湖北省武漢市常青第一中學2024屆數學高二下期末監測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執行如圖所示程序框圖，輸出的的值為（）A． B． C．3 D．42．老師在班級50名學生中，依次抽取學號為5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的學生進行作業檢查，這種抽樣方法是（）A．隨機抽樣 B．分層抽樣 C．系統抽樣 D．以上都是3．某班級有男生人，女生人，現選舉名學生分別擔任班長、副班長、團支部書記和體育班委.男生當選的人數記為，則的數學期望為（）A． B． C． D．4．在直角坐標系中，若角的終邊經過點，則（）A． B． C． D．5．設為等差數列的前項和，若，，則A． B． C． D．6．展開式中x2的系數為（）A．15 B．60 C．120 D．2407．某市踐行“干部村村行”活動，現有3名干部甲、乙、丙可供選派，下鄉到5個村蹲點指導工作，每個村至少有1名干部，每個干部至多住3個村，則干部甲住3個村的概率為()A． B． C． D．8．甲、乙、丙三位同學站成一排照相，則甲、丙相鄰的概率為（）A． B． C． D．9．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．10．已知函數，在區間內任取兩個實數，，且，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．11．函數(,則()A． B． C． D．大小關系不能確定12．將偶函數的圖象向右平移個單位長度后，得到的曲線的對稱中心為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某圓柱是將邊長為2的正方形（及其內部）繞其一條邊所在的直線旋轉一周形成的，則該圓柱的體積為_______.14．若展開式的二項式系數之和為，則________15．若甲、乙兩人從5門課程中各選修2門，則甲、乙所選修的課程都不相同的選法種數為___．16．已知向量.若與共線，則在方向上的投影為______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若關于的不等式在實數范圍內有解.（1）求實數的取值范圍；（2）若實數的最大值為，且正實數滿足，求證：.18．（12分）已知函數在處有極值．（1）求a,b的值；（2）求的單調區間．19．（12分）已知橢圓E：的離心率為分別是它的左、右焦點，.（1）求橢圓E的方程；（2）過橢圓E的上頂點A作斜率為的兩條直線AB，AC，兩直線分別與橢圓交于B，C兩點，當時，直線BC是否過定點？若是求出該定點，若不是請說明理由.20．（12分）已知函數，是自然對數的底數.（Ⅰ）若過坐標原點作曲線的切線，求切線的方程；（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求的最小值.21．（12分）已知復數（a，），（c，）.（1）當，，，時，求，，；（2）根據（1）的計算結果猜想與的關系，并證明該關系的一般性22．（10分）如圖，,是經過小城的東西方向與南北方向的兩條公路，小城位于小城的東北方向，直線距離.現規劃經過小城修建公路(,分別在與上)，與,圍成三角形區域.(1)設，,求三角形區域周長的函數解析式;(2)現計劃開發周長最短的三角形區域，求該開發區域的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：根據判斷框的條件確定退出循環體的k值，再根據框圖的流程確定算法的功能，利用約分消項法求解．詳解：由題可知：此時輸出S=故選B.點睛：本題考查了循環結構的程序框圖，根據框圖的流程判斷算法的功能以及對對數公式的準確運用是關鍵．屬于基礎題.2、C【解題分析】

對50名學生進行編號，分成10組，組距為5，第一組選5，其它依次加5，得到樣本編號.【題目詳解】對50名學生進行編號，分成10組，組距為5，第一組選5，從第二組開始依次加5，得到樣本編號為：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，屬于系統抽樣.【題目點撥】本題考查系統抽樣的概念，考查對概念的理解.3、C【解題分析】分析：先寫出的取值，再分別求的概率，最后求的數學期望.詳解：由題得所以故答案為：C點睛：（1）本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力.(2)離散型隨機變量的數學期望4、C【解題分析】分析：由題意角的終邊經過點，即點，利用三角函數的定義及誘導公式，即可求解結果.詳解：由題意，角的終邊經過點，即點，則，由三角函數的定義和誘導公式得，故選C.點睛：本題主要考查了三角函數的定義和三角函數誘導公式的應用，其中熟記三角函數的定義和三角函數的誘導公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.5、B【解題分析】分析：首先設出等差數列的公差為，利用等差數列的求和公式，得到公差所滿足的等量關系式，從而求得結果，之后應用等差數列的通項公式求得，從而求得正確結果.詳解：設該等差數列的公差為，根據題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關等差數列的求和公式和通項公式的應用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結合等差數列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數列的通項公式得到與的關系，從而求得結果.6、B【解題分析】

