2021年山東省青島市中考數學模擬測試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分）在每題給出的四個選項中，只有一項

為哪一項符合題目要求的.

1.13分）的相反數是（）

3.13分）2021年1月3日，我國“嫦娥四號"月球探測器在月球反面軟著陸，實現人類有

史以來首次成功登陸月球反面.月球與地球之間的平均距離約為384000b”,把384000b”

用科學記數法可以表示為（）

A.38.4XIO4版B.3.84X\05km

C.0.384X1（）6加D.3.84X}06hn

4.（3分）計-算［-2加2.（,”2+3/）的結果是（）

A.Sm5B.-8m5C.8〃戶D.-4/M4+12/?5

5.（3分）如圖，線段AB經過。。的圓心，AC,分別與。。相切于點C,D.假設AC

=BD=4,NA=45°,那么而的長度為（）

6.13分）如圖，將線段A8先向右平移5個單位，再將所得線段繞原點按順時針方向旋轉

90°,得到線段A'B',那么點B的對應點B'的坐標是（）

7.（3分）如圖，是△ABC的角平分線，AE±BD,垂足為F.假設NABC=35°,ZC

=50°,那么/CZ）E的度數為（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

8.（3分）反比例函數>=生?的圖象如下圖，那么二次函數y=--2x和一次函數），=法+“

x

在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）

二、填空題（本大題共6小題，每題3分，共18分）

9.13分）計算：返歐返-（V3）°=_______.

V2

10.（3分）假設關于x的一元二次方程2?-》+機=0有兩個相等的實數根，那么m的值

為.

11.（3分）射擊比賽中，某隊員10次射擊成績如下圖，那么該隊員的平均成績是環.

樸數某隊員射擊成績

5-------------------------------------------------------

4-

3—

678910成績環

12.13分）如圖，五邊形A8CDE是。0的內接正五邊形，4尸是。。的直徑，那么NBOF

的度數是°.

13.〔3分）如圖，在正方形紙片A8C。中，E是CZ）的中點，將正方形紙片折疊，點8落

在線段AE上的點G處，折痕為A凡假設那么C尸的長為cm.

14.（3分）如圖，一個正方體由27個大小相同的小立方塊搭成，現從中取走假設干個小立

方塊，得到一個新的幾何體.假設新幾何體與原正方體的外表積相等，那么最多可以取

走個小立方塊.

三、作圖題（本大題總分值4分）請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保存作圖痕跡.

15.（4分）請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保存作圖痕跡.

：Za,直線/及/上兩點A,B.

求作：RtAABC,使點C在直線/的上方，且ZABC=90°,ZBAC=Za.

四、解答題（本大題共9小題，共74分）

2,2

16.（8分）（1）化簡：變4++n-2n）；

（2）解不等式組《5'、5,并寫出它的正整數解.

3x-l<8

17.（6分）小明和小剛一起做游戲，游戲規那么如下：將分別標有數字1,2,3,4的4個

小球放入一個不透明的袋子中，這些球除數字外都相同.從中隨機摸出一個球記下數字

后放回，再從中隨機摸出一個球記下數字.假設兩次數字差的絕對值小于2,那么小明獲

勝，否那么小剛獲勝.這個游戲對兩人公平嗎？請說明理由.

18.（6分）為了解學生每天的睡眠情況，某初中學校從全校800名學生中隨機抽取了40名

學生，調查了他們平均每天的睡眠時間（單位：h},統計結果如下：

9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,7,

9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9.

在對這些數據整理后，繪制了如下的統計圖表:

睡眠時間分組統計表睡眠時間分布情況

組別睡眠時間分組人數（頻數）

17Wr<8m

28W/<911

39WV10n

410W4

請根據以上信息，解答以下問題:

(1)m—,n—,a—,b—

（2）抽取的這40名學生平均每天睡眠時間的中位數落在組（填組別）；

（3）如果按照學校要求，學生平均每天的睡眠時間應不少于9人，請估計該校學生中睡眠

時間符合要求的人數.

