安徽省示范中學培優聯盟2024屆數學高二下期末達標檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，則“”是“在上單調遞增”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．函數的極小值點是（）A．1 B．（1，﹣） C． D．（﹣3，8）3．有10名學生和2名老師共12人,從這12人選出3人參加一項實踐活動則恰有1名老師被選中的概率為（）A．922 B．716 C．94．設為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則5．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．已知隨機變量滿足，，則下列說法正確的是（）A．， B．，C．， D．，7．已知集合,,則（）A． B． C． D．8．已知等差數列中，，，則（）A． B． C． D．9．在平面直角坐標系中,方程表示在x軸、y軸上的截距分別為的直線,類比到空間直角坐標系中,在軸、軸、軸上的截距分別為的平面方程為()A． B．C． D．10．已知，則等于()A．-4 B．-2 C．1 D．211．（2017新課標全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B．C． D．12．若復數是純虛數（是實數，是虛數單位），則等于（）A．2 B．-2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列的前項和為，，且滿足，若，，則的最小值為__________．14．若函數有且只有一個零點，是上兩個動點（為坐標原點），且，若兩點到直線的距離分別為，則的最大值為__________.15．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員先后搶4個不相同的紅包，每人最多搶一個紅包，且紅包全被搶光，則甲乙兩人都搶到紅包的情況有________種16．如圖為某幾何體的三視圖，則其側面積為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若，求的零點個數；（2）若，，證明：，.18．（12分）已知函數f(x)=xlnx，（I）判斷曲線y=f(x)在點1,f(1)處的切線與曲線y=g(x)的公共點個數；（II）若函數y=f(x)-g(x)有且僅有一個零點，求a的值；（III）若函數y=f(x)+g(x)有兩個極值點x1,x2，且19．（12分）已知平行四邊形中，，，，是邊上的點，且，若與交于點，建立如圖所示的直角坐標系.（1）求點的坐標；（2）求.20．（12分）已知復數，其中為虛數單位，.（1）若，求實數的值；（2）若在復平面內對應的點位于第一象限，求實數的取值范圍.21．（12分）某工廠擬生產并銷售某電子產品m萬件（生產量與銷售量相等），為擴大影響進行銷售，促銷費用x（萬元）滿足（其中，為正常數）．已知生產該產品還需投入成本萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為元/件．（1）將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；（2）促銷費用投入多少萬元時，此工廠所獲利潤最大？22．（10分）若正數滿足，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】f′(x)＝x2＋a，當a≥0時，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上單調遞增”的充分不必要條件．故選A.2、A【解題分析】

求得原函數的導數，令導數等于零，解出的值，并根據單調區間判斷出函數在何處取得極小值，并求得極值，由此得出正確選項.【題目詳解】，由得函數在上為增函數，上為減函數，上為增函數，故在處有極小值，極小值點為1.選A【題目點撥】本小題主要考查利用導數求函數的極值點，屬于基礎題.3、A【解題分析】

先求出從12人中選3人的方法數，再計算3人中有1人是老師的方法數，最后根據概率公式計算．【題目詳解】從12人中選3人的方法數為n=C123=220，3人中愉有∴所求概率為P=m故選A．【題目點撥】本題考查古典概型，解題關鍵是求出完成事件的方法數．4、C【解題分析】

通過作圖的方法，可以逐一排除錯誤選項.【題目詳解】如圖，相交，故A錯誤如圖，相交，故B錯誤D.如圖，相交，故D錯誤故選C.【題目點撥】本題考查直線和平面之間的位置關系，屬于基礎題.5、D【解題分析】不正確，因為垂直于同一條直線的兩個平面平行；不正確，垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交；平行于同一條直線的兩個平面平行或相交；正確.6、D【解題分析】分析：利用期望與方差的性質與公式求解即可.詳解：隨機變量滿足，所以，解得，故選D.點睛：已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數的均值、方差和標準差，可直接用的均值、方差的性質求解.若隨機變量的均值、方差、標準差，則數的均值、方差、標準差.7、D【解題分析】分析：先化簡集合P,Q，再求.詳解：由題得，，所以.故答案為：D.點睛：本題主要考查集合的化簡與交集運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平，屬于基礎題.8、C【解題分析】分析：根據等差數列的通項公式，可求得首項和公差，然后可求出值。詳解：數列為等差數列，，，所以由等差數列通項公式得，解方程組得所以所以選C點睛：本題考查了等差數列的概念和通項公式的應用，屬于簡單題。9、A【解題分析】

平面上直線方程的截距式推廣到空間中的平面方程的截距式是.【題目詳解】由類比推理得：若平面在軸、軸、軸上的截距分別為，則該平面的方程為：，故選A.【題目點撥】平面中的定理、公式等類比推理到空間中時，平面中的直線變為空間中的直線或平面，平面中的面積變為空間中的體積.類比推理得到的結論不一定正確，必要時要對得到的結論證明.如本題中，可令，看是否為.10、D【解題分析】

首先對f（x）求導，將1代入，求出f′（1）的值，化簡f′（x），最后將x＝3代入即可．【題目詳解】因為f′（x）＝1x+1f′（1），令x＝1，可得f′（1）＝1+1f′（1），∴f′（1）＝﹣1，∴f′（x）＝1x+1f′（1）＝1x﹣4，當x＝3，f′（3）＝1．故選：D【題目點撥】本題考查導數的運用，求出f′（1）是關鍵，是基礎題．11、A【解題分析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.12、B【解題分析】

