§9-5圖乘法位移計算舉例òkidsEIMMòT=kiCEIdxMMEI1?ò?==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòTBAkMdxxtgMEIi1a是直線òTkidxEIMM直桿αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ω注：y0=x0tgα①∑表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。②圖乘法的應用條件：a）EI=常數；b）直桿；c）兩個彎矩圖至少有一個是直線。③豎標y0取在直線圖形中，對應另一圖形的形心處。④面積ω與豎標y0在桿的同側，ωy0

取正號，否則取負號。⑤幾種常見圖形的面積和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線ω=hl/3二次拋物線ω=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線ω=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點頂點⑥當圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a）曲桿或EI=EI（x）時，只能用積分法求位移；b）當EI分段為常數或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2

MPMPP=1l

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqAB例：求梁B點轉角位移。例：求梁B點豎向線位移。3l/4M、MP均非直線時，應分段圖乘再疊加。PPaaa例：求圖示梁中點的撓度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求圖示梁C點的撓度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw5Pl/6？？⑦非標準圖形乘直線形

a）直線形乘直線形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdacl+++=226??dc?è?+323bl+2dc???è?+332al=2òyydxMMki+=2211wwMiMk各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標在基線同側乘積取正，否則取負。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）

=111（1）32649S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）

=－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）

=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）

=332364（3）9（2）32649（4）2369＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非標準拋物線乘直線形

E=3.3×1010N/m2

I=1/12×100×2.53cm4=1.3×10-6m4

折減抗彎剛度

0.85EI=0.85×1.30×10-6×3.3×1010=3.6465×104Nm2例：預應力鋼筋混凝土墻板單點起吊過程中的計算簡圖。已知：板寬1m，厚2.5cm，混凝土容重為25000N/m3，求C點的撓度。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABC解：q=25000×1×0.025＝625N/m折減抗彎剛度

0.85EI=3.6465×104Nm2200378P=10.8MP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABCω1y1ω3y3ω2y2P=111ly1y2y323=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=????è?++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DMyyyEIwww↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPω1ω2ω2BNP=ql/2NP=0900193434832101222122423=====DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=××==D?PNEAqlEAlqlEAlNN求AB兩點的相對水平位移。36189MPP=1P=163)()??=EI-756??×××+3322318?è?××××-+EI643636311??+×××-2639632(?è?×+×-××+××-=DEI61833631826362661↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常數99999994kN4kN.m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m4m4mEIAB求θB5kN12844MPkN.m1kN.mql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEIB1ql2/83ql2/2MPl求B點豎向位移。5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020m求A點水平位移。P=1MPql2/2

ll/2AB2EIEIl/2求B點的豎向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+·-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222ú?ù++ê?é++lqlEIlB432831122··=DEIqlllqlEIB843231142=·=DylqlEIB283312102+·=DLq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2？ql2/32y0求ΔDVPPP4m×3=12m3mABDC5P－8PP=15/3－4/30000000000－1－3Pòò-+llPllPdxEIMMdxEIMM1111òò+=llPlPdxEIMMdxEIMM11201òò+=DllPlPdxEIMMdxEIMM11201()ò-－llPdxMMMEI1211ò=lPdxMMEI011MPMPx↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qll11M1M2例：試求等截面簡支梁C截面的轉角。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/54l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51=qllqll125853225252122ú?ù·????è?···+··-lqlEIC2183212ê?é···=qEIql100333=2-1、圖示虛擬的廣義單位力狀態，可求什么位移。（

）ABP=1/lP=1/lP=1/lP=1/lllC

ABP=1/lP=1/ll⑤ABP=1/lP=1/ll（

）④AB桿的轉角AB連線的轉角AB桿和AC桿的相對轉角§9-6靜定結構由于溫度改變而產生的位移計算1）溫度改變對靜定結構不產生內力，變形和位移是材料自由膨脹、收縮的結果。2）假設：溫度沿截面高度為線性分布。t1t2t0hh1h23）微段的變形

dsdθat0ds

=

aΔt/hγ=0Δ±Δit=MNhttwawa0∫∫Δ±=ΔitdshtMdstNaa0該公式僅適用于靜定結構ε=at0at1dsat2ds例9-11求圖示剛架C點的豎向位移。各桿截面為矩形。aa0

+10

+10

CP=1P=1－1aN+D=D??thtNMc0wawa=-=Dt10010ooo=+=t520100oo()-+a5a???è?+-=haa315a-=ah23102a例：求圖示桁架溫度改變引起的AB桿轉角.解：構造虛擬狀態Ni§9-7靜定結構由于支座移動而產生的位移計算靜定結構由于支座移動不會產生內力和變形，所以e=0，k=0，g=0。代入得到：僅用于靜定結構abl/2l/2h110=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX應用條件：1)應力與應變成正比;2)變形是微小的。即:線性變形體系。P1P2①F1F2②N1

M1

Q1N2

M2

Q2一、功的互等定理?ò???è?++dsGAQkQEIMMEANN121212?=D

=FW21?ò

???è?++=dsGAQkQEIMMEANN212121?D

=PW12功的互等定理：在任一線性變形體系中，狀態①的外力在狀態②的位移上作的功W12等于狀態②的外力在狀態①的位移上作的功W21。即：W12=W21§9-7互等定理Δ’1Δ’2Δ’’1Δ’’2二、位移互等定理P1①P2②

位移互等定理：在任一線性變形體系中，由荷載P1所引起的與荷載P2相應的位移影響系數δ21

等于由荷載P2所引起的與荷載P1相應的位移影響系數δ12

。或者說,由單位荷載P1=1所引起的與荷載P2相應的位移δ21等于由單位荷載P2=1所引起的與荷載P1相應的位移δ12

。Δ21Δ12jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121稱為位移影響系數，等于Pj=1所引起的與Pi相應的位移。注意：1）這里荷載可以是廣義荷載，位移是相應的廣義位移。

2）δ12與δ21不僅數值相等，量綱也相同。三、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121RcR×+×=221120cRR×+×221110稱為反力影響系數，等于cj=1所引起的與ci相應的反力。

反力互等定理：在任一線性變形體系中，由位移c1所引起的與位移c2相應的反力影響系數r21

等于由位移c2所引起的與位移c1相應的反力影響系數r12

。或者說,由單位位移c1=1所引起的與位移c2相應的反力r21等于由單位位移c2=1所引起的與位移c1相應的反力r12

。

注意：1）這里支座位移可以是廣義位移，反力是相應的廣義力。

2）反力互等定理僅用于超靜定結構。四.反力位移互等定理:單位廣義力引起的結構中某支座的反力等于該支座發生單位廣義位移所引起的單位廣義力作用