睡眠時間分布情況

19.16分）如圖，某旅游景區為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道AB,棧道與

景區道路CD平行.在C處測得棧道一端A位于北偏西42°方向，在。處測得棧道另一

端8位于北偏西32°方向.CD=120m,BD=S0m,求木棧道A8的長度（結果保存整數）.

（參考數據:sin32°-ILcos32°tan32°sin420.空cos42°七二，

32208404

tan42°七-L）

10

北

20.18分）甲、乙兩人加工同一種零件，甲每天加工的數量是乙每天加工數量的1.5倍，兩

人各加工600個這種零件，甲比乙少用5天.

（1）求甲、乙兩人每天各加工多少個這種零件？

（2）甲、乙兩人加工這種零件每天的加工費分別是150元和120元，現有3000個這種

零件的加工任務，甲單獨加工一段時間后另有安排，剩余任務由乙單獨完成.如果總加

工費不超過7800元，那么甲至少加工了多少天？

21.18分）如圖，在。ABCZ）中，對角線AC與BO相交于點O,點、E,尸分別為OB,OD

的中點，延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

(1)求證：AiABEg△CO尸；

(2)當AB與AC滿足什么數量關系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由.

22.(10分)某商店購進一批本錢為每件30元的商品，經調查發現，該商品每天的銷售量y

(件)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數關系，其圖象如下圖.

(1)求該商品每天的銷售量y與銷售單價x之間的函數關系式；

(2)假設商店按單價不低于本錢價，且不高于50元銷售，那么銷售單價定為多少，才

能使銷售該商品每天獲得的利潤w［元)最大？最大利潤是多少？

(3)假設商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，那么每天的銷售量最少應

為多少件？

如圖，圖①是一張由三個邊長為1的小正方形組成的"L”形紙片，圖②是一張的

方格紙的方格紙指邊長分別為小6的矩形，被分成“X6個邊長為1的小正方形,

其中b》2,且a,匕為正整數).把圖①放置在圖②中，使它恰好蓋住圖②中的

三個小正方形，共有多少種不同的放置方法？

問題探究：

為探究規律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，

最后得出一般性的結論.

探究一：

把圖①放置在2X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖③，對于2X2的方格紙，要用圖①蓋住其中的三個小正方形，顯然有4種不同的

放置方法.

探究二：

把圖①放置在3X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖④，在3X2的方格紙中，共可以找到2個位置不同的2X2方格，依據探究一的結

論可知，把圖①放置在3X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有2X

4=8種不同的放置方法.

探究三：

把圖①放置在"X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖⑤，在“X2的方格紙中，共可以找到個位置不同的2X2方格，依據探究一

的結論可知，把圖①放置在“義2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有

種不同的放置方法.

探究四：

把圖①放置在"X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖⑥，在〃X3的方格紙中，共可以找到個位置不同的2X2方格，依據探究一

的結論可知，把圖①放置在“X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有

種不同的放置方法.

問題解決：

把圖①放置在"X。的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？（仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖.）

問題拓展：

如圖，圖⑦是一個由4個棱長為1的小立方體構成的幾何體，圖⑧是一個長、寬、高分

別為a,b,c622,c22,且q,b,c是正整數）的長方體，被分成了aXbXc

個棱長為1的小立方體.在圖⑧的不同位置共可以找到個圖⑦這樣的幾何體.

24.（12分）：如圖，在四邊形A3CO中，AB//CD,ZACB=9QQ,AB^lOcm,BC=8cm,

0D垂直平分AC.點P從點8出發，沿BA方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，點。

從點。出發，沿。C方向勻速運動，速度為lcm/s；當一個點停止運動，另一個點也停止

運動.過點P作PELAB,交BC于點E,過點。作QF〃AC,分別交A。，0。于點尸，

G.連接。尸，EG.設運動時間為f(s)(0</<5),解答以下問題：

(1)當f為何值時，點E在/8AC的平分線上？

(2)設四邊形PEGO的面積為S(cm2),求S與，的函數關系式；

(3)在運動過程中，是否存在某一時刻f,使四邊形PEG。的面積最大？假設存在，求

出f的值；假設不存在，請說明理由；

(4)連接OE,0Q,在運動過程中，是否存在某一時刻3使OE_LO。？假設存在，求

出f的值；假設不存在，請說明理由.

