概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-基礎(chǔ)知識匯報(bào)人：AA2024-01-20概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析回歸分析初步目錄01概率論基本概念不可能事件空集，不包含任何樣本點(diǎn)。必然事件樣本空間本身，包含所有樣本點(diǎn)?；臼录颖究臻g中只包含一個樣本點(diǎn)的事件。樣本空間所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合，常用大寫字母A、B等表示。樣本空間與事件事件A發(fā)生的可能性大小的度量，記為P(A)。概率定義對于任意事件A，有P(A)≥0。非負(fù)性對于必然事件S，有P(S)=1。規(guī)范性對于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。可加性概率定義及性質(zhì)條件概率與獨(dú)立性條件概率在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記為P(A|B)。獨(dú)立性如果事件A和B的發(fā)生互不影響，即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，則稱事件A和B相互獨(dú)立。全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn構(gòu)成一個完備事件組，且都有正概率，則對于任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。貝葉斯公式在全概率公式的條件下，可以求得事件Bi已發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，即P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。全概率公式與貝葉斯公式02隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點(diǎn)映射到一個實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量只能取有限個或可列個值，而連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的任意值。隨機(jī)變量定義及分類分類定義分布律定義離散型隨機(jī)變量的分布律描述了隨機(jī)變量取各個可能值的概率。常見離散型隨機(jī)變量分布二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率服從二項(xiàng)分布。泊松分布描述單位時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，常用于描述稀有事件的概率分布。離散型隨機(jī)變量分布律連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)描述了隨機(jī)變量在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率分布情況。概率密度函數(shù)定義正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布正態(tài)分布是連續(xù)型隨機(jī)變量中最重要的一種分布，具有廣泛的應(yīng)用。其概率密度函數(shù)呈鐘形曲線，具有對稱性。正態(tài)分布均勻分布描述了在某個區(qū)間內(nèi)各個取值的可能性相等的隨機(jī)變量。均勻分布連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布當(dāng)X是離散型隨機(jī)變量時，可以通過列舉法或母函數(shù)法求解g(X)的分布律。連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布當(dāng)X是連續(xù)型隨機(jī)變量時，可以通過求解g(X)的概率密度函數(shù)或累積分布函數(shù)來確定其分布。隨機(jī)變量函數(shù)的定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量，g(X)是X的函數(shù)，那么g(X)也是一個隨機(jī)變量，其分布稱為隨機(jī)變量函數(shù)的分布。隨機(jī)變量函數(shù)的分布03多維隨機(jī)變量及其分布設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x,y，二元函數(shù)F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù)如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)可微，則稱函數(shù)f(x,y)=?2F(x,y)/?x?y為(X,Y)的聯(lián)合概率密度。聯(lián)合概率密度二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布VS二維隨機(jī)變量(X,Y)中，X或Y的分布稱為邊緣分布。即FX(x)=P{X≤x}和FY(y)=P{Y≤y}。條件分布在給定Y=y的條件下，X的條件分布函數(shù)為FX|Y(x|y)=P{X≤x|Y=y}。同理，在給定X=x的條件下，Y的條件分布函數(shù)為FY|X(y|x)=P{Y≤y|X=x}。邊緣分布邊緣分布與條件分布獨(dú)立性及相關(guān)系數(shù)如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度等于各自邊緣概率密度的乘積，即f(x,y)=fX(x)fY(y)，則稱X與Y相互獨(dú)立。獨(dú)立性用于衡量兩個隨機(jī)變量之間線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量。對于二維隨機(jī)變量(X,Y)，其相關(guān)系數(shù)ρXY定義為ρXY=Cov(X,Y)/√D(X)√D(Y)，其中Cov(X,Y)為X與Y的協(xié)方差，D(X)和D(Y)分別為X和Y的方差。相關(guān)系數(shù)Z=X+Y的分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則Z=X+Y的分布函數(shù)為FZ(z)=∫∫f(x,y)dxdy，其中積分區(qū)域?yàn)閧(x,y)|x+y≤z}。