1、1中子擴散理論中子擴散理論主講：張競宇主講：張競宇2反應堆物理的反應堆物理的核心問題核心問題之一：確定堆內中子通量密度按空之一：確定堆內中子通量密度按空間和能量的分布間和能量的分布 第二章通過求解中子慢化方程，解決了中子通量密度按能第二章通過求解中子慢化方程，解決了中子通量密度按能量的分布，量的分布， (E)(E) E E，即中子能譜，即中子能譜 本章，將研究中子通量密度按空間的分布，即本章，將研究中子通量密度按空間的分布，即(r)(r) r r3Contents引言引言（輸運過程、輸運理論及擴散現象）（輸運過程、輸運理論及擴散現象）單能中子擴散方程單能中子擴散方程非增殖介質內中子擴散方程的解

2、非增殖介質內中子擴散方程的解擴散長度、慢化長度和徙動長度擴散長度、慢化長度和徙動長度4輸運過程及輸運理論輸運過程及輸運理論中子狀態的描述中子狀態的描述反應堆物理與屏蔽計算的基本方法反應堆物理與屏蔽計算的基本方法51、輸運過程（輸運過程（TransportTransport）以及輸運理論）以及輸運理論u對于自然界的微觀粒子(中子、光子、電子、離子和分子等)，在介質中會發生無規則碰撞，使得單個粒子的運動形式是雜亂無章的，即某一時刻、在介質中某一位置、具有某種能量與某一運動方向 的粒子，在稍晚些時候，將運動到介質中的另一位置、以另一能量和另一運動方向出現，這一現象稱之為粒子輸運過程粒子輸運過程。u對

3、于大量粒子而言，其運動形式呈現出一定的統計規律，使得人類對粒子行為的研究成為可能。那么，用于描述粒子在介質中遷移的統計規律的數學理論，就統稱為粒子輸運理論粒子輸運理論。6u發展簡史：發展簡史：最早的粒子輸運理論是以Clausius(1857)、Maxwell(1860)、Boltzmann(1868)提出的“分子運動論”作為基礎發展起來的；1872年，Boltzmann建立了著名的Boltzmann方程方程（又稱輸運方程），當時是用來描述氣體從非平衡態到平衡態的過渡過程；1910年Hilbert論述了Boltzmann方程解的存在性與唯一性，奠定了粒子輸運理論的數學基礎；1939年發現中子后，

4、隨著核反應堆和核武器的出現，中子輸運理論中子輸運理論得到極快發展；1943年Wick、Marshak、Mark等人提出并發展了球諧函數方法，使得高精度地解析求解Boltzmann中子輸運方程成為可能；1946年Von Neumann 和 Ulam等開發了第一個用概率論方法（Monte Carlo方法）計算中子鏈式反應的程序；1955年Carlson等人提出了離散縱標法(即早期SN方法)；在上述方法的基礎上，產生了大批應用程序軟件。7l中子狀態中子狀態: 位置矢量位置矢量 r (x,y,z)、能量、能量E(或運或運動速度動速度v)、運動方向、運動方向 (,)、時間、時間tl ：單位矢量，模等：單

5、位矢量，模等于于1，方向表示中子的，方向表示中子的運動方向，通過極角運動方向，通過極角 和方位角和方位角 來表示來表示2、中子狀態的描述、中子狀態的描述844),(),(),(),(dErErdErnErn)(),(),(EvErnErl中子角密度中子角密度：在：在r處單位體積內和能量為處單位體積內和能量為E的單位能量間的單位能量間隔內，運動方向為隔內，運動方向為 的單位立體角內的中子數目。的單位立體角內的中子數目。l中子角通量密度中子角通量密度：沿沿 方向在單位時間內穿過垂直于這方向在單位時間內穿過垂直于這個方向的單位面積上的中子數目。個方向的單位面積上的中子數目。 對中子角密度和中子角通量

6、對所有立體角方向積分，可得前對中子角密度和中子角通量對所有立體角方向積分，可得前面所定義的中子密度和中子通量密度面所定義的中子密度和中子通量密度9中子輸運理論的基本問題之一，就是采用中子角密度 （或中子角通量密度 ）來描述中子輸運過程。為了得到中子角通量密度 ，需要建立描述中子輸運過程的精確方程，即“玻爾茲曼方程玻爾茲曼方程”。它是一個含有位置r (x,y,z)、能量E(或運動速度v)、運動方向(,)、時間t七個自變量的偏微分積分方程，求解過程非常復雜，只有在極個別的簡單情況下，才能求出解析解。 確定性方法確定性方法(Deterministic method) 數學模型用數學物理方程表示，然后