2021年山東省青島市中考數學模擬測試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分）在每題給出的四個選項中，只有一項

為哪一項符合題目要求的.

1.13分）后的相反數是（）

A.-A/3B.-返C.+V3D.如

3

【分析】相反數的定義：只有符號不同的兩個數互為相反數，0的相反數是0.

【解答】解：根據相反數、絕對值的性質可知：的相反數是

應選：D.

【點評】此題考查的是相反數的求法.要求掌握相反數定義，并能熟練運用到實際當中.

2.（3分）以下四個圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

8、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤：

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

。、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項正確.

應選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找

對稱軸，圖形兩局部折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩

局部重合.

3.（3分）2021年1月3日，我國“嫦娥四號"月球探測器在月球反面軟著陸，實現人類有

史以來首次成功登陸月球反面.月球與地球之間的平均距離約為384000b”，把384000^1

用科學記數法可以表示為（）

A.38.4X1()4版B.3.84XlO5km

C.0.384X1()6加D.3.84X106to

【分析】利用科學記數法的表示形式即可

【解答】解：

科學記數法表示：384000=3.84Xl05km

應選：B.

【點評】此題主要考查科學記數法的表示，把一個數表示成a與10的"次幕相乘的形式

(lWa<10,〃為整數)，這種記數法叫做科學記數法.

4.(3分)計算(-2m)2-(-/?-/?2+3/?3)的結果是()

A.8加5B.-8m5C.8m6D.-4/n4+12/n5

【分析】根據積的乘方以及合并同類項進行計算即可.

【解答】解：原式=4,"2?2機3

=8/?5,

應選：A.

【點評】此題考查了哥的乘方、積的乘方以及合并同類項的法那么，掌握運算法那么是

解題的關鍵.

5.13分)如圖，線段AB經過的圓心，AC,8。分別與。。相切于點C,D假設AC

=BD=4,N4=45°,那么令的長度為()

A.nB.2TTC.2^/2rtD.4TT

【分析】連接OC、OD,根據切線性質和NA=45°,易證得△AOC和△80。是等腰直

角三角形，進而求得OC=OC=4,/COO=90°,根據弧長公式求得即可.

【解答】解：連接OC、OD,

,：AC,80分別與OO相切于點C,D.

：.OCYAC,ODLBD,

?：ZA=45°,

AZAOC=45°,

.\AC=0C=4f

???AC=BD=4,OC=OQ=4,

:.OD=BD,

：.ZBOD=45°,

AZCOD=180°-45°-45°=90°,

.?.&的長度知誓=2m

【點評】此題考查了切線的性質，等腰直角三角形的判定和性質，弧長的計算等，證得

NCOO=90°是解題的關鍵.

6.（3分）如圖，將線段AB先向右平移5個單位，再將所得線段繞原點按順時針方向旋轉

90°,得到線段4'B',那么點8的對應點夕的坐標是（）

【分析】在平面直角坐標系內，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數a,

相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移。個單位長度；如果把它各個點的縱坐

標都加（或減去）一個整數m相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移〃個單位

長度；

圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標.常見

的是旋轉特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.

【解答】解：將線段A8先向右平移5個單位，點B（2,1）,連接08,順時針旋轉90。，

那么9對應坐標為（1,-2）,

應選：D.

【點評】此題考查了圖形的平移與旋轉，熟練運用平移與旋轉的性質是解題的關鍵.

