河南省安陽市第三十五中學2024屆高二數學第二學期期末達標測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為客觀了解上海市民家庭存書量，上海市統計局社情民意調查中心通過電話調查系統開展專項調查，成功訪問了位市民，在這項調查中，總體、樣本及樣本的容量分別是（）A．總體是上海市民家庭總數量，樣本是位市民家庭的存書量，樣本的容量是B．總體是上海市民家庭的存書量，樣本是位市民家庭的存書量，樣本的容量是C．總體是上海市民家庭的存書量，樣本是位市民，樣本的容量是D．總體是上海市民家庭總數量，樣本是位市民，樣本的容量是2．已知拋物線，過點的任意一條直線與拋物線交于兩點，拋物線外一點，若∠∠，則的值為()A． B． C． D．3．若焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則該雙曲線的一個頂點到其中一條漸近線的距離為()A． B． C． D．4．設，則“”是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．函數的零點所在的區間是（）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)6．已知函數在處的導數為l，則（）A．1 B． C．3 D．7．從裝有形狀大小相同的3個黑球和2個白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，則第三次抽得白球的概率等于（）A． B． C． D．8．已知等差數列前9項的和為27，，則A．100 B．99 C．98 D．979．設直線與圓交于A，B兩點，圓心為C，若為直角三角形，則（）A．0 B．2 C．4 D．0或410．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則（）①若，，且∥，則∥；②若，∥，且∥，則；③若∥，，且，則∥；④若，，且，則.其中真命題的個數是（）A． B． C． D．11．甲、乙等五個人排成一排，要求甲和乙不能相鄰，則不同的排法種數為（）A．48 B．60 C．72 D．12012．閱讀下面的程序框圖，運行相應的程序，若輸入的值為24，則輸出的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點在直線（為參數）上，點為曲線（為參數）上的動點，則的最小值為________________.14．設變量滿足約束條件：,則目標函數的最小值為．15．已知隨機變量ξ的分布列為ξ12345P0.10.20.40.20.1若η=2ξ﹣3，則η的期望為_______16．若實數滿足條件則的取值范圍為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）計算??的值；（2）結合（1）的結果，試從中歸納出函數的一般結論，并證明這個結論；（3）若實數滿足，求證：.18．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為為參數），以原點為極點，以軸非負半軸為極軸建立極坐標系，兩坐標系取相同的長度單位．曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）已知點是曲線上任一點，求點到直線距離的最大值.19．（12分）己知集合,（1）若，求實數a的取值范圍；（2）若，求實數a的取值范圍．20．（12分）已知函數.（1）設是的極值點，求的單調區間；（2）當時，求證：.21．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程以直角坐標系的原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線的參數方程為（為參數），設點，直線與曲線相交于兩點，求的值.22．（10分）已知某條有軌電車運行時，發車時間間隔（單位：分鐘）滿足：，.經測算，電車載客量與發車時間間隔滿足：，其中.（1）求，并說明的實際意義；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當發車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘最大凈收益.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據總體、樣本及樣本的容量的概念，得到答案.【題目詳解】根據題目可知，總體是上海市民家庭的存書量，樣本是位市民家庭的存書量，樣本的容量是故選B項.【題目點撥】本題考查總體、樣本及樣本的容量的概念，屬于簡單題.2、D【解題分析】

設出點和直線，聯立方程得到關于的韋達定理，將轉化為斜率相反，將根與系數關系代入得到答案.【題目詳解】設，設直線AB：又恒成立即答案為D【題目點撥】本題考查了直線和拋物線的位置關系,定點問題,設直線方程時消去可以簡化運算,將角度關系轉化為斜率關系是解題的關鍵,計算量較大,屬于難題.3、C【解題分析】

先由雙曲線的離心率的值求出的值，然后求出雙曲線的頂點坐標和漸近線方程，再利用點到直線的距離公式可求出結果【題目詳解】解：因為焦點在軸上的雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線方程為，其頂點為，漸近線方程為由雙曲線的對稱性可知，只要求出其中一個頂點到一條漸近線的距離即可不妨求點到直線的距離故選：C【題目點撥】此題考查了雙曲線的有關知識和點到直線的距離公式，屬于基礎題4、A【解題分析】分析：先化簡兩個不等式，再利用充要條件的定義來判斷.詳解：由得-1＜x-1＜1，所以0＜x＜2.由得x＜2，因為，所以“”是的充分不必要條件.故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查充要條件的判斷和不等式的解法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本計算能力.(2)本題利用集合法判斷充要條件，首先分清條件和結論；然后化簡每一個命題，建立命題和集合的對應關系.，；最后利用下面的結論判斷：（1）若,則是的充分條件，若，則是的充分非必要條件；（2）若,則是的必要條件，若，則是的必要非充分條件；（3）若且，即時，則是的充要條件.5、B【解題分析】

易知函數是上的增函數,,結合零點存在性定理可判斷出函數零點所在區間.【題目詳解】函數是上的增函數,是上的增函數,故函數是上的增函數.,,則時,;時,,因為,所以函數在區間上存在零點.故選:B.【題目點撥】本題考查了函數零點所在區間,利用函數的單調性與零點存在性定理是解決本題的關鍵,屬于基礎題.6、B【解題分析】

