安徽省蚌埠四校2024屆數學高二下期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．空間中不共面的4點A，B，C，D，若其中3點到平面的距離相等且為第四個點到平面的倍，這樣的平面的個數為（）A．8 B．16 C．32 D．482．設，若，則數列是（）A．遞增數列 B．遞減數列C．奇數項遞增，偶數項遞減的數列 D．偶數項遞增，奇數項遞減的數列3．我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞4．設函數是定義在實數集上的奇函數，在區間上是增函數，且，則有（）A． B．C． D．5．某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為()A．100 B．150C．200 D．2506．已知定義在上的奇函數滿足，且當時，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-27．設，是兩個不重合的平面，，是空間兩條不重合的直線，下列命題不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則8．某城市關系要好的，，，四個家庭各有兩個小孩共人，分別乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐名（乘同一輛車的名小孩不考慮位置），其中戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的名小孩恰有名來自于同一個家庭的乘坐方式共有（）A．種 B．種 C．種 D．種9．復數滿足，且在復平面內對應的點在第四象限，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．我國高鐵發展迅速，技術先進.經統計，在經停某站的高鐵列車中，每天的正點率服從正態分布，且，則（）A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.9911．已知集合，，現從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素組合，則可以組成這樣的新集合的個數為（）A． B． C． D．12．利用數學歸納法證明不等式的過程中，由變成時，左邊增加了（）A．1項 B．項 C．項 D．項二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與圓相交的弦長為__________．14．向量與之間的夾角的大小為__________.15．已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量方向上的投影為________．16．有編號分別為1，2，3，4，5的5個黑色小球和編號分別為1，2，3，4，5的5個白色小球，若選取的4個小球中既有1號球又有白色小球，則有______種不同的選法.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）《福建省高考改革試點方案》規定：從2018年秋季高中入學的新生開始，不分文理科；2021年開始，高考總成績由語數外3門統考科目和物理、化學等六門選考科目構成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級，參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%、7%、18%、22%、22%、18%、7%、3%，選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到[91，100]、[81，90]、[71.80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八個分數區間，得到考生的等級成績，某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六門選考科目進行測試，其中化學考試原始成績基本服從正態分布．（1）求化學原始成績在區間（57，96）的人數；（2）以各等級人數所占比例作為各分數區間發生的概率，按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記表示這3人中等級成績在區間[71，90]的人數，求事件的概率(附：若隨機變量，,）18．（12分）已知函數（其中），．（Ⅰ）若命題“”是真命題，求的取值范圍；（Ⅱ）設命題：；命題：．若是真命題，求的取值范圍．19．（12分）在平面直角坐標系中，直線：，以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.設直線與曲線交于，兩點.（1）當時，求，兩點的直角坐標；（2）當變化時，求線段中點的軌跡的極坐標方程.20．（12分）已知函數．（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集不是空集，求實數的取值范圍．21．（12分）在如圖所示的六面體中，面是邊長為的正方形，面是直角梯形，，，.（Ⅰ）求證：//平面；（Ⅱ）若二面角為，求直線和平面所成角的正弦值.22．（10分）已知函數，.（Ⅰ）當時，求的單調區間與極值；（Ⅱ）當時，若函數在上有唯一零點，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由題意分類討論各種情況，然后利用加法原理確定滿足題意的平面的個數即可.【題目詳解】第一種情況，A，B，C，D點在平面的同側.當平面∥平面BCD時，A與平面的距離是與平面BCD的距離的2倍.這種情況下有4個平面.第二種情況，A，B，C，D中有3個點在平面的一側，第4個點在平面的另一側，這時又有兩種情形：一種情形是平面與平面BCD平行，且A與平面的距離是平面與平面BCD距離的2倍.這時有4個平面.另一種情形如圖a所示，圖中E，F分別是AB，AC的中點，K是AD的三等分點中靠近A的分點，A，B，C到平面EFK（即平面）的距離是D到平面EFK距離的一半.∵EF可以是AB，AC的中點的連線，又可以是AB，BC的中點的連線，或AC，BC的中點的連線，∴這種情形下的平面有3×4=12（個）.第三種情況，如圖b所示，在A，B，C，D四點中，平面兩側各種有兩點.容易看出：點A到平面EFMN（平面）的距離是B，C，D到該平面距離的2倍．就A，C與B，D分別位于平面兩側的情形來看，就有A離平面遠，B離平面遠，C離平面遠，D離平面遠這四種情況.又“AC，BD異面，則這樣的異面直線共有3對，∴平面有4×3=12（個）.綜上分析，平面有4+4+12+12=32（個）.故選C.【題目點撥】本題主要考查分類討論的數學思想，計數原理的應用，空間幾何體的結構特征等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、C【解題分析】

根據題意，由三角函數的性質分析可得，進而可得函數為減函數，結合函數與數列的關系分析可得答案。【題目詳解】根據題意，，則，指數函數為減函數即即即即，數列是奇數項遞增，偶數項遞減的數列，故選：C.【題目點撥】本題涉及數列的函數特性，利用函數單調性，通過函數的大小，反推變量的大小，是一道中檔題目。3、B【解題分析】

設塔頂的a1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．4、A【解題分析】

由題意可得，，再利用函數在區間上是增函數可得答案.【題目詳解】解：為奇函數，，又，，又，且函數在區間上是增函數，，，故選A.【題目點撥】本題考查利用函數的單調性、奇偶性比較函數值的大小，考查利用知識解決問題的能力.5、A【解題分析】試題分析：根據已知可得：，故選擇A考點：分層抽樣6、B【解題分析】