7.（3分）如圖，BQ是△A8C的角平分線，AE±BD,垂足為F.假設/ABC=35°,ZC

=50°,那么的度數為（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

【分析】根據角平分線的定義和垂直的定義得到工/A8C=匹二，Z

22

AFB=ZEFB=90°,推出AB=BE,根據等腰三角形的性質得到AF=EF,求得AD=ED,

得到根據三角形的外角的性質即可得到結論.

【解答】解：???BO是△ABC的角平分線，AE1BD,

：.ZABD=ZEBD=1.ZABC=3^-,NAFB=NEFB=9U°,

22

；?NBAF=NBEF=90°-17.5°,

：?AB=BE,

：.AF=EF,

：.AD=ED,

:.NDAF=NDEF,

VZBAC=180°-ZABC-ZC=95°,

??.NBED=/BAD=95°,

：.ZCDE=95Q-50°=45°,

應選：C.

【點評】此題考查了三角形的內角和，全等三角形的判定和性質，三角形的外角的性質，

熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.

8.（3分）反比例函數），=生的圖象如下圖，那么二次函數y=/-2%和一次函數），=bx+a

x

在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）

【分析】先根據拋物線2過原點排除4,再反比例函數圖象確定"的符號，再

由a、b的符號和拋物線對稱軸確定拋物線與直線的位置關系，進而得解.

【解答】解：?..當x=0時，y=a？-2x=0,即拋物線y=o?-入經過原點，故A錯誤;

?.?反比例函數y=生的圖象在第一、三象限，

X

ab>0,即。、b同號，

當“<0時，拋物線丫=加-2%的對稱軸尤=工<0,對稱軸在y軸左邊，故O錯誤；

a

當時，6V0,直線y=6x+a經過第二、三、四象限，故8錯誤，C正確.

應選：C.

【點評】此題主要考查了一次函數、反比例函數、二次函數的圖象與性質，根據函數圖

象與系數的關系進行判斷是解題的關鍵，同時考查了數形結合的思想.

二、填空題（本大題共6小題，每題3分，共18分）

9.（3分）計算：返歐返-（V3）°=2?+1.

V2一

【分析】根據二次根式混合運算的法那么計算即可.

【解答】解：返歐返一（V3）°=2蟲+2-1=2灰+1,

近

故答案為：2叮+1.

【點評】此題考查了二次根式的混合運算，熟記法那么是解題的關鍵.

10.（3分）假設關于x的一元二次方程2/-x+m=0有兩個相等的實數根，那么機的值為

【分析】根據“關于x的一元二次方程2?-x+〃?=0有兩個相等的實數根”，結合根的

判別式公式，得到關于川的一元一次方程，解之即可.

【解答】解：根據題意得：

△=1-4X2zn=0,

整理得：1-8加=0,

解得：,

8

故答案為：1.

8

【點評】此題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關鍵.

11.（3分）射擊比賽中，某隊員10次射擊成績如下圖，那么該隊員的平均成績是8.5環.

故答案為：8.5.

【點評】此題考查了加權平均數和條形統計圖；熟練掌握加權平均數的計算公式是解決

問題的關鍵.

12.13分）如圖，五邊形ABCDE是OO的內接正五邊形，A尸是的直徑，那么NBOF

的度數是54°.

【分析】連接AO,根據圓周角定理得到NADF=90°,根據五邊形的內角和得到NABC

=ZC=108°,求得/A8O=72°,由圓周角定理得到/F=NAB￡>=72°,求得/以。

=18°,于是得到結論.

【解答】解：連接A。，

；A尸是O。的直徑，

AZADF=90°,

；五邊形ABCDE是。0的內接正五邊形，

；./ABC=/C=108°,

AZABD=12°，

:.NF=NABD=72°,

：.ZFAD=\Sa,

.?./CZ)F=NOAF=18°,

:.NBDF=36°+18°=54°,

故答案為：54.

【點評】此題考查正多邊形與圓，圓周角定理等知識，解題的關鍵靈活運用所學知識解

決問題，屬于中考常考題型.