7、采用數值方法求解數學模型用數學物理方程表示，然后采用數值方法求解 優點：計算快速優點：計算快速 缺點：模型簡化不夠精確，大型多維問題需大量計算時間及存儲空缺點：模型簡化不夠精確，大型多維問題需大量計算時間及存儲空間等間等 典型方法：離散縱標法（典型方法：離散縱標法（SN） 非確定性方法非確定性方法(蒙特卡羅方法，蒙特卡羅方法，Monte Carlo method)： 基于統計理論，通過計算機的隨機模擬來跟蹤中子在介質中的運動基于統計理論，通過計算機的隨機模擬來跟蹤中子在介質中的運動 優點：計算精確，可以模擬三維復雜幾何模型優點：計算精確，可以模擬三維復雜幾何模型 缺點：計算耗時，特別是對于深穿

8、透問題（缺點：計算耗時，特別是對于深穿透問題（Deep-penetration） 混合方法混合方法 研究熱點研究熱點3、反應堆物理與屏蔽計算基本方法反應堆物理與屏蔽計算基本方法1011l中子擴散理論中子擴散理論求出介質內求出介質內中子角通量密度中子角通量密度的分布的分布, 才算對介質內中子的才算對介質內中子的分布有了全面了解分布有了全面了解.要做到這一點，需要研究中子輸運理論，求解要做到這一點，需要研究中子輸運理論，求解中子輸運方中子輸運方程程。這是一個非常復雜和困難的任務。這是一個非常復雜和困難的任務. 在本課程中，我們研在本課程中，我們研究輸運理論的簡化形式究輸運理論的簡化形式中子擴散理論

9、中子擴散理論。玻爾茲曼玻爾茲曼輸運方程輸運方程中子擴中子擴散方程散方程單群中子單群中子擴散方程擴散方程假設中子通量密度假設中子通量密度角分布各向同性角分布各向同性假設中子具假設中子具有單一能量有單一能量本節內容本節內容12菲克定律菲克定律菲克定律的推導菲克定律的推導菲克定律和擴散方程的使用范圍菲克定律和擴散方程的使用范圍單能中子擴散方程的建立單能中子擴散方程的建立擴散方程的邊界條件擴散方程的邊界條件13 分子擴散現象分子擴散現象 香水分子的擴散（無風狀態） 墨滴在靜水中的擴散 血液中的養分透過細胞膜向細胞內擴散 分子擴散是由于分子間的無規則碰撞產生的，使得分子從密度大的地方向密度小的地方擴散，

10、并且分子擴散的速率與分子密度的梯度成正比，也就是服從“菲克定律”。 同樣，中子的擴散現象也服從“菲克定律”。只不過由于中子密度（1016m-3）比介質原子核密度（1028m-3）要小得多，因而中子的擴散主要是中子與介質原子核碰撞的結果，中子之間的碰撞可以忽略。1、菲克定律、菲克定律(Ficks law)14中子從通量高的地方流向通量低的地方，中子從通量高的地方流向通量低的地方，通量差別越大，中子通量差別越大，中子 “流量流量” 越大越大菲克定律菲克定律：JD l 上式中的上式中的 被稱為被稱為中子流密度中子流密度（簡稱中（簡稱中子流、或流。子流、或流。Current） .中子流密度是一個向量中

11、子流密度是一個向量, 其方向是通量場的負梯度方向其方向是通量場的負梯度方向. . 其數值等于其數值等于垂直于梯度方向垂直于梯度方向的單位面積上每秒的單位面積上每秒穿過的凈中子數目。穿過的凈中子數目。 單位：中子單位：中子/cm/cm2 2. S. S( )J r 1516l 中子流密度是向量，可以寫成三個分量之和中子流密度是向量，可以寫成三個分量之和l 其中三個分量分別稱為該方向的分中子流密度，每其中三個分量分別稱為該方向的分中子流密度，每個分量可寫成兩個分量只差個分量可寫成兩個分量只差kJjJiJJzyxzzzyyyxxxJJJJJJJJJJZ+ 是沿是沿z軸正方向每秒穿過軸正方向每秒穿過x