∵展開式的通項為，令6-r=2得r=4，∴展開式中x2項為，所以其系數為60,故選B7、A【解題分析】

先利用排列組合思想求出甲干部住個村的排法種數以及將三名可供選派的干部下鄉到個村蹲點的排法種數，最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率。【題目詳解】三名干部全部選派下鄉到個村蹲點，三名干部所住的村的數目可以分別是、、或、、，排法種數為，甲住個村，則乙、丙各住一個村，排法種數為，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率為，故選：A。【題目點撥】本題考查排列組合應用問題以及古典概型概率的計算，解決本題的關鍵在于將所有的基本事件數利用排列組合思想求出來，合理利用分類計數和分步計算原理，考查分析問題和運算求解能力，屬于中等題。8、C【解題分析】分析：通過枚舉法寫出三個人站成一排的所有情況，再找出其中甲、丙相鄰的情況，由此能求出甲、丙相鄰的概率.詳解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6種，其中甲、丙相鄰有4種，所以，甲、丙相鄰的概率為.故選C.點睛：本題考查古典概型的概率的求法，解題時要注意枚舉法的合理運用.9、A【解題分析】

由正視圖和側視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，再利用棱錐的體積公式求解即可.【題目詳解】由三棱錐的正視圖和側視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，所以該三棱錐的體積.故選：A【題目點撥】本題主要考查三視圖和棱錐的體積公式，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題.10、A【解題分析】分析：首先，由的幾何意義，得到直線的斜率，然后得到函數圖象上在區間內任意兩點連線的斜率大于1，從而得到在內恒成立，分離參數后，轉化成在內恒成立，從而求解得到a的取值范圍.詳解：的幾何意義為：表示點與點連線的斜率，實數，在區間，故和在區間內，不等式恒成立，函數圖象上在區間內任意兩點連線的斜率大于1，故函數的導數大于1在內恒成立，由函數的定義域知，在內恒成立，即在內恒成立，由于二次函數在上是單調增函數，故時，在上取最大值為15，.故選：A.點睛：本題重點考查導數的應用，函數的幾何性質等知識，注意分離參數在求解中的靈活運用，屬于中檔題.11、C【解題分析】

對函數求導得到函數的導函數，進而得到原函數的單調性，從而得到結果.【題目詳解】函數(,對函數求導得到當x>1時，導函數大于0，函數單調增，當x<1時，導函數小于0，函數單調遞減，因為，故得到.故答案為C.【題目點撥】這個題目考查了導函數對于研究函數單調性的應用，函數的單調性可以通過常見函數的性質得到，也可以通過定義法證明得到函數的單調性，或者通過求導得到函數的單調性．12、D【解題分析】

根據函數為偶函數求出函數解析式，根據余弦函數的圖象和性質求對稱軸即可.【題目詳解】∵為偶函數，∴，∴．令，得．故選：D【題目點撥】本題主要考查了誘導公式和余弦函數的圖象與性質，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據題意得到圓柱底面圓半徑為，高為，根據圓柱的體積公式，即可得出結果.【題目詳解】因為圓柱是將邊長為2的正方形（及其內部）繞其一條邊所在的直線旋轉一周形成的，則圓柱底面圓半徑為，高為，所以該圓柱的體積是.故答案為：【題目點撥】本題主要考查旋轉體的體積，熟記圓柱體積公式即可，屬于基礎題型.14、【解題分析】

根據二項展開式二項式系數和為可構造方程求得結果.【題目詳解】展開式的二項式系數和為：，解得：本題正確結果：【題目點撥】本題考查二項展開式的二項式系數和的應用，屬于基礎題.15、30【解題分析】

