戶數為，求的分布列及數學期望．19．（12分）在某地區2008年至2014年中，每年的居民人均純收入y（單位：千元）的數據如下表：對變量t與y進行相關性檢驗，得知t與y之間具有線性相關關系．（1）求y關于t的線性回歸方程；（2）預測該地區2016年的居民人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，20．（12分）如圖，直角梯形中，，，，，底面，底面且有.（1）求證：；（2）若線段的中點為，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）如圖，在圓心角為，半徑為的扇形鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點為圓心，點在圓弧上，點在兩半徑上，現將此矩形鐵皮卷成一個以為母線的圓柱形鐵皮罐的側面(不計剪裁和拼接損耗)，設矩形的邊長，圓柱形鐵皮罐的容積為.（1）求圓柱形鐵皮罐的容積關于的函數解析式，并指出該函數的定義域；（2）當為何值時，才使做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大？最大容積是多少？(圓柱體積公式：，為圓柱的底面枳，為圓柱的高）22．（10分）為了調查我市在校中學生參加體育運動的情況，從中隨機抽取了16名男同學和14名女同學，調查發現，男、女同學中分別有12人和6人喜愛運動，其余不喜愛.（1）根據以上數據完成以下列聯表：（2）根據列聯表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為性別與喜愛運動有關？（3）將以上統計結果中的頻率視作概率，從我市中學生中隨機抽取3人，若其中喜愛運動的人數為，求的分布列和均值.參考數據：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用向量的坐標運算即可求解．詳解：由題意，以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設點，則，又由，所以，即，所以，所以，故選D．點睛：本題主要考查了向量的坐標表示與向量的坐標運算問題，其中恰當的建立直角坐標系，求得向量的坐標，利用向量的數量積的運算公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計算能力．2、C【解題分析】

利用導數研究函數的單調性，零點，極值以及恒成立問題.【題目詳解】對于①，的定義域，，令有即，可知在單調遞減，在單調遞增，，且當時，又，從而要使得方程有兩個不同的實根，即與有兩個不同的交點，所以，故①正確對于②，易知不是該方程的根，當時，，方程有且只有一個實數根，等價于和只有一個交點，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為．由大致圖像可知或，故②錯對于③當時，恒成立，等價于恒成立，即函數在上為增函數，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調遞增，在上單調遞減，則，于是，故③正確.對于④有兩個不同極值點，等價于有兩個不同的正根，即方程有兩個不同的正根，由③可知，，即，則④正確.故正確命題個數為3，故選.【題目點撥】本題考查利用導數研究函數有關性質，屬于基礎題目．解題時注意利用數形結合，通過函數圖象得到結論．3、C【解題分析】

先寫出原命題的逆命題，否命題，再判斷真假即可,這里注意的取值,在判斷逆否命題的真假時，根據原命題和它的逆否命題具有相同的真假性判斷原命題的真假即可.【題目詳解】解：逆命題:設，若，則a＞b,由可得，能得到a＞b，所以該命題為真命題;否命題設，若a≤b，則,由及a≤b可以得到，所以該命題為真命是題；因為原命題和它的逆否命題具有相同的真假性，所以只需判斷原命題的真假即可，當時，，所以由a＞b得到，所以原命題為假命題，即它的逆否命題為假命題;故為真命題的有2個.故選C.【題目點撥】本題主要考查四種命題真假性的判斷問題，由題意寫出原命題的逆命題，否命題并判斷命題的真假是解題的關鍵.4、C【解題分析】

計算出和，即可得出回歸直線必過的點的坐標.【題目詳解】由題意可得，，因此，回歸直線必過點，故選：C.【題目點撥】本題考查回歸直線必過的點的坐標，解題時要熟悉“回歸直線過樣本中心點”這一結論的應用，考查結論的應用，屬于基礎題.5、A【解題分析】

判斷函數的奇偶性，排除B，確定時函數值的正負，排除C，再由時函數值的變化趨勢排除D．從而得正確結論．【題目詳解】因為是偶函數，排除B，當時，，，排除C，當時，排除D.故選：A.【題目點撥】本題考查由解析式選圖象，可能通過研究函數的性質，如奇偶性、單調性、對稱性等排除一些選項，通過特殊的函數值、特殊點如與坐標軸的交點，函數值的正負等排除一些，再可通過函數值的變化趨勢又排除一些，最多排除三次，剩下的最后一個選項就是正確選項．6、D【解題分析】

根據導數的公式即可得到結論．【題目詳解】解：由，得故選：D．【題目點撥】本題考查了導數的基本運算，屬基礎題．7、C【解題分析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡，即可得到答案．【題目詳解】由，故選C．【題目點撥】本題主要考查了復數代數形式的乘除運算，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．8、B【解題分析】

求出函數的導數，在解出不等式可得出所求函數的單調遞增區間.【題目詳解】，，解不等式，解得，因此，函數的單調遞增區間是，故選B.【題目點撥】本題考查函數單調區間的求解，一般是先求出導數，然后解出導數不等式，將解集與定義域取交集得出單調區間，但單調區間不能合并，考查計算能力，屬于中等題.9、B【解題分析】

由抽象函數的定義域，對數的真數大于零，分母不為零，列出不等式，從而求出的定義域。【題目詳解】由題可得：，解得且，所以函數的定義域為；故答案選B【題目點撥】本題主要抽象函數與初等函數的定義域，屬于基礎題。10、A【解題分析】分析：根據所給的這組數據，取出這組數據的樣本中心點，把樣本中心點代入所給的四個選項中驗證，若能夠成立的只有一個，這一個就是線性回歸方程．詳解：∵，∴這組數據的樣本中心點是（4，5）把樣本中心點代入四個選項中，只有y=x+1成立，故選A．點睛：本題考查求線性回歸方程，一般情況下是一個運算量比較大的問題，解題時注意平均數的運算不要出錯，注意系數的求法，運算時要細心，但是對于一個選擇題，還有它特殊的加法．11、B【解題分析】