利用復數的運算法則進行化簡，然后再利用純虛數的定義即可得出．【題目詳解】∵復數（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是純虛數，∴，解得a＝﹣1．故選B．【題目點撥】本題考查了復數的乘法運算、純虛數的定義，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-14【解題分析】分析：由，即利用等差數列的通項公式可得：當且僅當時，．即可得出結論．詳解：由由，即．

∴數列為等差數列，首項為-5，公差為1．可得：，

當且僅當時，．

已知，

則最小值為即答案為-14.點睛：本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式與求和公式、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、【解題分析】

根據函數的奇偶性先求解出的值，然后根據判斷出中點的軌跡，再根據轉化關系將的最大值轉化為圓上點到直線的距離最大值，由此求解出結果.【題目詳解】因為的定義域為，且，所以是偶函數，又因為有唯一零點，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，設的中點為，，如下圖所示：所以，又因為，所以，所以的軌跡是以坐標原點為圓心，半徑為的圓，所以當取最大值時，為過垂直于的線段與的交點，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查函數奇偶性、圓中的軌跡方程、圓上點到直線的距離最值，屬于綜合型題型，難度較難.圓上點到一條與圓相離直線的距離最值求解方法：先計算出圓心到直線的距離，則距離最大值為，距離最小值為.15、72【解題分析】第一步甲乙搶到紅包，有種，第二步其余三人搶剩下的兩個紅包，有種，所以甲乙兩人都搶到紅包的情況有種．16、【解題分析】

根據三視圖可知幾何體為圓錐，利用底面半徑和高可求得母線長；根據圓錐側面積公式可直接求得結果.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體為底面半徑為，高為的圓錐圓錐的母線長為：圓錐的側面積：本題正確結果：【題目點撥】本題考查圓錐側面積的求解問題，關鍵是能夠根據三視圖準確還原幾何體，考查學生對于圓錐側面積公式的掌握情況.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）將a的值代入f(x)，再求導得，在定義域內討論函數單調性，再由函數的最小值正負來判斷它的零點個數；（2）把a的值代入f(x)，將整理化簡為，即證明該不等式在上恒成立，構造新的函數，利用導數可知其在定義域上的最小值，構造函數，由導數可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證。【題目詳解】（1）解：因為，所以.令，得或；令，得，所以在，上單調遞增，在上單調遞減，而，，，所以的零點個數為1.（2）證明：因為，從而.又因為，所以要證，恒成立，即證，恒成立，即證，恒成立.設，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以.設，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以，所以，所以，恒成立，即，.【題目點撥】本題考查用導數求函數的零點個數以及證明不不等式，運用了構造新的函數的方法。18、（I）詳見解析；（II）a=3；（III）a>【解題分析】

（I）利用導函數求出函數y=f(x)在點(1，f（1）)處的切線方程，和函數y=g(x)聯立后由判別式分析求解公共點個數；（II）寫出函數y=f(x)-g(x)表達式，由y=0得到a=x+2x+lnx，求函數h(x)=x+（III）寫出函數y=f(x)+g(x)的表達式，構造輔助函數t(x)=-x2+ax-2+xlnx，由原函數的極值點是其導函數的零點分析導函數對應方程根的情況，分離參數a后構造新的輔助函數，求函數的最小值，然后分析當a大于函數最小值的情況，進一步求出當x【題目詳解】解：（I）由f(x)=xlnx，得f'(x)=lnx+1，∴f'（1）=1，又f（1）=0，∴曲線y=f(x)在點(1，f（1）)處的切線方程為y=x-1，代入y=-x2+ax-2∴當a<-1或a>3時，△=(1-a)當a=-1或a=3時，△=(1-a)當-1<a<3時，△=(1-a)（II）y=f(x)-g(x)=x由y=0，得a=x+2令h(x)=x+2x+lnx∴h(x)在(0,1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，因此，hmin(x)=h（1）（III）y=f(x)+g(x)=-x令t(x)=-x∴t'(x)=-2x+a+1+lnx，即a=2x-1-lnx有兩個不同的根x1，x令λ(x)=2x-1-lnx?λ且當a>ln2時，(x2-當x2a=2x∴x此時a=2ln2即x2a>2ln2【題目點撥】本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了函數零點的求法，考查了利用導數求函數的最值，充分利用了數學轉化思想方法，考查了學生靈活處理問題和解決問題的能力，是難度較大的題目．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據題意寫出各點坐標，利用求得點的坐標。（2）根據求得點的坐標，再計算、，求出數量積。【題目詳解】建立如圖所示的坐標系，則，，，，由，所以，設，則,所以，解得，所以（2）根據題意可知，所以,所以，從而，。【題目點撥】本題考查了平面向量的坐標運算以及數量積，屬于基礎題。20、（1）（2）【解題分析】

（1）先進行化簡，結合復數為實數的等價條件建立方程進行求解即可．（2）結合復數的幾何意義建立不等式關系進行求解即可．【題目詳解】解：（1）由題意，根據復數的運算，可得，由，則，解得.（2）由在復平面內對應的點位于第一象限，則且，解得，即.【題目點撥】本題主要考查復數的計算以及復數幾何意義的應用，結合復數的運算法則進行化簡是解決本題的關鍵，屬于基礎題．21、（1