13.13分）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是C。的中點，將正方形紙片折疊，點8落

在線段AE上的點G處，折痕為4尸.假設AO=4CT?,那么CF的長為6-2泥_cm.

B

【分析】設BF=x,那么尸G=x,CF=4-x,在RtZ\GEF中，利用勾股定理可得正產=

(275-4)2+?,在Rt△尸CE中，利用勾股定理可得所2=(4-x)2+22,從而得到關

于x方程，求解x,最后用4-x即可.

【解答】解：設那么FG=x,CF=4-x.

在中，利用勾股定理可得AE=2泥.

根據折疊的性質可知AG=AB=4,所以GE=2泥-4.

在RtZ\GEF中，利用勾股定理可得收2=(275-4)2+7,

在RtZiFCE中，利用勾股定理可得￡：產=(4-x)2+22,

所以(2泥-4)2+/=(4-X)2+22,

解得x=2代-2.

那么FC=4-x=6-2V5.

故答案為6-275.

【點評】此題主要考查了折疊的性質、勾股定理.折疊問題主要是抓住折疊的不變量，

在直角三角形中利用勾股定理求解是解題的關鍵.

14.(3分)如圖，一個正方體由27個大小相同的小立方塊搭成，現從中取走假設干個小立

方塊，得到一個新的幾何體.假設新幾何體與原正方體的外表積相等，那么最多可以取

走16個小立方塊.

【分析】根據外表積不變，只需留11個，分別是正中心的3個和四角上各2個.

【解答】解：假設新幾何體與原正方體的外表積相等，最多可以取走16個小正方體，只

需留11個，分別是正中心的3個和四角上各2個，如下圖：

【點評】此題主要考查了幾何體的外表積.

三、作圖題（本大題總分值4分）請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保存作圖痕跡.

15.14分）請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保存作圖痕跡.

：/a,直線/及/上兩點A,B.

求作：RlAABC,使點C在直線/的上方，且/ABC=90°,N8AC=Na.

【分析】先作/D48=a,再過2點作BE,AB,那么AD與BE的交點為C點.

【點評】此題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種根本作圖的根底上進行作圖，

一般是結合了幾何圖形的性質和根本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉根本幾何圖

形的性質，結合幾何圖形的根本性質把復雜作圖拆解成根本作圖，逐步操作.

四、解答題（本大題共9小題，共74分）

2,2

16.（8分）（1）化簡：變里■+

mm

\JL

（2）解不等式組｛5、飛5,并寫出它的正整數解.

3x-l<8

【分析】（1）按分式的運算順序和運算法那么計算求值；

（2）先確定不等式組的解集，再求出滿足條件的正整數解.

22

【解答】解：(1)原式+n-2mn

IDID

=iD-n*m

1n(m-n產

=-1--?.

IDF

⑵卜寺《春①

3x-l<8②

由①，得x2-1,

由②，得x<3.

所以該不等式組的解集為：-lWx<3.

所以滿足條件的正整數解為：1、2.

【點評】此題考查了分式的混合運算、不等式組的正整數解等知識點.解決(1)的關鍵

是掌握分式的運算法那么，解決(2)的關鍵是確定不等式組的解集.

17.(6分)小明和小剛一起做游戲，游戲規那么如下：將分別標有數字1,2,3,4的4個

小球放入一個不透明的袋子中，這些球除數字外都相同.從中隨機摸出一個球記下數字

后放回，再從中隨機摸出一個球記下數字.假設兩次數字差的絕對值小于2,那么小明獲

勝，否那么小剛獲勝.這個游戲對兩人公平嗎？請說明理由.

【分析】列表得出所有等可能的情況數，找出兩次數字差的絕對值小于2的情況數，分

別求出兩人獲勝的概率，比擬即可得到游戲公平與否.

【解答】解：這個游戲對雙方不公平.