根據題意知，采用分步計數方法，第一步，甲從５門課程中選２門，有種選法；第二步乙從剩下的３門中選２門，有種選法，兩者相乘結果即為所求的選法種數．【題目詳解】．故答案為３０．【題目點撥】本題主要考查了分步乘法計數原理的應用，分步要做到“步驟完整”，各步之間是關聯的、獨立的，“關聯”確保不遺漏，“獨立”確保不重復．16、【解題分析】

先根據與共線求出的值，再利用向量的投影公式求在方向上的投影.【題目詳解】∵∴.又∵與共線，∴，∴，∴，∴在方向上的投影為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查向量共線的坐標表示和向量的投影的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【解題分析】

（Ⅰ）不等式在實數范圍內有解，也即是成立，求出最大值即可；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，因此，展開之后結合基本不等式即可證明結論成立；也可利用柯西不等式來證明.【題目詳解】解：（Ⅰ）因為所以又因為所以（Ⅱ）由（1）可知，,則方法一：方法二：利用柯西不等式【題目點撥】本題主要考查含絕對值的不等式，以及不等式的證明，常用到基本不等式或柯西不等式等，需要考生靈活運用各類結論，屬于常考題型.18、(1),．(2)單調減區間是,單調增區間是．【解題分析】

（1）先對函數求導，得到，再由題意，列出方程組，求解，即可得出結果；（2）由（1）的結果，得到，對其求導，解對應的不等式，即可得出單調區間.【題目詳解】解：（1）又在處有極值,即解得,．（2）由（1）可知,其定義域是,．由,得；由,得．函數的單調減區間是,單調增區間是．【題目點撥】本題主要考查由函數極值求參數，以及導數的方法求單調區間的問題，通常需要對函數求導，利用導數的方法求解即可，屬于常考題型.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）由題意，，結合的關系即可求解．（2）設直線,，，聯立方程可得，又，結合韋達定理可得，化簡計算即可求解．【題目詳解】（1）因為，所以，又，所以，橢圓的方程為；（2）因為，所以直線斜率存在設直線,，消理得，（*）又理得即所以（*）代入得整理的得，所以直線定點【題目點撥】本題考查橢圓標準方程的求法，直線恒過定點問題，意在考查學生對這些基礎知識的理解程度和掌握水平，屬中檔題．20、（Ⅰ）即；（Ⅱ）0.【解題分析】

（Ⅰ）對函數進行求導，然后設出切點坐標，利用導數求出切線斜率，寫出點斜式方程，把原點的坐標代入切線方程，可求出切點坐標，進而求出切線方程；（Ⅱ）不等式恒成立，可以轉化為恒成立，構造新函數，求導，判斷出函數的單調性，求出函數的最大值，得到，再構造一個新函數，求導，判斷出函數的單調性，求出函數的最小值，由的單調性，可以求出的最小值.【題目詳解】（I）設切點為，因為，所以，所以，得，因為，所以，故l的方程為即.（II）不等式恒成立，即恒成立，記，則，當時，令，得，當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，則，即，則，記，則，令，得，當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，則，得的最小值為，所以的最小值為1，因為是增函數，所以的最小值為.【題目點撥】本題考查了利用導數求函數的切線方程，考查了利用導數研究不等式恒成立問題，構造新函數，利用新函數的單調性是解題的關鍵.21、（1），，（2）猜想，見解析【解題分析】

（1）由復數模的定義計算模，對，可先求出，再計算模；（2）由（1）猜測，用復數的一般形式進行證明即可．【題目詳解】（1）由題知，，所以所以（2）猜想證明：因為，，所以因為，所以，所以猜想成立.【題目點撥】本題考查復數的簡單運算和合情推理，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，導向對發展數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養的關注.22、（1）（2）開發區域的面積為【解題分析】分析：(1)先根據直角三角形求OA,OB,AB，再相加得三角形區域周長的函數解析式;(2)令，化簡，再根據三角函數有界性確定t