12、-y平面上單位面積的中子數平面上單位面積的中子數JZ- 是沿是沿z軸負方向每秒穿過軸負方向每秒穿過x-y平面上單位面積的中子數平面上單位面積的中子數17l如果某平面與中子流密度如果某平面與中子流密度 方向不垂直，方向不垂直，那么每秒通過該平面上單位面積的凈中子那么每秒通過該平面上單位面積的凈中子數是數是 J nn 是該平面的法線方向（單位）向量( )J r 1819中子流密度與中子通量密度的差別中子流密度與中子通量密度的差別: : 中子流密度用于描述中子的定向運動，是矢量中子流密度用于描述中子的定向運動，是矢量 中子通量密度用于計算中子通量密度用于計算核反應率核反應率，是標量，是標量 兩者的量

13、綱相同兩者的量綱相同 當所有中子運動方向相同時，中子通量與中子當所有中子運動方向相同時，中子通量與中子流數量（大小）相等。流數量（大小）相等。20場論知識場論知識 數量場數量場的的梯度梯度 向量場向量場 的的散度散度 哈密頓算符哈密頓算符 拉普拉斯算符拉普拉斯算符 J div JJ 2222222ijkxyzxyz grad21考慮穩態情況，同時假設：考慮穩態情況，同時假設： 介質是介質是無限無限的、的、均勻均勻的；的； 在在實驗室坐標系實驗室坐標系中中散射是各向同性散射是各向同性的；的； 介質的吸收截面很小，即介質的吸收截面很小，即 a s (弱吸收介質弱吸收介質)；(1) 是隨空間位置是隨

14、空間位置緩慢變化緩慢變化的函數。的函數。2、菲克定律的推導、菲克定律的推導22以所研究以所研究的點作為的點作為坐標原點坐標原點23考慮上半空間發生的散射使多少中子考慮上半空間發生的散射使多少中子從上到下穿過從上到下穿過 dA 首先考慮體積元首先考慮體積元 dV 中的散射中子有多少中的散射中子有多少 由于散射中子由于散射中子各向同性各向同性地飛向四面八方地飛向四面八方,飛向飛向 dA的只占一部分的只占一部分. 這一份額等于這一份額等于dA的面積與以的面積與以 r 為半徑的球面積之比為半徑的球面積之比,再乘以再乘以cos 此外并非所有飛向此外并非所有飛向dA的中子都能夠到達的的中子都能夠到達的dA

15、, 沿途的碰撞會使得部分中子沿途的碰撞會使得部分中子 “偏離航向偏離航向”，此，此外還有一部分中子會被介質吸收掉外還有一部分中子會被介質吸收掉24dA能到達上的中子數是22cos( ) 4cos( )4tsrsrsdAr dVerdAr dVer 25 把上半空間所有地方的散射中子的貢獻把上半空間所有地方的散射中子的貢獻統統考慮進來統統考慮進來,即對上半空間積分即對上半空間積分,就得到就得到從上而下穿過從上而下穿過dA的總中子數目。的總中子數目。這個數目就是這個數目就是沿負沿負z方向方向的的分中子流密度分中子流密度 乘以乘以dAzJ26dAz沿負 方向每秒穿過的中子數是22/20001( )c

16、os4( )cossin4ssrszVrsdAJ dAr edVrdAr edrd d 00)(614zJsz”表示原點下標“0同理00)(614zJsz由于已經假設中子通量密度是隨空間位置緩慢變化的中子通量密度是隨空間位置緩慢變化的，將(r) 在原點處按泰勒級數展開，取1階項，代入積分可得27 2sinsindVrdrddrrdrd d 2800)(614zJsz推導過程推導過程0000( )( , , )()()()rx y zxyzxyzsincosxrsinsinyr由于cos和sin從0到2的積分為0，所以含有x，y項的積分將等于0，則可以得到2/2000( )cossin4srsz

17、dAJ dAr edrd d 2/200000()cos sincos4srszJerdrd dz 2/22/2200000000sincos()sincos44ssrrssedrd derdrd dz /2/22000000sincos()sincos22ssrrssedrderdrdz/2/22000000sincos()sincos22ssrrssdedrderdrz coszr29/2/2200000011sin2(2 )()()cos(co4(2)21sssrssrsssdedrzredd/2/2000000013()()22()111coscos2 34ssssrrszsrsedr

18、eer分步積分000lim11() ()46srrsszrere000lim lim11() ()46()ssrrrrersze洛必達法則00011() (0)46srsze001()46sz30zxy單位時間沿著 方向穿過平面上單位面積的凈中子數為0001()31()31()3zzzsxsysJJJzJxJy 同理有33ssxyzJJ iJ jJ kgrad 31 令令 ，便完成了，便完成了菲克定律菲克定律之推導，得到之推導，得到 斐克定律斐克定律：中子流密度 正比于負的中子通量密度的梯度，其比例常數為擴散系數D3sDJDD 稱為擴散系數32u介質是無限的、均勻的、散射各向同性；介質是無限的