理由：列表如下：

1234

1[1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2[1,2)(2,2)(3,2)[4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

所有等可能的情況有16種，其中兩次數字差的絕對值小于2的情況有(1,1),(2,1),

(1,2),(2,2),(3,2),(2,3),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4)共10種,

故小明獲勝的概率為：」@=旦，那么小剛獲勝的概率為：&=2,

168168

...5y■3,

*s-T

，這個游戲對兩人不公平.

【點評】此題考查了游戲公平性，以及列表法與樹狀圖法，判斷游戲公平性就要計算每

個事件的概率，概率相等就公平，否那么就不公平.

18.（6分）為了解學生每天的睡眠情況，某初中學校從全校800名學生中隨機抽取了40名

學生，調查了他們平均每天的睡眠時間（單位：〃），統計結果如下：

9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,7,

9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9.

在對這些數據整理后，繪制了如下的統計圖表：

睡眠時間分組統計表睡眠時間分布情況

組別睡眠時間分組人數（頻數）

17Wr<8m

284V911

390Vl0n

44

請根據以上信息，解答以下問題：

（1）m=7,n=18,a=17.5%,b=45%；

（2）抽取的這40名學生平均每天睡眠時間的中位數落在3組（填組別）；

（3）如果按照學校要求，學生平均每天的睡眠時間應不少于9/?,請估計該校學生中睡眠

時間符合要求的人數.

睡眠時間分布情況

【分析】（1）根據40名學生平均每天的睡眠時間即可得出結果;

(2)由中位數的定義即可得出結論；

(3)由學校總人數X該校學生中睡眠時間符合要求的人數所占的比例，即可得出結果.

【解答】解：(1)7W/V8時，頻數為m=7；

9WfV10時，頻數為〃=18；

；.。=工義100%=17.5%；6=追乂100%=45%；

4040

故答案為：7,18,17.5%,45%；

(2)由統計表可知，抽取的這40名學生平均每天睡眠時間的中位數為第20個和第21

個數據的平均數，

二落在第3組；

故答案為：3；

(3)該校學生中睡眠時間符合要求的人數為800X竺±￡=440(人)；

40

答：估計該校學生中睡眠時間符合要求的人數為440人.

【點評】此題考查了統計圖的有關知識，解題的關鍵是仔細地審題，從圖中找到進一步

解題的信息.

19.16分)如圖，某旅游景區為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道AB,棧道A8與

景區道路CC平行.在C處測得棧道一端A位于北偏西42°方向，在。處測得棧道另一

端B位于北偏西32°方向.CQ=120〃?，B￡>=80處求木棧道A8的長度(結果保存整數).

(參考數據：sin32°cos32°tan32°sin42°七2Lcos42°g旦，

32208404

tan42°

10

北

冬東

【分析】過C作CELA8于E,OFLA3交AB的延長線于F,于是得到CE〃。凡推出

四邊形CAFE是矩形，得到EF=C￡>=120,DF=CE,解直角三角形即可得到結論.

【解答】解：過C作CELAB于E,交A8的延長線于凡

那么CE//DF,

'：AB//CD,

，四邊形CQFE是矩形,

.*.EF=CD=120,DF=CE,

在Rt/XBDF中，尸=32°,8。=80,

；.QF=cos32°?80=80X11七68,BF=sin32°?80=80x11仁班,

20322

2

在RtZ\4CE中，ZACE=42°,CE=DF=68,

.?.AE=CE?tan42°=68X_L=22^,

105

：.AB=AE+BE=l^-+^-^139m,

25

【點評】此題考查解直角三角形-方向角問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線.構

造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.

20.18分)甲、乙兩人加工同一種零件，甲每天加工的數量是乙每天加工數量的1.5倍，兩

人各加工600個這種零件，甲比乙少用5天.