根據導數的定義可得到，，然后把原式等價變形可得結果.【題目詳解】因為，且函數在處的導數為l，所以，故選B.【題目點撥】本題主要考查導數的定義及計算，較基礎.7、D【解題分析】分析：這是一個條件概率，可用古典概型概率公式計算，即從5個球中取三個排列，總體事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的條件下抽排第一次和第三次球.詳解：.點睛：此題是一個條件概率，條件是第二次抽取的是黑球，不能誤以為是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那樣求得錯誤結論為.8、C【解題分析】試題分析：由已知，所以故選C.【考點】等差數列及其運算【名師點睛】等差、等比數列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數列中的運算問題轉化為解關于基本量的方程（組）,因此可以說數列中的絕大部分運算題可看作方程應用題,所以用方程思想解決數列問題是一種行之有效的方法.9、D【解題分析】

是等腰三角形，若為直角三角形，則，求出圓心到直線的距離，則．【題目詳解】圓心為，半徑為，，∵為直角三角形，∴，而，∴，即，或4.故選：D.【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關系．在直線與圓相交問題中垂徑定理常常要用到．10、B【解題分析】

根據空間直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直的判定定理和性質定理，逐項判斷，即可得出結論.【題目詳解】由且，可得，而垂直同一個平面的兩條直線相互平行，故①正確；由于，，所以，則，故②正確；若與平面的交線平行，則，故不一定有，故③錯誤；設，在平面內作直線，，則，又，所以，，所以，從而有，故④正確.因此，真命題的個數是.故選：B【題目點撥】本題考查了空間線面位置關系的判定和證明，其中熟記空間線面位置中的平行與垂直的判定定理與性質定理是解題的關鍵，考查直觀想象能力，屬于基礎題.11、C【解題分析】

因為甲和乙不能相鄰，利用插空法列出不同的排法的算式，得到答案.【題目詳解】甲、乙等五個人排成一排，要求甲和乙不能相鄰，故先安排除甲、乙外的3人，然后安排甲、乙在這3人之間的4個空里，所以不同的排法種數為，故選C項.【題目點撥】本題考查排列問題，利用插空法解決不相鄰問題，屬于簡單題.12、C【解題分析】

根據給定的程序框圖，逐次循環計算，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，第一循環：，能被3整除，不成立，第二循環：，不能被3整除，不成立，第三循環：，不能被3整除，成立，終止循環，輸出，故選C．【題目點撥】本題主要考查了程序框圖的識別與應用，其中解答中根據條件進行模擬循環計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先求出直線的普通方程，再求出點到直線的距離，再利用三角函數的性質求出|MN|的最小值.【題目詳解】由題得直線方程為，由題意，點到直線的距離，∴.故答案為：【題目點撥】本題主要考查參數方程與普通方程的互化，考查點到直線的距離的最值的求法和三角函數的性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.14、1【解題分析】

作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義即可得到結論．【題目詳解】的幾何意義為區域內點到點G（0，-1）的斜率，

作出不等式組對應的平面區域如圖：

由圖象可知，AG的斜率最小，

由解得，即A（2，1），

則AG的斜率k=＝1，

故答案為1【題目點撥】本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及直線斜率的計算，利用數形結合是解決本題的關鍵．15、3【解題分析】解：Eξ=1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2Eη=2Eξ-3=316、【解題分析】分析：根據滿足條件畫出可行域，然后分析的最值詳解：滿足條件即，畫出可行域：根據可行域可知，目標函數在A點處取得最小值，在C點處取得最大值，所以的取值范圍為點睛：點睛：線性規劃要能夠準確畫出可行域，尤其是判斷每一個不等式代表的是直線的左側還是右側時不能出錯，常用帶點方法判斷比較準確。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，.（2）一般結論為：對任意實數都有，證明見解析（3）證明見解析【解題分析】

代入計算可得所求和為定值；

可得，代入計算，化簡可得所求結論；

求得的導數，判斷單調性，根據單調性利用反證法可得證明．【題目詳解】（1），，.（2）對任意實數都有.證明：.（3）由知，為上的單調增函數.假設，則或，若，由為上的單調增函數知，；若，由為上的單調增函數知，，則，與條件矛盾，故假設不成立.原命題成立.【題目點撥】本題主要考查三次函數的圖象和性質，主要是單調性的應用，反證法，考查化簡運算能力，屬于中檔題．18、（1）；;（2）【解題分析】

（1）消參數得的普通方程，根據得的直角坐標方程（2）根據直線與圓位置關系得最值.【題目詳解】（1）因為，所以，即（2）因為圓心到直線距離為，所以點到直線距離的最大值為【題目點撥】本題考查參數方程化普通方程、極坐標方程化直角坐標方程以及直線與圓位置關系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.19、（1）；（2）或【解題分析】

（1）求出集合或，由，列出不等式組，能求出實數a的取值范圍．（2）由，得到，由此能求出實數a的取值范圍．【題目詳解】解：（1）∵集合，或，，∴，解得∴實數a的取值范圍是（2）或，解得或．∴實數a的取值范圍是或【題目點撥】本題考查實數的取值范圍的求法，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．將集合的運算轉化成子集問題需注意，若則有，進而轉化為不等式范圍問題.20、（1）在上減，上增；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）求出函數的定義域以及導函數，由是的極值點可求出，即，對導函數再次求導，判斷導函數在上單調遞增，由，進而可求出函數的單調區間.（2）由，進而可得，記，研究函數的單調性，求出的最小值，進而可得證.【題目詳解】（1）解：的定義域為，，由，所以，又因為，所以在上單調遞增，注意到，所以在上減，上增.（2）由，所以,記，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以是的最小值點，，故.【題目點撥】本題考查了導函數的研究函數的單調性以及最值中的應用，需掌握極值點的定義，屬于中檔題.21、（1）；（2）.【解題分析】試題