由已知，函數在區間的圖象如圖所示，直線y（且）表示過定點的直線，為使關于的方程（且）有個不同的根，即直線與函數的圖象有4個不同的交點.結合圖象可知，當直線介于直線和直線之間時，符合條件，故選.考點：函數的奇偶性、周期性，函數與方程，直線的斜率，直線方程.12、B【解題分析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得，進而可得的虛部.【題目詳解】∵，∴，∴的虛部是，故選B．【題目點撥】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，共軛復數的概念，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求出是奇函數，且在定義域上是單減函數，變形再利用單調性解不等式可得解.【題目詳解】，是奇函數，又是上的減函數，是上的增函數，由函數單調性質得是上的減函數.,則，由奇函數得且是上的減函數.，，又不等式的解集是故答案為：【題目點撥】本題考查利用函數奇偶性和單調性解指對數方程或不等式.有關指對數方程或不等式的求解思路：利用指對數函數的單調性，要特別注意底數的取值范圍，并在必要時進行分類討論．14、尋找異常點，考查相應的樣本數據是否有錯【解題分析】

分析殘差是回歸診斷的一部分，可以幫助我們發現樣本數據中的錯誤，分析模型選擇是否合適．【題目詳解】分析殘差能夠幫助我們解決的問題是：尋找異常點，考查相應的樣本數據是否有錯；故答案為：尋找異常點，考查相應的樣本數據是否有錯．【題目點撥】本題考查線性回歸方程中殘差的作用，是基礎題．15、【解題分析】

由函數是冪函數，列方程求出的值，再驗證是否滿足題意．【題目詳解】解：由函數是冪函數，則，解得或；當時，，在上為減函數，不合題意；當時，，在上為增函數，滿足題意．故答案為．【題目點撥】本題考查了冪函數的定義與應用問題，是基礎題．16、2【解題分析】

化簡復數，實部為0，計算得到答案.【題目詳解】為純虛數故答案為2【題目點撥】本題考查了復數的計算，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3；（2）.【解題分析】

（1）利用三角形內角和定理，將轉化為，化簡已知條件求得，然后求得，利用等腰三角形求得的長.（2）利用三角形面積列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值.【題目詳解】解：（1）由及，得，展開得，即，所以.所以，即，所以.（2）由，解得.在中，，所以.由，得，所以.【題目點撥】本小題主要考查三角形內角和定理，考查三角恒等變換，考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，綜合性較強，屬于中檔題.18、(1)225.6.(2)（i）；（ii）分布列見解析；.【解題分析】分析：（1）由矩形面積和為列方程可得，利用每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標相乘后求和，即可得到該市每戶居民平均用電量的值；(2)（i）由正態分布的對稱性可得結果；（ii）因為，則，，從而可得分布列，利用二項分布的期望公式可得結果.詳解：（1）由得（2）（i）（ii）因為，∴，.所以的分布列為0123所以點睛：“求期望”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望．對于某些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項分布），則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得．因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度．19、（1）（2）千元【解題分析】

（1）根據所給的數據利用最小二乘法．寫出線性回歸方程的系數和a的值，寫出線性回歸方程，注意運算過程中不要出錯．（2）將2016年的年份代號t＝9代入前面的回歸方程，預測該地區2016年的居民人均純收入．【題目詳解】解：（1）由已知表格的數據，得，，，，∴．∴．∴y關于t的線性回歸方程是．（2）由（1），知y關于t的線性回歸方程是．將2016年的年份代號代入前面的回歸方程，得．故預測該地區2016年的居民人均收入為千元．【題目點撥】本題考查線性回歸方程，是一個基礎題，解題的關鍵是利用最小二乘法寫出線性回歸系數，注意解題的運算過程不要出錯．20、(1)證明見解析；(2).【解題分析】試題分析：（1）根據線段長度的關系得到，，、是平面內的相交直線，平面，進而得到線線垂直；（2）常用的方法是建系，建立空間坐標系，求得直線的方向向量和面的法向量，根據向量的夾角公式得到線面角.解析：（1），，且是等腰直角三角形，平面中，，，可得，即底面，底面，、是平面內的相交直線，平面平面，（2）解法一：幾何法如圖，過點作，垂足為，連接，，，，，平面，平面，結合且，可得平面是在平面內的射影，可得就是直線與平面所成的角.中，，中，，，，可得因此，在中，即直線與平面所成角的正弦值是.解法二：向量法如圖，以點為坐標原點，直線為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，所以：設平面的一個法向量為，由可取設直線與平面所成角為，則.21、（1）；（2），.【解題分析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根據周長公式得半徑，再根據圓柱體積公式求V(x)，最后根據實際意義確定定義域，（2）先求導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，確定函數單調性，進而得函數最值.詳解：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝，設圓柱底面半徑為r，則＝2πr，即4＝3600－，所以V(x)＝π＝π··x＝，即鐵皮罐的容積為V(x)關于x的函數關系式為V(x)＝，定義域為(0，60).（2）由V′(x)＝＝0，x∈(0，60)，得x＝20．列表如下：x(0，20)20(20，60)V′(x)＋0－V(x)↗極大值V(20)↘所以當x＝20時，V(x)有極大值，也是最大值為.答：當x為20cm時，做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大，最大容積是.點睛：利用導數解答函數