(1)求甲、乙兩人每天各加工多少個這種零件？

(2)甲、乙兩人加工這種零件每天的加工費分別是150元和120元，現有3000個這種

零件的加工任務，甲單獨加工一段時間后另有安排，剩余任務由乙單獨完成.如果總加

工費不超過7800元，那么甲至少加工了多少天？

【分析】(1)設乙每天加工x個零件，那么甲每天加工1.5x個零件，根據甲比乙少用5

天，列分式方程求解；

(2)設甲加工了x天，乙加工了y天，根據3000個零件，列方程；根據總加工費不超

過7800元，列不等式，方程和不等式綜合考慮求解即可.

【解答】解：(1)設乙每天加工x個零件，那么甲每天加工1.5x個零件，由題意得：眄

X

=迪+5

1.5x

化簡得600X1.5=600+5X1.5%

解得x=40

.*.1.5x=60

經檢驗，x=40是分式方程的解且符合實際意義.

答：甲每天加工60個零件，乙每天加工，40個零件.

(2)設甲加工了x天，乙加工了y天，那么由題意得

[60x+40y=3000①

1150x+120y<7800②

由①得y=75-1.5X3)

將③代入②得150x+120(75-1.5x)W7800

解得x240,

當x=40時，y=15,符合問題的實際意義.

答：甲至少加工了40天.

【點評】此題是分式方程與不等式的實際應用題，題目數量關系清晰，難度不大.

21.18分)如圖，在。ABCD中，對角線4c與8。相交于點。，點E,尸分別為OB,OD

的中點，延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

(1)求證：AABE冬ACDF；

(2)當AB與AC滿足什么數量關系時，四邊形EGC尸是矩形？請說明理由.

【分析】(1)由平行四邊形的性質得出AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA=OC,由平

行線的性質得出證出BE=OF,由S4s證明AABE名△(7￡)尸即可；

(2)證出AB=OA,由等腰三角形的性質得出AGVOB,NOEG=90°,同理：CFA.

OD,得出EG//CF,由三角形中位線定理得出。后〃CG,EF//CG,得出四邊形EGCF

是平行四邊形，即可得出結論.

【解答】（1）證明：；四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA=OC,

：.NABE=NCDF,

?.?點E,尸分別為08,0￡>的中點，

;.BE=LOB,DF=LOD,

22

：.BE=DF,

'AB=CD

在△ABE和△C￡>F中，，ZABE=ZCDF>

BE=DF

ISAS）；

（2）解：當AC=2A8時，四邊形EGC尸是矩形；理由如下：

'：AC=2OA,AC=2AB,

.\AB=OAf

是08的中點，

：.AG±0B,

；.NOEG=90°,

同理：CF_L0￡>,

J.AG//CF,

：.EG//CF,

\"EG=AE,0A=0C,

.?.0E是aACG的中位線，

：.OE//CG,

：.EF//CG,

...四邊形EGCF是平行四邊形，

,：ZOEG=90a,

四邊形EGCF是矩形.

【點評】此題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質和判定、全等三角形的判定、三角

形中位線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

22.（10分）某商店購進一批本錢為每件30元的商品，經調查發現，該商品每天的銷售量y

（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，其圖象如下圖.

(1)求該商品每天的銷售量y與銷售單價x之間的函數關系式；

(2)假設商店按單價不低于本錢價，且不高于50元銷售，那么銷售單價定為多少，才

能使銷售該商品每天獲得的利潤卬［元)最大？最大利潤是多少？

(3)假設商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，那么每天的銷售量最少應

為多少件？

V件

100--------L

II

J----------------A

°3045Xi元

【分析】(1)將點(30,100)、(45,70)代入一次函數表達式，即可求解；

(2)由題意得亞=(%-30)(-2x+160)=-2(%-55)2+1250,即可求解；

(3)由題意得5-30)(-2x+160)2800,解不等式即可得到結論.