根據f（x）是R上的奇函數，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【題目詳解】∵是定義在R上的奇函數，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時，；∴由奇函數性質可得；∴；∴時，；∴.故選：B.【題目點撥】本題考查利用函數的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據條件先推導出周期，利用函數的周期變換來求解，考查理解能力和計算能力，屬于中等題.7、D【解題分析】

選項逐一分析，得到正確答案.【題目詳解】A.正確，垂直于同一條直線的兩個平面平行；B.正確，垂直于同一個平面的兩條直線平行；C.正確，因為平面內存在直線，使，若，則，則；D.不正確，有可能.故選D.【題目點撥】本題重點考查了平行和垂直的概念辨析問題，屬于簡單題型.8、B【解題分析】若A戶家庭的李生姐妹乘坐甲車,即剩下的兩個小孩來自其他的2個家庭,有種方法.若A戶家庭的李生姐妹乘坐乙車,那來自同一家庭的2名小孩來自剩下的3個家庭中的一個,有.所以共有12+12=24種方法.本題選擇B選項.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．9、C【解題分析】

首先化簡，通過所對點在第四象限建立不等式組，得到答案.【題目詳解】根據題意得，，因為復平面內對應的點在第四象限，所以，解得，故選C.【題目點撥】本題主要考查復數的四則運算，復數的幾何意義，難度不大.10、D【解題分析】

根據正態分布的對稱性，求得指定區間的概率.【題目詳解】由于，故，故選D.【題目點撥】本小題主要考查正態分布的對稱性，考查正態分布指定區間的概率的求法，屬于基礎題.11、C【解題分析】

利用分類計數加法原理和分步計數乘法原理計算即可，注意這個特殊元素的處理.【題目詳解】已知集合，，現從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素組合，分為2類：含5，不含5；則可以組成這樣的新集合的個數為個.故選C.12、D【解題分析】

分別寫出、時，不等式左邊的式子，從而可得結果.【題目詳解】當時，不等式左邊為，當時，不等式左邊為，則增加了項，故選D.【題目點撥】項數的變化規律，是利用數學歸納法解答問題的基礎，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規律；二是相鄰兩項之間的變化規律.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

將極坐標方程化為直角坐標系方程是常用方法．【題目詳解】將直線化為普通方程為：，∵，∴，化為普通方程為：，即，聯立得，解得，∴直線與圓相交的弦長為，故答案為．考點：簡單曲線的極坐標方程．14、120°【解題分析】

首先求得向量的數量積和向量的模，然后利用夾角公式即可求得向量的夾角.【題目詳解】由題意可得：，，，則.故答案為：120°．【題目點撥】本題主要考查空間向量夾角的計算，空間向量數量積和向量的模的計算等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.15、【解題分析】

由題知，，再根據投影的概念代入計算即可.【題目詳解】，，所以向量在向量方向上的投影為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了向量模的坐標計算，投影的概念與計算.16、136【解題分析】分析：分兩種情況：取出的4個小球中有1個是1號白色小球；取出的4個小球中沒有1號白色小球.詳解：由題，黑色小球和白色小球共10個，分兩種情況：取出的4個小球中有1個是1號白色小球的選法有種；取出的4個小球中沒有1號白色小球，則必有1號黑色小球，則滿足題意的選法有種，則滿足題意的選法共有種.即答案為136.點睛：本題考查分步計數原理、分類計數原理的應用，注意要求取出的“4個小球中既有1號球又有白色小球”．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1636人（2）【解題分析】

（1），結合正態分布的性質，可求出概率，然后由總人數為2000，可求出化學原始成績在的人數；（2）結合獨立重復試驗概率公式可求出概率.【題目詳解】解：（1）因為化學原始成績，所以．所以化學原始成績在的人數為（人）．（2）因為以各等級人數所占比例作為各分數區間發生的概率，且等級成績在區間、的人數所占比例分別為、，則隨機抽取1人，其等級成績在區間內的概率為．所以從全省考生中隨機抽取3人，則的所有可能取值為0，1，2，3，且，所以．【題目點撥】本題考查了正態分布曲線的特點，考查了獨立重復試驗概率公式，考查了計算能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（1），即，，解得；（2）是真命題，則都是真命題.當時，，故需.或，故，.當時，，故需.，所以，.綜上所述，.試題解析：（1）∵命題“”是真命題，即，∴，解得，∴的取值范圍是；（2）∵是真命題，∴與都是真命題，當時，，又是真命題，則∵，∴，∴或∴，解得當時，∵是真命題，則，使得，而∵，∴，∴，解得求集合的交集可得.考點：命題真假性判斷，含有邏輯聯結詞的命題．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，與直線方程聯立，即可求解（2）設，根據已知可得在曲線上，即可求解.【題目詳解】（1）由得，，聯立，消去得，，解得，或，當時，，當時，，，兩點的直角坐標分別為；（2）直線與曲線有一交點為極點，不妨為，設，則在曲線上，所以，即，因為不重合，所以所以線段中點的軌跡的極坐標方程【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關系、軌跡方程，意在考查邏輯推理、數學計算能力，屬于基礎題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）分別在、和三種情況下討論，去掉絕對值求得結果；（Ⅱ）由解集不是空集可知：且；利用絕對值三角不等式求得，解不等式求得結果.【題目詳解】（Ⅰ）當時，不等式為當時，，解得：；當時，，顯然不等式不成立；當時，則，解得：綜上可得，不等式的解集為：或（Ⅱ）不等式的解集不是空集，則，且，即又，解得：實數的取值范圍是【題目點撥】本題考查絕對值不等式的解法、絕對值三角不等式求最值、恒成立思想的應用等