Z=max{X,Y}的分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則Z=max{X,Y}的分布函數(shù)為FZ(z)=FX(z)+FY(z)-FXY(z)，其中FXY(z)為X和Y同時小于等于z的概率。多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布04數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念總體與樣本總體樣本樣本容量從總體中隨機(jī)抽取的一部分個體組成的集合。樣本中個體的數(shù)目。研究對象的全體個體組成的集合。樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征。統(tǒng)計(jì)量樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本矩等。常用統(tǒng)計(jì)量無偏性、有效性、一致性等。統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)大數(shù)定律當(dāng)樣本容量足夠大時，樣本均值趨近于總體均值。抽樣分布定理的應(yīng)用用于推斷總體參數(shù)的性質(zhì)。中心極限定理當(dāng)樣本容量足夠大時，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布。抽樣分布定理123用樣本統(tǒng)計(jì)量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值。點(diǎn)估計(jì)根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)，構(gòu)造出總體參數(shù)的一個置信區(qū)間，并給出該區(qū)間包含總體參數(shù)真值的概率。區(qū)間估計(jì)無偏性、有效性、一致性、充分性等。參數(shù)估計(jì)的評價標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)估計(jì)方法簡介05假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析原假設(shè)與備擇假設(shè)原假設(shè)通常是研究者想要推翻的假設(shè)，而備擇假設(shè)則是研究者希望證實(shí)的假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與拒絕域檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的用于判斷原假設(shè)是否成立的統(tǒng)計(jì)量，而拒絕域則是根據(jù)顯著性水平確定的用于拒絕原假設(shè)的區(qū)域。顯著性水平與P值顯著性水平是事先設(shè)定的用于判斷原假設(shè)是否成立的標(biāo)準(zhǔn)，而P值則是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的原假設(shè)成立的概率。假設(shè)檢驗(yàn)基本原理單樣本t檢驗(yàn)用于比較兩個獨(dú)立樣本均值是否有顯著差異，包括獨(dú)立雙樣本t檢驗(yàn)和配對雙樣本t檢驗(yàn)。雙樣本t檢驗(yàn)t檢驗(yàn)的適用條件要求樣本服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，且總體方差已知或可通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)。用于比較樣本均值與已知總體均值是否有顯著差異。單樣本t檢驗(yàn)和雙樣本t檢驗(yàn)通過比較不同組間的方差與組內(nèi)方差的大小來判斷不同組之間是否存在顯著差異。方差分析基本原理用于研究單一因素對因變量的影響，如比較不同品種作物的產(chǎn)量是否有顯著差異。單因素方差分析用于研究多個因素對因變量的影響及因素間的交互作用，如研究不同施肥量和灌溉量對作物產(chǎn)量的影響。多因素方差分析010203方差分析原理及應(yīng)用舉例當(dāng)數(shù)據(jù)不滿足參數(shù)檢驗(yàn)的前提條件時，如數(shù)據(jù)分布未知或不服從正態(tài)分布，可采用非參數(shù)檢驗(yàn)方法。包括卡方檢驗(yàn)、Mann-WhitneyU檢驗(yàn)、Kruskal-WallisH檢驗(yàn)等，這些方法不依賴于數(shù)據(jù)的具體分布形式，而是通過比較樣本間的秩或頻數(shù)來判斷是否存在顯著差異。非參數(shù)檢驗(yàn)適用場景常見非參數(shù)檢驗(yàn)方法非參數(shù)檢驗(yàn)方法簡介06回歸分析初步一元線性回歸模型最小二乘法回歸系數(shù)的解釋一元線性回歸模型建立及參數(shù)估計(jì)描述兩個變量之間線性關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，形式為Y=β0+β1X+ε，其中Y為因變量，X為自變量，β0和β1為待估參數(shù)，ε為隨機(jī)誤差項(xiàng)。用于估計(jì)一元線性回歸模型中參數(shù)β0和β1的方法，通過最小化殘差平方和來得到參數(shù)估計(jì)值?；貧w系數(shù)β1表示X對Y的邊際效應(yīng)，即當(dāng)X增加一個單位時，Y的平均變化量?；貧w方程的顯著性檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)自變量X對因變量Y是否有顯著影響，通常使用F檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)進(jìn)行判斷。預(yù)測區(qū)間估計(jì)在給定自變量X的取值時，對因變量Y的取值進(jìn)行預(yù)測，并給出預(yù)測值的置信區(qū)間。殘差分析通過對殘差進(jìn)行可視化分析和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，評估回歸模型的擬合效果及是否符合假設(shè)條件?；貧w方程顯著性檢驗(yàn)及預(yù)測區(qū)間估計(jì)030201多元線性回歸模型簡介及應(yīng)用舉例多元線性回歸模型在經(jīng)濟(jì)