19、、均勻的、散射各向同性； 有限介質內，在距離表面幾個自由程之外的內部區域，有限介質內，在距離表面幾個自由程之外的內部區域，斐克定律是近似成立的；斐克定律是近似成立的； 在距真空邊界兩三個自由程以內的區域，不適用。在距真空邊界兩三個自由程以內的區域，不適用。u介質的吸收截面很小，即介質的吸收截面很小，即 a 0時，(3-52)解為(3-53)由邊界條件(1)可得(3-54)因此根據邊界條件(2)可以求出1/)1 (2LaeDSLA(3-55)中子通量密度為中子通量密度為LaLxaLxeeeDSLx/ )(/12)(3-56)53(3-57)考慮系統對稱性系統對稱性，用|x|代替上式中的x，可得對

20、所有x均適用的表達式LaLxaLxeeeDSLx/|)|(/ |12)(對于無限厚度平面源無限厚度平面源，a，有LxeDSLx/ |2)(3-61)54當a/L=3（介質厚度為中子擴散長度3倍時）時，除在邊界附近外，中子通量密度的分布與無限介質內的分布相差不多。薄板泄露較大，邊界處中子通量密度下降很快；厚板（大于三個擴散長度），大部分中子在到達邊界以前被散射回來，泄露很小=反應堆沒有必要采用過厚的反應堆沒有必要采用過厚的反射層反射層553. 包含兩種不同介質的情況包含兩種不同介質的情況P7656anaagT29320 ,)1 (31)1 ( 33002sasatraaDL 擴散長度擴散長度(d

21、iffusion length)(diffusion length)(3-75)大多數元素的散射截面與能量無關，當熱中子能譜按麥克斯韋大多數元素的散射截面與能量無關，當熱中子能譜按麥克斯韋譜分布時，熱中子吸收截面等于譜分布時，熱中子吸收截面等于(3-76)將上式代入將上式代入(3-75)式可得式可得)()293(293202naanTggTLL (3-77)57考慮無限介質內有一熱中子點源的情況， drrrdVra)(被吸收的中子數為內吸收中子的幾率為：處在drr 在 的球殼內，LrLraaeLrdrSdrrDrSeSdVrdrrp/22/1/44/)()(3322/2000( )r Lr L

22、rrrr p r dredrdeLL332/000033/r Lr Lr Lrrrr LedededrLLLreL 2/2/2000032/33 3r Lr Lr Lrr Ledrr deed rLr e/2/00000/3666 6r Lr Lr Lr Lr Led rerdrLrdeLedrLre/2/20002/666 6r Lr Lr LLedrL deLL e58擴散長度的物理意義：擴散長度的物理意義：熱中子擴散長度的平方熱中子擴散長度的平方, 等于無限大介質中的等于無限大介質中的點源放出的熱中子從產生地點到被吸收地點的點源放出的熱中子從產生地點到被吸收地點的直線距離的均方值的六分之

23、一直線距離的均方值的六分之一.2261rL 59幾種慢化劑在幾種慢化劑在293K時熱中子擴散參數時熱中子擴散參數室溫下熱中子在石墨中室溫下熱中子在石墨中( s=0.385cm-1),求解：求解：(1)散射平均自由程（散射平均自由程（2）吸收前的碰撞次數（）吸收前的碰撞次數（3）產生到被吸收的直線）產生到被吸收的直線距離（距離（4）中子吸收前走過的路程（吸收平均自由程）中子吸收前走過的路程（吸收平均自由程）602. 慢化長度慢化長度0),()(1EEthdEErr/ )/ln(0thsEEN thsEE0111ln1以下的中子數速到處每秒每單位體積內減在th1Er)(r 源中子能量為E0，熱中子能量為Eth。將E0到Eth的中子稱為快群中子快群中子。將Eth以下的中子稱為熱群中子熱群中子，同時定義一個移出（減速）截面移出（減速）截面 1使快群轉移到熱群的中子轉移率快群轉移到熱群的中子轉移率源中子慢化到熱中子的平均碰撞次數源中子慢化到熱中子的平均碰撞次數:因而移出（減速）截面移出（減速）截面 為thsEE01ln(3-82)61EdEEEDEEEs0)()()(01112DH2OD2OCBe輕水堆輕水堆沸水堆高溫氣冷堆高溫氣冷堆th/(10-4m2)27.5123352904050300寫出無限介質點