【解答】解：(1)設y與銷售單價x之間的函數關系式為：y=kx+b,

將點(30,100)、(45,70)代入一次函數表達式得：［l0°=30k+b,

l70=45k+b

解得：仆=-2,

lb=160

故函數的表達式為：y=-2x+160；

(2)由題意得：w=(A-30)(-21+160)=-2(%-55)2+1250,

V-2<0,故當x<55時，w隨x的增大而增大，而30WxW50,

.?.當x=50時，w有最大值，此時，w=1200,

故銷售單價定為50元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤1200元；

(3)由題意得：(x-30)(_2JT+160)N800,

解得：40WxW70,

,每天的銷售量>=-2r+160220,

每天的銷售量最少應為20件.

【點評】此題主要考查了二次函數的應用以及一元二次不等式的應用、待定系數法求一

次函數解析式等知識，正確利用銷量X每件的利潤=卬得出函數關系式是解題關鍵.

23.110分）問題提出:

如圖，圖①是一張由三個邊長為1的小正方形組成的“//'形紙片，圖②是一張aX〃的

方格紙（。義6的方格紙指邊長分別為。，。的矩形，被分成“X6個邊長為1的小正方形,

其中6>2,且a,6為正整數〕.把圖①放置在圖②中，使它恰好蓋住圖②中的

三個小正方形，共有多少種不同的放置方法？

問題探究：

為探究規律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，

最后得出一般性的結論.

探究一：

把圖①放置在2X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖③，對于2X2的方格紙，要用圖①蓋住其中的三個小正方形，顯然有4種不同的

放置方法.

探究二：

把圖①放置在3X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖④，在3X2的方格紙中，共可以找到2個位置不同的2義2方格，依據探究一的結

論可知，把圖①放置在3X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有2X

4=8種不同的放置方法.

探究三：

把圖①放置在"X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖⑤，在。義2的方格紙中，共可以找到（a-1）個位置不同的2X2方格,依據

探究一的結論可知,把圖①放置在aX2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形,

共有（4〃-4）種不同的放置方法.

探究四：

把圖①放置在"X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖⑥，在“X3的方格紙中，共可以找到（2?-2）個位置不同的2X2方格,依據

探究一的結論可知,把圖①放置在。義3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形,

共有（8a-8）種不同的放置方法.

問題解決:

把圖①放置在aXb的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有多少種不同的

放置方法？（仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖.）

問題拓展:

如圖，圖⑦是一個由4個棱長為1的小立方體構成的幾何體，圖⑧是一個長、寬、高分

別為a,b,c622,c22,且“，b,c是正整數）的長方體，被分成了aXbXc

個棱長為1的小立方體.在圖⑥的不同位置共可以找到8不7）偽-1以c-1）個

圖⑦這樣的幾何體.

m

圖①

////，

圖⑦圖⑧

【分析】對于圖形的變化類的規律題，首先應找出圖形哪些局部發生了變化，是按照什

么規律變化的，通過分析找到各局部的變化規律后直接利用規律求解.探尋規律要認真

觀察、仔細思考，善用聯想來解決這類問題.

【解答】解：探究三：

根據探究二，aX2的方格紙中，共可以找到（a-1）個位置不同的2X2方格，

根據探究一結論可知，每個2X2方格中有4種放置方法，所以在。義2的方格紙中，共

可以找到（〃-1）X4=（4〃-4）種不同的放置方法；

故答案為a-I,4a-4；

探究四:

與探究三相比，此題矩形的寬改變了，可以沿用上一間的思路：邊長為4,有(4-1)條

邊長為2的線段，

同理，邊長為3,那么有3-1=2條邊長為2的線段，

所以在“X3的方格中，可以找到2(a-1)=(2a-2)個位置不同的2X2方格，

根據探究一，在在“X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正方形，共有(2“-2)

X4=(8a-8)種不同的放置方法.

故答案為2a-2,8a-8；

問題解決：

在“X/,的方格紙中，共可以找到(a-1)S-1)個位置不同的2X2方格，

依照探究一的結論可知，把圖①放置在aXb的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個小正

方形，共有4種不同的放置方法；

問題拓展：

發